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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \integral_{D} e^{ \bruch{ x^2 + y^2 }{2x} } dxdy [/mm],
wobei [mm] D = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 | (x - 1)^2 + y^2 \le 1 \}. [/mm] |
Hallo alle zusammen!
Ich möchte gerne diese Aufgabe rechnen und weiß nicht , welche Methode am einfachsten wäre...
Mir fällt dazu entweder das Cavalierische Prinzip oder die Transformationsformel ein.
Ich würde es mit dem Cavalierischen Prinzip probieren und erst y fixieren...
Ist das sinnvoll?
Ich wäre um einen Tipp sehr dankbar!
Viele Grüße
Irmchen
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Immer wenn der Term [mm]x^2+y^2[/mm] im Spiel ist, sollte man an Polarkoordinaten denken. In 50 Prozent der Fälle liegt man damit richtig.
[mm]x = r \cos t \, , \ \ y = r \sin t \, ; \ \ \ \left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,t)} \right| = r[/mm]
Die Hauptaufgabe besteht jetzt darin, die neuen Integrationsgrenzen zu finden. Beachte, daß [mm]D[/mm] eine abgeschlossene Kreisscheibe vom Radius 1 um den Punkt [mm](1,0)[/mm] ist. Ohne Zeichnung geht also gar nichts.
Um das richtige [mm]t[/mm]-Intervall [mm][a,b][/mm]zu finden, laß einen Strahl sich um [mm]A=(0,0)[/mm] drehen. Für welche Winkel [mm]t[/mm] trifft der Strahl [mm]D[/mm] in seinem Innern?
Jetzt zeichne einen festen solchen Strahl mit dem Winkel [mm]t[/mm] ein. In Abhängigkeit von [mm]t[/mm] variieren dann die Werte [mm]r[/mm] von 0 bis zur Länge [mm]s=s(t)[/mm] der Sehne, die der Strahl aus dem Kreis ausschneidet. Jetzt brauchst du nur noch dieses [mm]s[/mm]. Man kann das sehr kunstvoll und umständlich berechnen. Am schnellsten aber geht es mit Elementargeometrie. Es sei [mm]B = (2,0)[/mm] und [mm]C[/mm] der zweite Randpunkt der Sehne. Welcher Satz der Mittelstufe sagt etwas über das Dreieck [mm]ABC[/mm] aus? Und wie kann man das zur Berechnung von [mm]s[/mm] verwenden?
Dann hast du also
[mm]\int_a^b~\left( \int_0^{s(t)}~\left( \ldots \right)~\mathrm{d}r \right)~\mathrm{d}t[/mm]
zu berechnen.
Interessant ist übrigens, daß der Integrand im Ursprung eine Singularität besitzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
> Immer wenn der Term [mm]x^2+y^2[/mm] im Spiel ist, sollte man an
> Polarkoordinaten denken. In 50 Prozent der Fälle liegt man
> damit richtig.
Sowas habe ich mir bereits gedacht...
> [mm]x = r \cos t \, , \ \ y = r \sin t \, ; \ \ \ \left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,t)} \right| = r[/mm]
>
> Die Hauptaufgabe besteht jetzt darin, die neuen
> Integrationsgrenzen zu finden. Beachte, daß [mm]D[/mm] eine
> abgeschlossene Kreisscheibe vom Radius 1 um den Punkt [mm](1,0)[/mm]
> ist. Ohne Zeichnung geht also gar nichts.
Also, eine solche Zeichnung habe ich auch angefertigt!
> Um das richtige [mm]t[/mm]-Intervall [mm][a,b][/mm]zu finden, laß einen
> Strahl sich um [mm]A=(0,0)[/mm] drehen. Für welche Winkel [mm]t[/mm] trifft
> der Strahl [mm]D[/mm] in seinem Innern?
Und hier bekomme ich bereits Probleme!
Hat mein Radius nicht den Wert 1? Da mein Kreis dem Mittelpunkt (1,0) hat und offensichtlich den Radius 1 ?
So, und nun zu diesem t....
Wenn ich den Winkel ( Winkelspitze (0,0 ) ) in meiner Zeichnung unterbringe, dann berührt dieser Strahl meinen Kreis, wenn den Winkel zwischen 0 und 90 Grad ist oder zwischen 270 und 360Grad liegt...
Also zwischen 0 und [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und zwischen [mm] \bruch{3 \pi}{4} [/mm] und [mm] 2 \pi [/mm].
Ist das damit gemeint?
> Jetzt zeicne einen festen solchen Strahl mit dem Winkel [mm]t[/mm]
> ein. In Abhängigkeit von [mm]t[/mm] variieren dann die Werte [mm]r[/mm] von 0
> bis zur Länge [mm]s=s(t)[/mm] der Sehne, die der Strahl aus dem
> Kreis ausschneidet. Jetzt brauchst du nur noch dieses [mm]s[/mm].
> Man kann das sehr kunstvoll und umständlich berechnen. Am
> schnellsten aber geht es mit Elementargeometrie. Es sei [mm]B = (2,0)[/mm]
> und [mm]C[/mm] der zweite Randpunkt der Sehne. Welcher Satz der
> Mittelstufe sagt etwas über das Dreieck [mm]ABC[/mm] aus? Und wie
> kann man das zur Berechnung von [mm]s[/mm] verwenden?
>
> Dann hast du also
>
> [mm]\int_a^b~\left( \int_0^{s(t)}~\left( \ldots \right)~\mathrm{d}r \right)~\mathrm{d}t[/mm]
>
> zu berechnen.
>
> Interessant ist übrigens, daß der Integrand im Ursprung
> eine Singularität besitzt.
Und mit diesem Rest kann ich nicht viel anfangen, leider! Wie soll ich dnn so einen festen Strahl zeichene?
Viele Grüße
Irmchen
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Die Winkel stimmen. Du könntest nun über die beiden [mm]t[/mm]-Intervalle integrieren. Einfacher aber wird es, wenn du ein einziges Intervall nimmst: [mm][a,b] = \left[ - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right][/mm]. Keine Angst vor negativen Winkeln!
Was mißt denn das [mm]r[/mm] bei den Polarkoordinaten? Doch den Abstand eines Punktes vom Ursprung. Und [mm]t[/mm] mißt den Winkel, den der Ursprungsstrahl, auf dem der Punkt liegt, zur positiven [mm]x[/mm]-Achse einnimmt. Jetzt gib dir ein [mm]t \in \left[ - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right][/mm] vor. Nimm fürs erste ein positives [mm]t[/mm]. Gewisse Punkte auf dem entsprechenden Strahl liegen nun in [mm]D[/mm], andere nicht. Und jetzt mußt du die [mm]r[/mm] bestimmen, für die die Punkte des Strahls in [mm]D[/mm] liegen. Nun, das geht von [mm]r=0[/mm] los bis [mm]r=s[/mm], wobei [mm]s[/mm] gerade die Länge der Sehne ist, die der Strahl aus dem Kreis ausschneidet. Und diese Sehnenlänge mußt du berechnen. Wie das gehen könnte, habe ich in meinem vorigen Beitrag schon angedeutet. [mm]s=s(t)[/mm] hängt natürlich von [mm]t[/mm] ab: anderes [mm]t[/mm], andere Sehnenlänge. Bei der Integration kommt man daher nur voran, wenn man außen über [mm]t[/mm] und innen über [mm]r[/mm] integriert, da die obere [mm]r[/mm]-Grenze von [mm]t[/mm] abhängig ist.
Und zum Schluß mußt du dir auch noch überlegen, daß die Formel für [mm]s(t)[/mm] auch für negative Winkel gültig ist. Das ist aber wegen des Ausdrucks, der herauskommt, offensichtlich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 Di 05.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo nochmal!
Als erstes bin ich recht glücklich mit den Winkeln, dass ich das halbwegs richtig hatte..
Anschalich ist mir das klar, wie ich die Sehne berechnen kann. Als erstes fällt mir der Satz des Pythagoras ein, denn ich kann einen rechten winkel einzeichenen, und die Länge der Sehne ( Länger der Hypothenuse ) variiert mit der Größe des Winkeln.
Aber hier z.B sehe ich nicht, wie ich das in Abhängigkeit mit dem Winkel schreiben kann.
Deswegen denke ich eher, dass es nicht mit dem Satz des Pythagoras geht, sondern mit einem der Winkelsätze
[mm] \sin ( \alpha) = \bruch{a}{c} [/mm] oder [mm] \cos( \alpha ) = \bruch{b}{c} [/mm].
Ist das richtig?
Fall ja,
dann muss ich doch zum Beispiel bei [mm] \sin ( \alpha) = \bruch{a}{c} [/mm] nach c auflösen und somit habe ich die Länge des Sehne. Nur was ich meine Gegenkathete , also das a, hier?
Viele Grüße
Irmchen
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Es geht tausendmal schneller, wenn du ein anderes Dreieck nimmst. So, wie ich es in meinem ersten Beitrag beschrieben habe. Und darin ist [mm]s[/mm] nicht die Hypotenuse, sondern? Und warum? Wie gesagt: Mittelstufengeometrie eines Gymnasiums. Und: Cosinus ist viel besser als Sinus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 Di 05.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Oh, gott... Ich denke ich habe es... ( Hoffentlich)
Mein s ist in dem anderen Dreieck die Ankathete und meine Hypothenuse ist gleich 2.
Somit bekommen ich heraus, dass
[mm] s = 2 \cdot \cos(t) [/mm]. Das wäre dann mein r!
Stimmt das nun?
Also, dann integriere ich über [mm] 0 \le r \le 2 \cos(t) [/mm] ?
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So ist es. Und wann man bei [mm]t[/mm] das Vorzeichen ändert, ändert sich die Sehnenlänge nicht (Symmetrie bezüglich der [mm]x[/mm]-Achse). Ebensowenig ändert [mm]\cos t[/mm] das Vorzeichen. Also stimmt die Formel auch für negative Winkel.
Und jetzt geht alles nach Schema F. Es ist nur Konzentration erforderlich. Im inneren Integral sind ja alle [mm]t[/mm]-Bestandteile wie Konstanten zu behandeln. Damit läuft es auf eine partielle Integration hinaus. Am besten eine Nebenrechnung durchführen, sonst wird es länglich.
Gute Nacht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:13 Di 05.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Danke erstmal!
So, ich bin mir jetzt noch ein wenig unsicher, denn ich habe die Lösunge ohne partielle Integration gemacht, und es sieht nicht schlecht aus...
Also,
[mm] \integral_{D} e^{ \bruch{ x^2 + y^2}{2x} } dxdy [/mm]
[mm] = \integral_{ \bruch{ - \pi}{2}}^{\bruch{ \pi}{2}} \integral_0^{2 \cos(t) } e^{ \bruch{r^2}{2 \cdot r \cdot \cos(t) } } dr dt [/mm]
[mm] = \integral_{ \bruch{ - \pi}{2}}^{\bruch{ \pi}{2}} \integral_0^{2 \cos(t) } e^{ \bruch{r}{2 \cdot \cos(t) } } dr dt [/mm]
[mm] = \integral_{ \bruch{ - \pi}{2}}^{\bruch{ \pi}{2}} \left[ 2 \cdot \cos(t) \cdot e^{{ \bruch{r}{2 \cdot \cos(t) } } \right]_0^{ 2 \cos(t) } [/mm]
[mm] = \integral_{ \bruch{ - \pi}{2}}^{\bruch{ \pi}{2}} 2 \cdot \cos(t) \cdot e - 2 \cdot \cos(t) dt [/mm]
[mm] = \left[ 2 \cdot \sin(t) \cdot e - 2 \cdot \sin(t) dt \right]_{ \bruch{ - \pi}{2}}^{\bruch{ \pi}{2}} [/mm]
[mm] = 2e - 2 - ( - 2e +2 ) = 4e - 4 [/mm]
So, das wäre mein Ergebnis.
Ok so?
Vielen Dank nochmal für die Mühe ud die Zeit!
Viele Grüße
Irmchen
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Und das? [mm]\left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,t)} \right|[/mm] ?
Ansonsten stimmt dein Vorgehen. (Allerdings solltest du um den Integranden stets Klammern setzen, solange der kein Produkt ist.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Di 05.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
Oh ja, das habe ich total vergessen...
Ich habe das jetzt neu berechnet und es schaut besser aus.
So, mein Ergebnis:
[mm]
\integral_{ \bruch{ - \pi }{2} }^{\bruch{ \pi }{2} } \integral_0^{ 2 \cos(t) } e^{ \bruch{r}{2 \cos (t) } } \cdot r drdt [/mm].
So nachdem cih das innere Integral über r mit Hilfe von partieller Integration gelöst habe, folgt
[mm] ... = \integral_{ \bruch{ - \pi }{2} }^{\bruch{ \pi }{2} } 4 \cdot \cos^2 (t) dt [/mm]
[mm] = 4 \left[ \bruch{1}{2} t + \bruch{1}{4} \sin 2t \right]_{ \bruch{ - \pi }{2} }^{\bruch{ \pi }{2} } [/mm]
[mm] = 2 \pi [/mm]
Ich denke, dass ich jetzt richtig liege...
Oder?
Viele Grüße und nochmal vielen vielen Dank!
Irmchen
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Hallo Irmchen!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich konnte keinen Fehler entdecken ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Di 05.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank für die Beiträge!
Viele Grüße
Irmchen
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