Beschränktheit einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Do 12.08.2010 | | Autor: | Konoid |
Hallo Zusammen,
ich kann einen Schritt in einem Beweis nicht nachvollziehen:
Sei eine Folge f:= [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n:=\summe_{k=1}^{n}k^-^2 [/mm] . Zu zeigen ist, das diese Folge beschränkt ist, also es ein [mm] \left| a_n \right| \le [/mm] K gibt.
Jetzt gibt es den Ansatz [mm] n\ge [/mm] 2:
[mm] \left| a_n \right|=a_n= [/mm] 1+ [mm] \summe_{k=1}^{n}k^-^2 \le [/mm] 1 [mm] +\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k-1)} [/mm] <- [mm] \underbar{den Schritt verstehe ich nicht}!
[/mm]
Wenn ich $k^-^2$ Umforme habe ich ($k^-^2$ = [mm] \bruch{1}{k^2}) [/mm] .
[mm] \bruch{1}{k^2 \bf-k}= \bruch{1}{k(k-1)}
[/mm]
Ich verstehe nicht warum man nun [mm] \bf-k [/mm] und nicht [mm] \bf+k [/mm] nimmt?
Mit so etwas habe ich immernoch Probleme.
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jens,
> Hallo Zusammen,
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> ich kann einen Schritt in einem Beweis nicht
> nachvollziehen:
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> Sei eine Folge f:= [mm](a_n)[/mm] mit [mm]a_n:=\summe_{k=1}^{n}k^-^2[/mm] .
> Zu zeigen ist, das diese Folge beschränkt ist, also es ein
> [mm]\left| a_n \right| \le[/mm] K gibt.
>
> Jetzt gibt es den Ansatz [mm]n\ge[/mm] 2:
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> [mm]\left| a_n \right|=a_n=[/mm] 1+ [mm]\summe_{k=1}^{n}k^-^2 \le[/mm] 1 [mm]+\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k-1)}[/mm] <- [mm]\underbar{den Schritt verstehe ich nicht}![/mm]
Stimmen denn da alle Indizes an der Summe?
Ist es nicht vllt. so, dass da
[mm] $|a_n|=a_n=\sum\limits_{k=1}^{n}k^{-2}=1+\sum\limits^{n}_{k=\red{2}}k^{-2}=1+\sum\limits^{n}_{k=\red{2}}\frac{1}{k^{2}}\le1+\sum\limits^{n}_{k=\red{2}}\frac{1}{k\cdot{}(k-1)}$ [/mm] steht? (für [mm] $n\ge [/mm] 2$)
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> Wenn ich [mm]k^-^2[/mm] Umforme habe ich ([mm]k^-^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{k^2})[/mm]
> .
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> [mm]\bruch{1}{k^2 \bf-k}= \bruch{1}{k(k-1)}[/mm]
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> Ich verstehe nicht warum man nun [mm]\bf-k[/mm] und nicht [mm]\bf+k[/mm]
> nimmt?
Nun, es ist doch [mm] $\blue{k^2} [/mm] \ [mm] =k\cdot{}k [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] \blue{k\cdot{}(k-1)}$ [/mm] für [mm] $k\ge [/mm] 2$
Damit [mm] $\blue{\frac{1}{k^2}} [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] \blue{\frac{1}{k\cdot{}(k-1)}}$
[/mm]
>
> Mit so etwas habe ich immernoch Probleme.
>
> Vielen Dank!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Do 12.08.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu schachuzipus:
Warum macht man diese Abschätzung ?
Darum:
[mm] $|a_n| \le 1+\summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{k(k-1)}= 1+\summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{k-1}-\bruch{1}{k})= [/mm] 1+1-1/n [mm] \le [/mm] 2$
(Teleskopsumme)
FRED
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