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Hallo zusammen!
Mein Frage ist, wie ich beweise oder herleite, dass die erste Ableitung von ln(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist...
Das hat was damit zu tun, dass das die Umkehrfunktion von [mm] e^x [/mm] ist, gell!?
Aber wie beweise ich, dass ln(x) die Umkehrfunktion von [mm] e^x, [/mm] sodass sich uf grund dieser Basis die oben genannte ABleitung ergibt??
Liebe Grüße, Steffi
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Di 08.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Steffichen!
> Hallo zusammen!
> Mein Frage ist, wie ich beweise oder herleite, dass die
> erste Ableitung von ln(x)= [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist...
> Das hat was damit zu tun, dass das die Umkehrfunktion von
> [mm]e^x[/mm] ist, gell!?
Genau! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Sei [mm] $f(x):=\exp(x)$. [/mm] Dann gilt [mm] $f^{inv}(x)=\ln(x)$ [/mm] (hierbei ist [m]f^{inv}[/m] die Umkehrfunktion zu $f$, und es ist:
[mm] $f^{inv}:\,\IR_{>0} \to \IR$).
[/mm]
Nun habt ihr sicherlich einmal folgende Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion gelernt:
[mm] $\blue{(\star)}$ $[f^{inv}(y)]'=\frac{1}{f'(x)}$, [/mm] wobei $y=f(x)$
(Beachte dabei: [mm] $[f^{inv}(y)]'=\frac{df^{inv}(y)}{dy}$ [/mm] und beachte auch:
[mm] $f:\,\IR \to \IR_{>0}$, [/mm] es gilt also $y=f(x)>0$.)
Wegen [mm] $f(x)=\exp(x)$ $\Rightarrow$ $f'(x)=\exp(x)=f(x)=y$ [/mm] folgt in unserem Falle also:
[m][f^{inv}(y)]'=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{\exp(x)}=\frac{1}{y}[/m] [mm] ($\forall [/mm] y >0$).
Mit anderen Worten:
[m]\frac{d\ln(y)}{dy}=\frac{1}{y}[/m], und da wir Funktionen nun mal lieber in Abhängigkeit von $x$ als von $y$ schreiben, schreiben wir nun auch als Variable anstelle des $y$ ein $x$ (das $x$ hat jetzt also nicht mehr die Bedeutung wie in [mm] $\blue{(\star)}$, [/mm] sondern das nimmt man jetzt einfach nur als gewohnte Variablenbezeichnung einer Funktion) (und beachten dabei, dass [mm] $\ln:\,\IR_{>0} \to \IR$, [/mm] d.h. wir fordern $x >0$):
[m]\frac{d\ln(x)}{dx}=\frac{1}{x}[/m] [mm] $(\forall [/mm] x > 0)$,
also:
[mm] $[\ln(x)]'=\frac{1}{x}$ $(\forall [/mm] x > 0)$.
> Aber wie beweise ich, dass ln(x) die Umkehrfunktion von
> [mm]e^x,[/mm] sodass sich uf grund dieser Basis die oben genannte
> ABleitung ergibt??
Wie habt ihr denn den [mm] $\ln$ [/mm] eingeführt? Oft definiert man ja gerade den [mm] $\ln$ [/mm] als die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion [mm] $\exp$...
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Di 08.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal, Steffichen!
Ich habe übrigens mal gerade auch das Forum (für dich  ) durchstöbert, und alternativ kannst du dir auch mal diesen Beweis von Marc [mm] ($\leftarrow$ click it!) angucken!
Viele Grüße,
Marcel
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:08 Mi 09.03.2005 | | Autor: | STeffichen |
Nun ist die Umkehrfunktion zu , es gilt deswegen:
[mm] $e^{\ln x}=x$
[/mm]
WIESOOOOO?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hi Steffichen!
> Nun ist die Umkehrfunktion zu , es gilt deswegen:
>
>
> [mm]e^{\ln x}=x[/mm]
>
> WIESOOOOO?
Worauf bezieht sich denn deine Frage überhaupt? Warum der natürliche Logarithmus [mm] $\ln$ [/mm] die Umkehrfunktion von der Exponentialfunktion [mm] $\exp$ [/mm] ist?
Oder warum [mm] $e^{\ln(x)}=x$ [/mm] gilt?
Naja:
Sind $X,Y$ zwei Mengen, $f: X [mm] \to [/mm] Y$ eine  bijektive Abbildung, [mm] $f^{inv}: [/mm] Y [mm] \to [/mm] X$ die Umkehrabbildung von $f$, dann gilt:
1.) [mm] $f(f^{inv}(y))=y$ $\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y$
2.) [mm] $f^{inv}(f(x))=x$ $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X$
Wegen 1.) gilt für [mm] $f=\exp:\; \IR \to \IR_{>0}$,[/mm] [m]f^{inv}=\ln:\; \IR_{>0} \to \IR[/m]:
[mm] $\exp(\ln(x))=x$ $\forall [/mm] x [mm] \in \IR_{>0}$.
[/mm]
Und wegen [mm] $\exp(z)=e^z$ $\forall [/mm] z [mm] \in \IR$ [/mm] erhältst du damit:
[mm] $\exp(\ln(x))=e^{\ln(x)}=x$ $\forall [/mm] x > 0$.
Falls du jetzt aber wissen willst, warum [mm] $\ln$ [/mm] die Umkehrfunktion von [mm] $\exp$ [/mm] ist, dann solltest du mir schon die Frage beantworten, wie ihr den [mm] $\ln$ [/mm] eingeführt habt. Andernfalls kann ich dir leider nicht weiterhelfen (meine Glaskugel ist wohl kaputt ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") ).
Also: Nicht's für ungut!
Viele Grüße,
Marcel
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