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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:56 Sa 17.03.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Zeige, dass auch A' A = det(A) [mm] I_n [/mm] gilt, selbst wenn A nicht invertierbar ist.
In der Vorlesung hatten wir den Beweis:A A'= det(A) [mm] I_n
[/mm]
(den ich auch verstanden habe)
A' _{ij} := [mm] (-1)^{i+j} det(\mathcal{A}_{(ji)})
[/mm]
[mm] \mathcal{A}_{(ji)}.. [/mm] Ist die Matrix A mit streichen der j-ten Zeile und i-ten Spalte |
Muss ich nun den beweis in modifierter ARt nochmal machen oder geht das auch irgendwie mit [mm] det(A^t) [/mm] =det(A) ?
Der Beweis war in der Vorlesung so aufgebaut, dass die Formel zuerst für die Diagonalelemente gezeigt wurde:
Entwickeln nach i-ten Zeile und Definition von A' anwenden:
det(A) = [mm] \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} A_{ij} det(\mathcal{A}_{(ij)})= \sum_{j=1}^n A_{ij} [/mm] A'_{ji} = [mm] (A*A')_{ii}
[/mm]
Für den neuen beweis:
Ich entwickle nach der j-ten Zeile
det(A) = [mm] \sum_{j=1}^n (-1)^{j+i} A_{ji} det(\mathcal{A}_{(ji)}) [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^n A_{ij} [/mm] *A'_(ij)
Aber ich darf ja nicht das Kommutativ-gesetzt anwenden!??
Der Beweis ist öffentlich auf:
http://www.mat.univie.ac.at/~stefan/files/LA/LA.Skriptum.p.119-140.pdf
S.13-S.14
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mo 19.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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