Beweisen (Chi²-, t-V) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Do 15.03.2012 | | Autor: | SteFi344 |
Hallo
Ich hätte fragen bezüglichen Beweisen welche ich erstellen muss. Ich bin mir nicht sicher ob ich hier richtig bin, aber ich probiers mal.
Eine Zufallsvariable Y die unabhängig und gleichverteilt [mm] N(0,\sigma^2) [/mm] für i=1,...n.
(a) Zeige dass [mm] E(\frac{Y_i^2}{\sigma^2})
[/mm]
(b) Zeige dass [mm] W=(\frac{1}{\sigma^2}*\sum Y_i^2) [/mm] ist [mm] chi^2_n [/mm] verteilt
(c) Zeige dass E(W) = n
(d) Zeige dass V = [mm] \frac{Y_1}{\sqrt\frac{\sum Y_i^2}{n-1}} [/mm] t-verteilt ist.
Folgend meine Versuche zu den Beweisen.
(a) [mm] E(\frac{Y_i^2}{\sigma^2})= E(\frac{Y_i^2}{E(Y_i^2) - (E(Y_i)^2})
[/mm]
da [mm] (E(Y_i)^2 [/mm] = 0
bleibt [mm] E(\frac{Y_i^2}{E(Y_i^2)})
[/mm]
darf ich [mm] (\frac{E(Y_i^2)}{E(E(Y_i^2))}) [/mm] schreiben, durch kürzen würde hier 1 heraus bekommen. Doch bin ich mir nicht sicher ob ich diesen Schritt machen darf?
(b) [mm] W=(\frac{1}{\sigma^2}*\sum Y_i^2) [/mm]
Laut Definition in Wikipedia ist die [mm] \chi^2_n [/mm] Verteilung [mm] \chi^2_n \sim Z_1^2 [/mm] + [mm] \dotsb [/mm] + [mm] Z_n^2. [/mm] Also ist W die [mm] \chi^2_n [/mm] Verteilung mit [mm] \frac{1}{\sigma^2} [/mm] multipliziert.
Hier habe ich nicht wirklich eine Idee wie ich das beweisen kann.
(c) Ist E(W) = n nicht per Definition so? Wie sollte man das Beweisen, wenn es eine Definition ist?
(d) Hierzu habe ich auch keine Ahnung wie der Beweis gehen sollte.
Ich hoffe das mir jemand helfen kann.
Danke schon mal im vorraus!
lg SteFi344
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
http://www.statistik-forum.de/post3999.html#p3999
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Do 15.03.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin SteFi344,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Vielleicht solltest du erwaegen, Fragen nur in *einem*
Forum zu stellen. Ich spreche jetzt nur fuer mich: Warum
sollte ich mir die Muehe machen, wenn deine Fragen
anderweitig vielleicht schon beanwortet wurden?
Das jedenfalls sind so meine Gedanken ...
vg Luis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Fr 16.03.2012 | | Autor: | luis52 |
>
> Folgend meine Versuche zu den Beweisen.
> (a) [mm]E(\frac{Y_i^2}{\sigma^2})= E(\frac{Y_i^2}{E(Y_i^2) - (E(Y_i)^2})[/mm]
>
> da [mm](E(Y_i)^2[/mm] = 0
> bleibt [mm]E(\frac{Y_i^2}{E(Y_i^2)})[/mm]
> darf ich [mm](\frac{E(Y_i^2)}{E(E(Y_i^2))})[/mm] schreiben,
> durch kürzen würde hier 1 heraus bekommen. Doch bin ich
> mir nicht sicher ob ich diesen Schritt machen darf?
Ein bisschen umstaendlich aber okay.
>
> (b) [mm]W=(\frac{1}{\sigma^2}*\sum Y_i^2)[/mm]
> Laut Definition in Wikipedia ist die [mm]\chi^2_n[/mm] Verteilung
> [mm]\chi^2_n \sim Z_1^2[/mm] + [mm]\dotsb[/mm] + [mm]Z_n^2.[/mm] Also ist W die
> [mm]\chi^2_n[/mm] Verteilung mit [mm]\frac{1}{\sigma^2}[/mm] multipliziert.
> Hier habe ich nicht wirklich eine Idee wie ich das
> beweisen kann.
>
Da steht noch mehr: [mm] $Z_1,...,Z_n$ [/mm] sind *unabhaengig* und *standardnormalverteilt*. Was kannst du ueber [mm] $Z_i=Y_i/\sigma$ [/mm] , [mm] $i=1,\dots,n$ [/mm] sagen?
> (c) Ist E(W) = n nicht per Definition so? Wie sollte man
> das Beweisen, wenn es eine Definition ist?
Nein. Nutze die alte Bauernregel [mm] $\operatorname{E}[U+V]=\operatorname{E}[U]+\operatorname{E}[V]$.
[/mm]
>
> (d) Hierzu habe ich auch keine Ahnung wie der Beweis gehen
> sollte.
Was weisst du denn uber die t-Verteilung?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Mo 19.03.2012 | | Autor: | SteFi344 |
Danke für deine Hilfe.
Ich habe mir die Sachen mit deinen Tipps nochmal angeschaut, leider habe ich sie nicht rechtzeitig Lösen könne, aber deine Tipps haben mir geholfen die Sachen Teilweise gelöst zu haben.
Ich konnte auch nachvollziehen was ein Kollege in der Übung präsentiert hat zu diesen Punkten.
Vielen Dank nochmal!
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