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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Do 20.01.2005 | | Autor: | Yoko |
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe zur Differenzierbarkeit liegen und irgendwie scheint es mir, als ob mir das differenzieren nicht ganz klar ist.
---------------
Hier die Aufgabe
f: [mm] \IR \to \IR [/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x \ge0 \\ - x^{2}, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass f in R differenzierbar ist.
b)Ist die Ableitung [mm] f':\IR \to \IR [/mm] ebenfalls differenzierbar in ganz R?
----------------
zu a) Zuerst muss ich ja zeigen, das [mm] f\(x) [/mm] in allen [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar ist.
Also
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}= \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{ x^{2}- x_{0}^{2}}{x-x_{0}}= \limes_{x\rightarrow x_{0}}x-x_{0}=2x_{0}
[/mm]
Für den anderen Fall ist es nur negativ und das sind ja genau meine beiden Ableitungen.
Heißt das jetzt das [mm] f\(x) [/mm] in ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist oder muss noch was weiteres gemacht werden um zu zeigen das f differenzierbar ist?
zu b)Ist es hier nicht das gleiche nur das ich die zweite Ableitung bilde?
Jede Hilfe zur Differenzierbarkeit ist willkommen
gruß yoko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Do 20.01.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Yoko
> Hallo,
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> ich habe hier eine Aufgabe zur Differenzierbarkeit liegen
> und irgendwie scheint es mir, als ob mir das differenzieren
> nicht ganz klar ist.
> ---------------
> Hier die Aufgabe
>
> f: [mm]\IR \to \IR[/mm]
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^{2}, & \mbox{für } x \ge0 \\ - x^{2}, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
>
>
> a) Zeigen Sie, dass f in R differenzierbar ist.
> b)Ist die Ableitung [mm]f':\IR \to \IR[/mm] ebenfalls
> differenzierbar in ganz R?
> ----------------
>
> zu a) Zuerst muss ich ja zeigen, das [mm]f\(x)[/mm] in allen [mm]x_{0}[/mm]
> differenzierbar ist.
> Also
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}= \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{ x^{2}- x_{0}^{2}}{x-x_{0}}= \limes_{x\rightarrow x_{0}}x-x_{0}=2x_{0}
[/mm]
Du meinst
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}(x [/mm] + [mm] x_0) [/mm]
Das ist richtig für alle [mm] x_0 [/mm] > 0 und x aus einer geeigneten Umgebung von [mm] x_0
[/mm]
>
> Für den anderen Fall ist es nur negativ und das sind ja
> genau meine beiden Ableitungen.
Die Rechnung gilt aber auch nur für [mm] x_0 [/mm] < 0.
> Heißt das jetzt das [mm]f\(x)[/mm] in ganz [mm]\IR[/mm] differenzierbar ist
Das heißt, daß f für alle [mm] [mm] x_0 \not= [/mm] 0 differenzierbar ist.
> oder muss noch was weiteres gemacht werden um zu zeigen das
> f differenzierbar ist?
Du musst noch zeigen, dass f an der Stelle 0 differenzierbar ist.
Dazu brauchst du den Grenzwert
[mm][mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] einmal für x>0 und einmal für x<0. Wenn dann diese beiden Grenzwerte übereinstimmen, ist die Funktion auch an der Stelle 0 differenzierbar.
Wenn du eine abschnittweise definierte Funktion hast, musst du die Stelle, an der sich der Funktionsterm ändert, immer gesondert untersuchen, weil du ja zeigen musst, dass der Grenzwert für alle x aus einer geeigneten Umgebung Von [mm] x_0 [/mm] derselbe ist.
>
> zu b)Ist es hier nicht das gleiche nur das ich die zweite
> Ableitung bilde?
Untersuche auch hier die Stelle x=0 gesondert. Du wirst dann merken, dass f' an der Stelle x=0 nicht differenzierbar ist.
Wenn noch Fragen sind, melde dich.
Gruß Sigrid
>
> Jede Hilfe zur Differenzierbarkeit ist willkommen
>
> gruß yoko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Do 20.01.2005 | | Autor: | Yoko |
Ersteinmal danke! ^_^
Ok, den Fall =0 betrachte ich ab jetzt gesondert
wenn ich jetzt in b) den Fall [mm] x_{0}=0 [/mm] betrachte dann habe ich 2 und -2 raus. Aber auch 2 für x>0, und -2 für den Fall x<0.
Das heißt jetzt das f'(x) in ganz IR nicht differenzierbar ist, hab ich das richtig verstanden?
Gruß Yoko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Do 20.01.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Yoko,
> Ersteinmal danke! ^_^
>
> Ok, den Fall =0 betrachte ich ab jetzt gesondert
>
> wenn ich jetzt in b) den Fall [mm]x_{0}=0[/mm] betrachte dann habe
> ich 2 und -2 raus. Aber auch 2 für x>0, und -2 für den Fall
> x<0.
> Das heißt jetzt das f'(x) in ganz IR nicht differenzierbar
> ist, hab ich das richtig verstanden?
Das könnte man missverstehen.
Die Funktion f' ist nicht in ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar. Sie ist an allen Stellen außer der 0 differenzierbar. Wenn ihr die Differenzierbarkeit der ganzrationalen Funktionen benutzen könnt, kannst du sagen: Für jede Stelle [mm] x_0 \not= 0 [/mm] stimmt f' in einer geeigneten Umgebung von [mm] x_0 [/mm] mit einer ganzrationalen Funktion überein, ist also differenzierbar an der Stelle [mm] x_0 \not= 0 [/mm]. Sonst kannst du es über die Grenzwertzberechnung zeigen.
Gruß Sigrid
>
> Gruß Yoko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Do 20.01.2005 | | Autor: | Yoko |
ich dachte hier könnte ich es folgendermaßen machen
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f'(x)-f'(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
und das ist ja dementsprechend für positive oder negative x +-2
Also ist das so nicht ganz korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Do 20.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
für alle x ungleich Null existiert f'' bei x = 0 nicht! da die links und rechtsseitigen Grenzwerte verschieden sind. Du siehst ja auch, dass der Graph von f' eine "Ecke" hat
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Do 20.01.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Yoko
> ich dachte hier könnte ich es folgendermaßen machen
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> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f'(x)-f'(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
>
>
> und das ist ja dementsprechend für positive oder negative x
> +-2
>
> Also ist das so nicht ganz korrekt?
>
Ich bin nicht ganz sicher, ob ich dein Problem richtig sehe, aber ich probier's mal. Wenn du eine Stelle [mm] x_0 \not= 0 [/mm] hast, dann findest du eine Umgebung [mm] U(x_0), [/mm] so dass alle x aus dieser Umgebung von 0 verschieden sind. Es ist für alle [mm] x>x_0
[/mm]
[mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{f'(x)-f'(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm]
= [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}} \bruch{2x - 2x_0}{x-x_{0}} [/mm]
= 2
Das gleiche gilt aber auch für alle x mit 0 < x < [mm] x_0.
[/mm]
Ein Problem tritt also erst auf, wenn du [mm] x_0 [/mm] = 0 hast, dann sind die x-Werte rechts von [mm] x_0 [/mm] positiv, also f'(x)=2x.
Die Werte links von [mm] x_0 [/mm] sind aber negativ, also f'(x)=-2x. Du bekommst also für den Grenzwert unterschiedliche Werte, je nachdem ob du dich der 0 von rechts oder von links näherst, so wie es Leduart ja auch schon erklärt hat.
Gruß Sigrid
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