Einführung Trigon. Funktionen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:36 Di 09.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
wir führen in der Schule durchgehend Kurvendiskussionen aus, doch leider ohne periodische Funktionen in Betracht zu ziehen.
Nun kenn ich den Sinus- und Cosinussatz noch aus der Mittelstufe, das war Geometrie damals.
Ich finde leider bloß keinen Einstieg in das Gebiet der periodischen Funktionen .. insbesondere Funktionen und ihre Graphen im Koordinatensystem.
Die Internetseiten, die ich zu dem Thema finden konnte, bezogen sich jedes mal auf die Darstellung der Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck oder die Sinus & Cosinus Strecken am Einheitskreis.
Ich würde mich freuen, wenn jemand hilfreiche Links, Scripte oder sehr gerne auch Bücher zu dem Thema kennt.
Natürlich wäre ich auch erfreut, wenn mir hier jemand sagen kann, was ich wissen muss - welche Theoreme & Sätze ich brauche.
Das Thema sollte ja (erstmal) nicht ganz so schwer sein nehm' ich an.
Viele Grüße,
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
unter der Adresse
http://www.mathe-bf.ch
findest du zu vielen Gebieten der Oberstufenmathematik
Aufgaben mit ausführlichen Lösungen, unter Analysis
auch recht viele zu trigonometrischen Funktionen.
Schönen Gruß al-Chw.
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Hallo ChopSuey,
Bücher brauchst Du dazu wahrscheinlich erstmal nicht.
Arbeite vielleicht erstmal ![[]](/images/popup.gif) diese Seite durch.
Ansonsten schau ruhig hier im Forum nach Anfragen zu Aufgaben aus diesem Bereich.
Ein bisschen hilft auch die (recht kleine) Tabelle bei Wikipedia.
Wenn Du so etwas wie den Mathematik-Duden zuhause hast, findest Du wesentlich mehr.
Grüße,
rev
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:37 Di 09.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Al-Chwarizmi & reverend  ,
>
> danke für die schnellen Antworten!
>
> Habe mir beide Links angesehen, die sind auf alle Fälle
> sehr nützlich.
> Bei der Wikibooks-Seite wird schon die Kurvendiskussion
> für die Trigonometrischen Funktionen durchgeführt, das ist
> für mich noch alles fremd.
>
> Bei beiden Links war leider nichts dabei, was mir erstmal
> grundlegend die Sinus & Cosinus funktionen erklärt/näher
> bringt.
> Ich bin quasi am Punkt Null beim Thema Trigonometrische
> Funktionen, ich weiss da wirklich noch garnichts drüber.
dann solltest Du zunächst den Sinus am Einheitskreis verstehen, siehe z.B. hier oder hier (Sinus am Einheitskreis), oder auch die Sinusfunktion).
Dann ist mit Sicherheit schonmal die [mm] $2\,\pi$-Periodizität [/mm] geklärt und man kann sich auch klarmachen, wo diese Funktion Extremstellen hat.
(Hier siehst Du z.B. eine Simulation dazu; und hier siehst Du auch wirklich, wie die Sinusfunktion zustandekommt. (Zwei Mankos: Zum einen sollte man anstelle der Winkel (90° etc.) besser reelle Werte (im Sinne vom Winkel im Bogenmaß: Umrechnung: [mm] $\alpha°=(\alpha/360)*2\pi$)) [/mm] nehmen. Zum anderen sollte man auch Winkel $< 0$ richtig zeichnen können....
Edit: Wenn man allerdings genau hinguckt, ist das erstgenannte Manko doch keines: Der zugehörige Winkel im Bogenmaß wird direkt auf die $x$-Achse abgetragen. Leider bleiben die Winkel allerdings stets nur zwischen $0°$ und $360°$ bzw. $0$ und [mm] $2\,\pi$...)
[/mm]
(Hier kannst Du auch mal reingucken.)
Ob Du das verstanden hast, dann kannst Du auch hiermit nochmal überprüfen und dann weißt Du wenigstens schonmal, wie die Sinusfunktion überhaupt zustandekommt. Das erklärt dann schon einige Eigenschaften (Extremstellen, [mm] $2\,\pi$-Periodizität, [/mm] "Stetigkeit", trigonometrischer Pythagoras)...
P.S:
Das alles zusammen findet man (im Wesentlichen) auch hier.
P.P.S.:
Noch ein Bildchen findest Du hier, und zum Verständnis auch noch hier, S.3.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Sa 13.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo nochmal,
ich hab ne ganz kleine Frage zu einem bestimmten Parameter, deshalb stell ich die Frage lieber gleich hier.. hoffe das ist ok
Ich würde gerne wissen, welche Eigenschaft der Parameter $\ k $ in der Funktionsgleichung
$\ sin(x + [mm] 2\pi{\red{k}}) [/mm] = sin(x)$ besitzt.
Würde mich über eine Antwort freuen
Viele Grüße,
ChopSuey
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Was meinst Du mit "Eigenschaft"? [mm] k\in\IZ, [/mm] sonst nichts.
Oder meinst Du, warum er dasteht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Sa 13.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo reverend,
> Was meinst Du mit "Eigenschaft"? [mm]k\in\IZ,[/mm] sonst nichts.
>
> Oder meinst Du, warum er dasteht?
Sorry, meine Frage bezog sich auf letzteres. Welchem Zweck dient der Parameter?
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Hallo ChopSuey,
> Hallo reverend,
>
> > Was meinst Du mit "Eigenschaft"? [mm]k\in\IZ,[/mm] sonst nichts.
> >
> > Oder meinst Du, warum er dasteht?
>
> Sorry, meine Frage bezog sich auf letzteres. Welchem Zweck
> dient der Parameter?
Um deutlich zu machen, dass die Sinusfunktion [mm] $2\pi$-periodisch [/mm] ist, dh. jeder Funktionswert [mm] $\sin(x)$ [/mm] tritt [mm] $2\pi$ [/mm] weiter wieder auf, und nochmal [mm] $2\pi$ [/mm] weiter, und nochmal ...; ebenso davor.
Also tritt jeder Funktionswert von [mm] $\sin(x)$ [/mm] ganzzahlige Vielfache von [mm] $2\pi$ [/mm] weiter (also auch davor) wieder auf
In Zeichen: [mm] $\sin(x)=\sin(x+2k\pi)$ [/mm] mit [mm] $k\in\IZ$
[/mm]
Nochmal ausgeschrieben also zB. [mm] $\sin(x)=\sin(x+379\cdot{}2\pi)=\sin(x-35\cdot{}2\pi)...$
[/mm]
Das $k$ ist also nur ein Platzhalter für irgendeine beliebige ganze Zahl
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Sa 13.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo schachuzipus,
> Hallo ChopSuey,
>
> > Hallo reverend,
> >
> > > Was meinst Du mit "Eigenschaft"? [mm]k\in\IZ,[/mm] sonst nichts.
> > >
> > > Oder meinst Du, warum er dasteht?
> >
> > Sorry, meine Frage bezog sich auf letzteres. Welchem Zweck
> > dient der Parameter?
>
> Um deutlich zu machen, dass die Sinusfunktion
> [mm]2\pi[/mm]-periodisch ist, dh. jeder Funktionswert [mm]\sin(x)[/mm] tritt
> [mm]2\pi[/mm] weiter wieder auf, und nochmal [mm]2\pi[/mm] weiter, und
> nochmal ...; ebenso davor.
>
> Also tritt jeder Funktionswert von [mm]\sin(x)[/mm] ganzzahlige
> Vielfache von [mm]2\pi[/mm] weiter (also auch davor) wieder auf
>
> In Zeichen: [mm]\sin(x)=\sin(x+2k\pi)[/mm] mit [mm]k\in\IZ[/mm]
>
> Nochmal ausgeschrieben also zB.
> [mm]\sin(x)=\sin(x+379\cdot{}2\pi)=\sin(x-35\cdot{}2\pi)...[/mm]
>
> Das [mm]k[/mm] ist also nur ein Platzhalter für irgendeine beliebige
> ganze Zahl
>
>
> LG
>
> schachuzipus
>
Ich bin mir gerade nicht sicher, ob ich das richtig verstanden habe. Ich weiss, dass die Periode $\ [mm] 2\pi [/mm] $ für sinus und cosinus gilt.
$\ k $ ist dann sozusagen das ganzzahlige Vielfache der Schwingung. Soll das heissen, das $\ k $ aussagt, wie oft sich die Schwingung wiederholt, oder an welcher Stelle die Schwingung untersucht wird?
Oder sind die Schwindungen links- sowie rechtsseitig unbegrenzt?
Gruß
ChopSuey
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Nein, das k wird normalerweise nur der Vollständigkeit halber angegeben, weil, wie Du es formulierst, die Schwingung nach beiden Seiten unbegrenzt ist.
Es genügt daher, eine Periode zu untersuchen, um zu wissen, wie die ganze Funktion aussieht. Habe ich also ein [mm] x_0 [/mm] gefunden, für dass [mm] \sin{x_0} [/mm] eine besondere Bedingung erfüllt (welche auch immer), dann weiß ich sofort sicher, dass auch [mm] x_{0.k}=x_0+2k\pi [/mm] die Bedingung erfüllt.
Wegen der Symmetrie des Sinus (und auch des Kosinus) ist das meist noch nicht alles, was zu sagen ist, aber wenigstens das ist bestimmt zu sagen.
k ist also mehr ein Platzhalter als ein echter Parameter, dessen Lauf durch seinen Definitionsbereich man wirklich betrachtet.
Im übrigen denke ich, dass Du all das beim Durcharbeiten von Marcels ausgezeichneter Zusammenstellung von Links auch verstehen solltest. Er hat da ganz offenbar viel Arbeit hineingesteckt, und sein Beitrag wird auch in Zukunft bei ähnlichen Fragen sicher verlinkt werden, auch von mir.
Grüße,
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Sa 13.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
> Nein, das k wird normalerweise nur der Vollständigkeit
> halber angegeben, weil, wie Du es formulierst, die
> Schwingung nach beiden Seiten unbegrenzt ist.
>
> Es genügt daher, eine Periode zu untersuchen, um zu wissen,
> wie die ganze Funktion aussieht. Habe ich also ein [mm]x_0[/mm]
> gefunden, für dass [mm]\sin{x_0}[/mm] eine besondere Bedingung
> erfüllt (welche auch immer), dann weiß ich sofort sicher,
> dass auch [mm]x_{0.k}=x_0+2k\pi[/mm] die Bedingung erfüllt.
>
> Wegen der Symmetrie des Sinus (und auch des Kosinus) ist
> das meist noch nicht alles, was zu sagen ist, aber
> wenigstens das ist bestimmt zu sagen.
>
> k ist also mehr ein Platzhalter als ein echter Parameter,
> dessen Lauf durch seinen Definitionsbereich man wirklich
> betrachtet.
> Im übrigen denke ich, dass Du all das beim Durcharbeiten
> von Marcels ausgezeichneter Zusammenstellung von Links auch
> verstehen solltest. Er hat da ganz offenbar viel Arbeit
> hineingesteckt, und sein Beitrag wird auch in Zukunft bei
> ähnlichen Fragen sicher verlinkt werden, auch von mir.
Den Beitrag von Marcel bzw die Links sind alle Teil meiner Favoriten/Lesezeichen. Die helfen mir ungemein. Ganz besonders die interaktiven Schaubilder Einheitskreis/Sinuswellen sind perfekt fürs Verständnis.
Klingt ja so, als würde ich die Arbeit ungeachtet lassen und die Links ignorieren.
Nene, Ich bin da schon dabei!
Ich bin über das $\ [mm] {\red{k}} [/mm] $ in einem meiner Lehrbücher gestolpert, und dort wird leider nicht gesagt, was dieser Platzhalter so bewirkt.
Danke für die Hilfe! Jetzt kann ich die Funktionsgleichung besser deuten.
Gruß
ChopSuey
>
> Grüße,
> rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Sa 13.12.2008 | | Autor: | reverend |
Ok, ok.
Es klang ein bisschen so, als bräuchtest du das gleiche nochmal. Ich wollte Dir damit nicht unterstellen, dass Du die Antworten nicht liest, die Du bekommst. So habe ich Dich bisher auch nicht erlebt, sondern schon zielgerichtet fragend und entsprechend -hm- mitgehend? Mir fällt grad kein passendes Wort ein.
Also, siehe Betreff.
Grüße,
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 Sa 13.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo reverend,
> Ok, ok.
> Es klang ein bisschen so, als bräuchtest du das gleiche
> nochmal. Ich wollte Dir damit nicht unterstellen, dass Du
> die Antworten nicht liest, die Du bekommst. So habe ich
> Dich bisher auch nicht erlebt, sondern schon zielgerichtet
> fragend und entsprechend -hm- mitgehend? Mir fällt grad
> kein passendes Wort ein.
Das würde mich doch freuen Ich bin mit den Antworten hier schon wahnsinnig bedient zu dem Thema, darum hab ich die Frage hier gleich eingeschoben.
Danke nochmals.
Schönen Abend noch:)
Gruß
ChopSuey
>
> Also, siehe Betreff.
>
> Grüße,
> rev
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 So 14.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Chopsuey,
> Hallo reverend,
>
> > Was meinst Du mit "Eigenschaft"? [mm]k\in\IZ,[/mm] sonst nichts.
> >
> > Oder meinst Du, warum er dasteht?
>
> Sorry, meine Frage bezog sich auf letzteres. Welchem Zweck
> dient der Parameter?
mittlerweile verstehst Du ja sicher die Interpretation des Sinus, Cosinus am Einheitskreis. Wir zeichnen den [mm] $\IR^2$ [/mm] wie üblich als kartesisches Koordinatensystem mit $x$- und $y$-Achse.
Zunächst gehen wir zum Punkt $(1,0)$ des [mm] $\IR^2$, [/mm] das ist auch ein Punkt der Kreislinie des Einheitskreises.
Von dort ausgehend laufen wir nun eine Strecke der Länge [mm] $\varphi_0 \in [0,2\,\pi)$ [/mm] auf der Kreislinie entlang (generell: Winkel nichtnegativ entspricht "gegen den Uhrzeigersinn", Winkel nichtpositiv entspr. "im Uhrzeigersinn"; s.u.), und so gelangen wir an den Punkt $(x,y) [mm] \in \IR^2$, [/mm] wo Du nun erkennen solltest, dass gilt [mm] $x=\cos(\varphi_0)$, $y=\sin(\varphi_0)$; [/mm] genaugenommen ist [mm] $\varphi_0$ [/mm] da gerade der "Winkel am Punkte $(0,0)$ des Dreiecks, welches gegeben ist durch die drei Punkte $(0,0)$, $(1,0)$ und [mm] $(\cos(\varphi_0),\sin(\varphi_0))$, [/mm] und wir diesen Winkel [mm] $\varphi_0$ [/mm] im Bogenmaß messen."
Jetzt folgendes:
Läufst Du (ausgehend vom zu [mm] $\varphi_0$ [/mm] gehörenden Punkt [mm] $(\cos(\varphi_0),\sin(\varphi_0))$ [/mm] des [mm] $\IR^2$) [/mm] einmal um den Einheitskreis herum, so legst Du eine Strecke der Länge [mm] $2\,\pi$ [/mm] zurück. Im Fall, dass Du gegen den Uhrzeigersinn läufst, ist der Winkel positiv, also auch der zugehörige Winkel im Bogenmaß positiv, also wird [mm] $2\,\pi$ [/mm] zu [mm] $\varphi_0$ [/mm] adddiert. Du stehst also zunächst am Punkt [mm] $(\cos(\varphi_0), \sin(\varphi_0)) \in \IR^2$, [/mm] läufst nun einmal gegen den Uhrzeigersinn auf der Kreislinie herum (dadurch ist der neue Winkel nun [mm] $\varphi'=\varphi_0+2\,\pi$) [/mm] und stehst demzufolge nun an der Stelle [mm] $(x^{(1)},y^{(1)})=(\cos(\varphi_0+2\,\pi),\sin(\varphi_0+2\,\pi))$.
[/mm]
Du stehst nun aber an der gleichen Stelle im Koordinatensystem, daher gilt also [mm] $(x^{(1)},y^{(1)})=(x,y)$, [/mm] andererseits ist [mm] $x^{(1)}=\cos(\varphi_0+1*2\,\pi)$, $y^{(1)}=\sin(\varphi_0+1*2\,\pi)$ [/mm] und [mm] $x=\cos(\varphi_0)$, $y=\sin(\varphi_0)$.
[/mm]
Also [mm] $\cos(\varphi_0)=x=x^{(1)}=\cos(\varphi_0+2\,\pi)$ [/mm] und [mm] $\sin(\varphi_0)=y=y^{(1)}=\sin(\varphi_0+2\,\pi).$ [/mm]
Dieses "Umrunden" des Kreises in "Gegenuhrzeigerrichtung" läßt sich natürlich wiederholen, so dass man (nach und nach) erkennt:
[mm] $$\sin(\varphi_0)\overset{(1)}{=}\sin(\varphi_0+1*2\,\pi)\overset{(2)}{=}\sin(\varphi_0+2*2\,\pi)\overset{(3)}{=}\sin(\varphi_0+3*2\,\pi)=...$$
[/mm]
[mm] $$\cos(\varphi_0)\overset{(1)}{=}\cos(\varphi_0+1*2\,\pi)\overset{(2)}{=}\cos(\varphi_0+2*2\,\pi)\overset{(3)}{=}cos(\varphi_0+3*2\,\pi)=...$$
[/mm]
Das wäre die (anschaulische, geometrische) Begründung (am Einheitskreis), wieso sicher, für festes [mm] $\varphi_0 \in [0,2\,\pi)$, [/mm] dann [mm] $\sin(\varphi_0)=\sin(\varphi_0+n*2\,\pi)$, \cos(\varphi_0)=\cos(\varphi_0+n*2\,\pi) [/mm] $(n [mm] \in \IN_0)$ [/mm] gilt.
Analog ergibt sich, durch "Laufen im Uhrzeigersinn" (d.h., bei einem einmaligen Umrunden des Kreises auf der Kreislinie, wird vom Winkel im Bogenmaß [mm] $2\,\pi$ [/mm] abgezogen!), dass für festes [mm] $\varphi_0 \in [0,2\,\pi)$, [/mm] dann [mm] $\sin(\varphi_0)=\sin(\varphi_0-n*2\,\pi)$, \cos(\varphi_0)=\cos(\varphi_0-n*2\,\pi) [/mm] $(n [mm] \in \IN_0)$ [/mm] gilt.
Insgesamt ergibt sich so gerade das, was oben steht:
[mm] $$\sin(\varphi_0)=\sin(\varphi_0+k*2\,\pi)$$
[/mm]
[mm] $$\cos(\varphi_0)=\cos(\varphi_0+k*2\,\pi)$$
[/mm]
für alle $k [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Also wenn Du so willst:
Addieren wir ein ganzzahliges Vielfaches von [mm] $2\,\pi$ [/mm] zu (irgendeinem) Winkel [mm] $\varphi_0$ [/mm] (welcher uns sagt, dass wir auf dem Einheitskreis stehen und mit Koordinaten [mm] $(\cos(\varphi_0),\sin(\varphi_0))$ [/mm] unseren aktuellen Standpunkt erkennen; und da können wir nun irgendeinen Winkel [mm] $\varphi_0 \in \IR$ [/mm] hernehmen!)- und laufen diese Strecke im Bogenmaß ab, so gelangen wir wieder an den Ausgangspunkt zurück. Das liegt (geometrisch gesehen) einfach daran, dass der Einheitskreis gerade den Umfang [mm] $2\,\pi$ [/mm] hat. Und zu einem Winkel [mm] $\varphi_0$ [/mm] im Bogenmaß [mm] $k*2\,\pi$ [/mm] addieren, heißt, salopp gesprochen, den Punkt im [mm] $\IR^2$, [/mm] der zu [mm] $\varphi_0$ [/mm] gehört, den Kreis nun $k$-Mal umrunden zu lassen. Genauer:
$|k|$ Mal, und wenn $k > 0$, so lassen wir den Punkt |k| Mal gegen den Uhrzeigersinn im Kreise laufen;
und wenn $k < 0$, so lassen wir den Punkt $|k|$ Mal im Uhrzeigersinn auf der Kreislinie laufen.
( Wenn $|k|=k=0$, so darf er direkt bleiben, wo er ist  .)
So, ich hoffe, der Versuch einer geometrischen Erklärung meinerseits ist einigermaßen verständlich. Ich finde es eigentlich immer wieder schade, wenn ich sehe, dass manche Leute an der Uni die Eulersche Identität [mm] $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] nicht interpretieren können (es geht mir nicht um eine Herleitung dieser Formel, sondern um eine Deutung dieser Formel in der komplexen Ebene). Dabei ist das geometrisch so einfach, wenn man einmal den Sinus- und Kosinus am Einheitskreis im [mm] $\IR^2$ [/mm] verstanden hat. Aber das nur nebenbei...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 So 14.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo ChopSuey,
> Hallo Marcel,
>
> vielen vielen Dank für die übersichtliche (geometrische)
> erklärung. Hab das echt durch und durch verstanden ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die interaktiven Darstellungen des Einheitskreises und die
> dazugehörigen Schwingungen der Sinuskurve, auf die du in
> deinem ersten Beitrag verwiesen hast helfen ungemein fürs
> verständnis, besonders jetzt, mit deinem zweiten Beitrag in
> Ergänzung.
>
> Kann dir garnicht genug Danken.
> Auch den anderen für ihre Antworten selbstverständnlich.
gern geschehen
> Nur die eulersche identität kann ich leider noch nicht ganz
> deuten ;)
Das ist auch kein Schulwissen. Es war auch so gemeint, dass jeder, der diese geometrische Interpretation/Definition kennt, eigentlich damit auch die Eulersche Identität, sofern er sie kennengelernt hat und sich mit komplexen Zahlen auskennt, deuten können soll. Von Dir ist das nicht zu verlangen, Du hast sicher wenig bis nichts über die komplexen Zahlen gehört und weißt sicher auch noch so gut wie nichts über die Eulersche Identität; das war eher auf's Mathematikstudium bezogen, nicht auf die Schule. Also mach' Dir keine Sorgen, wenn Du sie (noch) nicht zu deuten weißt
Gruß,
Marcel
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