Ermittlung von Extrempunkten < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:24 Mo 19.03.2012 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | | Ermittle die lokalen Extrempunkte von f(x) = [mm] \bruch{1}{4}x^4 -\bruch{1}{3}*x^3. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe an sich kein Problem, diese Aufgabe zu lösen.
Mir geht es darum, wie man dies formal hinsichtlich der notwendigen und hinreichenden Bedingungen hinschreiben muss, damit dies in einer Abiturprüfung als korrekt gewertet wird.
Wäre dies so richtig ?
f'(x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2
[/mm]
f''(x) = [mm] 3x^2 [/mm] - 2x
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0
[mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] = 0 ergibt als Lösung x = 0 oder x = 1.
Hinreichende Bedingung: f''(x) [mm] \not= [/mm] 0
f''(1) = 1 > 0 und damit Tiefpunkt [mm] TP(1/-\bruch{1}{12})
[/mm]
f''(0) = 0 keine Aussage möglich
Kontrolle mit VZW von f'(x):
f'(-0,1) > 0 und f'(0,1) > 0
Da kein VZW vorliegt, existiert bei x = 0 ein Sattelpunkt.
Meine Fragen:
1.) Hinreichende Bedingung bedeutet ja gleichzeitig f'(x) = 0 und f''(x) [mm] \not=0. [/mm] Kann man das trotzdem so getrennt darstellen ?
2.) Mathematisch exakt genügt es nicht, nur den VZW-Test mit Abstand 0,1 durchzuführen. Allerdings wird dies häufig im SChulunterricht so gemacht. Ich denke dass es auch für Abiturienten schwierig wäre, dies formal mit f'(0 + h) und f'(0 - h) nachzuweisen. Was meint ihr dazu ?
(Für einen Mathestudenten ginge so was natürlich gar nicht)
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Mo 19.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ermittle die lokalen Extrempunkte von f(x) =
> [mm]\bruch{1}{4}x^4 -\bruch{1}{3}*x^3.[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe an sich kein Problem, diese Aufgabe zu lösen.
> Mir geht es darum, wie man dies formal hinsichtlich der
> notwendigen und hinreichenden Bedingungen hinschreiben
> muss, damit dies in einer Abiturprüfung als korrekt
> gewertet wird.
>
> Wäre dies so richtig ?
> f'(x) = [mm]x^3[/mm] - [mm]x^2[/mm]
> f''(x) = [mm]3x^2[/mm] - 2x
>
> Notwendige Bedingung: f'(x) = 0
> [mm]x^3[/mm] - [mm]x^2[/mm] = 0 ergibt als Lösung x = 0 oder x = 1.
>
> Hinreichende Bedingung: f''(x) [mm]\not=[/mm] 0
> f''(1) = 1 > 0 und damit Tiefpunkt [mm]TP(1/-\bruch{1}{12})[/mm]
Bis hier ist alles korrekt.
>
> f''(0) = 0 keine Aussage möglich
>
> Kontrolle mit VZW von f'(x):
> f'(-0,1) > 0 und f'(0,1) > 0
1. Es gilt: f'(-0,1) < 0 und f'(0,1) < 0 !!
2. Ich weiß, dass das in der Schule so gemacht wird ("nur" mit 0,1), korrekt ist das nicht.
> Da kein VZW vorliegt, existiert bei x = 0 ein Sattelpunkt.
>
> Meine Fragen:
> 1.) Hinreichende Bedingung bedeutet ja gleichzeitig f'(x) =
> 0 und f''(x) [mm]\not=0.[/mm] Kann man das trotzdem so getrennt
> darstellen ?
> 2.) Mathematisch exakt genügt es nicht, nur den VZW-Test
> mit Abstand 0,1 durchzuführen. Allerdings wird dies
> häufig im SChulunterricht so gemacht.
Sag ich doch......
> Ich denke dass es
> auch für Abiturienten schwierig wäre, dies formal mit
> f'(0 + h) und f'(0 - h) nachzuweisen. Was meint ihr dazu ?
Na ja, für Schüler kann das schon schwierig sein. Es hängt von der Situation ab. Bei obiger Funktion ist
[mm] $f'(h)=h^2(h-1)$
[/mm]
Dann sieht man: für -1<h<1 und h [mm] \ne [/mm] 0 ist f'(h)<0.
Frag Deinen Lehrer, was akzeptiert wird.
FRED
> (Für einen Mathestudenten ginge so was natürlich gar
> nicht)
>
> Viele Grüße
> Rubi
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Mo 19.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Rubi,
> 1.) Hinreichende Bedingung bedeutet ja gleichzeitig f'(x) = 0 und [mm] f''(x)\not=0.
[/mm]
> Kann man das trotzdem so getrennt darstellen ?
Ich würde bei hinreichender Bedingung einfach "$f'(x)=0$ und [mm] $f''(x)\not=0$" [/mm] schreiben (und trotzdem getrennt notwendige und hinreichende Bedingung darstellen).
In der Praxis ist es wohl an Schulen hingegen üblich, "hinreichende Bedingung: [mm] $f''(x)\not=0$" [/mm] zu schreiben. Mit gutem Willen kann man dann noch hineininterpretieren, dass damit eine hinreichende Bedingung für Stellen x, die der notwendigen Bedingung genügen, gemeint sei.
> 2.) Mathematisch exakt genügt es nicht, nur den VZW-Test
> mit Abstand 0,1 durchzuführen. Allerdings wird dies
> häufig im SChulunterricht so gemacht. Ich denke dass es
> auch für Abiturienten schwierig wäre, dies formal mit
> f'(0 + h) und f'(0 - h) nachzuweisen. Was meint ihr dazu ?
> (Für einen Mathestudenten ginge so was natürlich gar
> nicht)
Man kann folgendermaßen argumentieren:
Schon berechnet wurde, dass f' genau bei 0 und 1 Nullstellen hat. Also kann die Frage, ob f' bei 0 einen VZW hat, anhand der Funktionswerte von f' an beliebiger Stellen x<0 bzw. 0<x<1 untersucht werden.
Dies kann man sich als Schüler an Bildchen klarmachen. Als Student würde man hier mit der Stetigkeit von f' und dem Zwischenwertsatz argumentieren.
Da x=-0,1 und x=0,1 in diesen Bereichen liegen, ist dieses Vorgehen aus meiner Sicht nicht zu beanstanden, WENN man sich obige Gedanken dazu macht. Die Wahl von -0,1 anstelle etwa des "einfacheren" Wertes -1 lässt allerdings vermuten, dass diese Gedanken nicht dahinterstecken.
Viele Grüße
Tobias
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