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| Aufgabe | | Eine 400-m-Laufbahn in einem Stadion besteht aus zwei parallelen Strecken und zwei angesetzten Halbkreisen. Für welchen Radius x der Halbkreise wird die rechteckige Spielfläche maximal? |
Ich verstehe nicht wie die das mit dem maximal meinen, ist die Fläche nicht maximal wenn x=unentlich ist?
Brauche bitte hilfe bei dieser Aufgabe...
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt http://www.infmath.de/thread.php?threadid=4678
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Di 29.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Eine 400-m-Laufbahn in einem Stadion besteht aus zwei
> parallelen Strecken und zwei angesetzten Halbkreisen. Für
> welchen Radius x der Halbkreise wird die rechteckige
> Spielfläche maximal?
> Ich verstehe nicht wie die das mit dem maximal meinen, ist
> die Fläche nicht maximal wenn x=unentlich ist?
> Brauche bitte hilfe bei dieser Aufgabe...
Hallo
Klar, wenn x [mm] \to \infty, [/mm] wird die Fläche Maximal. Hier hast du aber ein Stadion zu bauen, dass eine 400m Laufbahn UND einen möglichst grossen Innenraum haben soll.
Sei nun x der Radius der Bahn, und y die Länge der geraden Strecke der Laufbahn.
Das Rechteck (der Innenraum) hat den Flächeninhalt A = 2x * y
Jetzt soll die Laufbahn 400m lang sein.
Der Umfang der beiden Halbkreise, die ja Teil der Laufbahn sind, ist [mm] \bruch{2 \pi x}{2}, [/mm] also [mm] \pi [/mm] x.
Also gilt:
2 [mm] \pi [/mm] x + 2 y = 400. (Man läuft zwei mal die Gerade und zwei Halbkreise)
[mm] \gdw [/mm] y = [mm] \bruch{400 - 2 \pi x}{2} [/mm] = 200 - [mm] \pi [/mm] x.
Das ganze in die Flächenformel des Innenraumes
A = 2 x * y einsetzen ergibt:
A = 2 x (200 - [mm] \pi [/mm] x)
Hiervon suchst du jetzt das Maximum.
(entweder per Ableitung oder per Scheitelpunktsform das Ganze ist nämlich eine Parabel)
Marius
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