Extremwerte finden < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Do 11.08.2011 | | Autor: | Haiza |
| Aufgabe | Finde die Extremwerte folgender Aufgabe:
$ [mm] z=3xy^2+4x^3-3y^2-12x^2+1 [/mm] $ |
Hallo,
sorry dass ich im Moment so viele Fragen habe, aber ich kann es nicht ändern...
Also habe an sich die Aufgabe gelöst, bin mir aber noch zum Teil unsicher. Und zwar:
Ich hab $ [mm] z_x [/mm] $ , $ [mm] z_y [/mm] $, $ [mm] z_{xx} [/mm] $, $ [mm] z_{yy} [/mm] $ und $ [mm] z_{xy} [/mm] $ und $ [mm] z_{yx} [/mm] $ gebildet.
Nun habe ich in meinen Unterlagen gefunden, dass man zwei Bedingungen zu Anfang prüfen muss:
1. Ob$ [mm] z_x [/mm] = 0 $ ist wenn ich für x und y 0 einsetze.
2. Ob $ [mm] z_{xx} \cdot z_{yy} [/mm] - ( [mm] z_{xy})^2 [/mm] > 0$ ist wenn ich für x und y 0 einsetze.
Die Bedingungen kommen beide hin. Für 2. kommt 144 raus.
Anschließend setze ich für $ [mm] z_{xx} [/mm] $, $ [mm] z_{yy} [/mm] $ und $ [mm] z_{xy} [/mm] $ und $ [mm] z_{yx} [/mm] $ jeweils für x und y 0 ein und prüfe ob das Ergebnis:
>0 ist, also ein lokales Extremum
<0 ist, also ein Sattelpunkt
=0 ist, nicht zu Entscheiden mit diesem Verfahren.
Es kommt für $ [mm] z_{xx} [/mm] = -24 $ raus. Da -24 kleiner als 0 ist, ist es somit ein Maximum im Punkt (0,0).
So in den Lösungen steht, dass im Punkt (2,0) auch ein Extrema ist (Minimum). Ich weiß aber nicht wie ich das ausrechne. Ich weiß zwar, dass $ [mm] z_{xx} [/mm] $ für x=2 ebenfalls 24 ergibt (jedoch positiv) aber ich muss da ja auch irgendwie "hinkommen". Ind er Aufgabe lässt es sich vielleicht gut "ablesen" aber es gibt ja auch kompliziertere. Ich weiß nich genau wie ich das Prüfe bei welchen Punkten - wie z.B. (0,0) und (2,0) es Extremwerte gibt.
Gruß und Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Do 11.08.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die "kritischen" Punkte [mm] P(x_{k}/y_{k}), [/mm] also die möglichen Extrema sind die Punkte, an denen folgende beiden Bedingungen gelten:
[mm] f_{x}(x_{k})=0 [/mm] und [mm] f_{y}(x_{k})=0. [/mm]
Du suchst also - genau wie bei den Extremstellen im [mm] \IR^{2} [/mm] - die Stellen, an denen die partiellen Ableitung zu 0 wird, hier in [mm] \IR^{3} [/mm] bekommst du eben zwei Gleichungen, so dass du en Gleichungssystem mit zwei Variablen lösen musst, um die möglichen Extrema zu bekommen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Do 11.08.2011 | | Autor: | Haiza |
> Du suchst also - genau wie bei den Extremstellen im [mm]\IR^{2}[/mm]
> - die Stellen, an denen die partiellen Ableitung zu 0 wird,
> hier in [mm]\IR^{3}[/mm] bekommst du eben zwei Gleichungen, so dass
> du en Gleichungssystem mit zwei Variablen lösen musst, um
> die möglichen Extrema zu bekommen.
Okay.
Aus den Gleichungen $ [mm] z_x [/mm] $ und $ [mm] z_y [/mm] $ bekomme ich für x und y 0 raus. So soll es ja auch sein. Aber:
Es gibt ja noch einen weiteren Punkt (2;0). Wie komme ich denn dann da drauf?
Eine Frage noch. Schon wieder zum Arbeitspunkt...
In den Lösungen steht, dass somit der Arbeitspunkt bei P=(0;0;1) liegt. Wie kommt man auf die 1?
Gruß und Danke!
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Hallo Haiza,
>
> > Du suchst also - genau wie bei den Extremstellen im [mm]\IR^{2}[/mm]
> > - die Stellen, an denen die partiellen Ableitung zu 0 wird,
> > hier in [mm]\IR^{3}[/mm] bekommst du eben zwei Gleichungen, so dass
> > du en Gleichungssystem mit zwei Variablen lösen musst, um
> > die möglichen Extrema zu bekommen.
>
> Okay.
>
> Aus den Gleichungen [mm]z_x[/mm] und [mm]z_y[/mm] bekomme ich für x und y 0
> raus. So soll es ja auch sein.
Das ist nur eine der Lösungen des Gleichungssystems
(1) [mm]z_x=0[/mm]
(2) [mm]z_y=0[/mm]
> Aber:
> Es gibt ja noch einen weiteren Punkt (2;0). Wie komme ich
> denn dann da drauf?
Indem du das Gleichungssystem mal hier aufschreibst und löst.
Die zweite Gleichung, also [mm] $z_y=0$ [/mm] ist erfüllt für [mm]y=0[/mm] oder [mm]x=1[/mm]
Das in die erste Gleichung eingesetzt liefert (im Falle [mm]y=0[/mm]) die beiden Lösungen [mm]x=0[/mm] und [mm]x=2[/mm]
Also hast du schonmal die beiden stat. Punkte [mm](0,0)[/mm] und [mm](2,0)[/mm]
Mit [mm]x=1[/mm] ergeben sich aber noch weitere Lösungen.
Also schreibe mal das Gleichungssystem hin!
>
> Eine Frage noch. Schon wieder zum Arbeitspunkt...
>
> In den Lösungen steht, dass somit der Arbeitspunkt bei
> P=(0;0;1) liegt. Wie kommt man auf die 1?
Ich weiß zwar nicht, wozu man das für die Extremwertbestimmung brauchen sollte, aber der Punkt ist doch
[mm]P=(x,y,z)[/mm]
Und was ergibt sich, wenn du [mm](x,y)=(0,0)[/mm], also [mm]x=0, y=0[/mm] in die Funktionsvorschrift [mm]z=3xy^2+4x^3-3y^2-12x^2+1[/mm] einsetzt?
Doch [mm]z=3\cdot{}0\cdot{}0^2+4\cdot{}0^3-3\cdot{}0^2-12\cdot{}0^2+1=1[/mm]
Das ist doch immer wieder dasselbe, du hast nun schon 3 threads dazu und jedesmal habe ich dir erklärt, wie man auf die 3te Koordinate kommt....
Das sollte doch langsam mal klar werden
>
> Gruß und Danke!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Do 11.08.2011 | | Autor: | Haiza |
> Die zweite Gleichung, also [mm]z_y=0[/mm] ist erfüllt für [mm]y=0[/mm] oder
> [mm]x=1[/mm]
>
> Das in die erste Gleichung eingesetzt liefert (im Falle
> [mm]y=0[/mm]) die beiden Lösungen [mm]x=0[/mm] und [mm]x=2[/mm]
>
> Also hast du schonmal die beiden stat. Punkte [mm](0,0)[/mm] und
> [mm](2,0)[/mm]
>
> Mit [mm]x=1[/mm] ergeben sich aber noch weitere Lösungen.
>
> Also schreibe mal das Gleichungssystem hin!
Jetzt reite ich schon so lange auf soe inem eifnach Gleichungssystem rum, dass ich gleich nicht mal mehr das hinbekomme...
Also:
I: $ [mm] 3y^2+12x^2-24x=0 [/mm] $
II: $ 6xy-6y=0 $
II: $ 6xy= 6y $
$ 6x=6 $
$ x=1 $ und das in die erste Gleichung ergibt:
$ [mm] 3y^2+12 \cdot 1^2-24 \cdot [/mm] 1 = 0 $
$ [mm] 3y^2=-12 [/mm] $
$ y=-2 $
Also (0;-2) das ist aber kein Extrema weil die Distriminante kleiner als 0 ist.
So und jetzt geht grad gar nichts mehr... Ich habe jetzt etliche Male das Gleichungssystem evrsucht zu lösen, aber jetzt ist es egal wie ich rechne ich komme ich am (0;2)...
Würde jemand so nett sein und es mir kurz und knapp vorrechnen? Ich weiß auch nicht warum ich jetzt nicht mal mehr das hinbekomme... :-(
Gruß
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Hallo nochmal,
> > Die zweite Gleichung, also [mm]z_y=0[/mm] ist erfüllt für [mm]y=0[/mm] oder
> > [mm]x=1[/mm]
> >
> > Das in die erste Gleichung eingesetzt liefert (im Falle
> > [mm]y=0[/mm]) die beiden Lösungen [mm]x=0[/mm] und [mm]x=2[/mm]
> >
> > Also hast du schonmal die beiden stat. Punkte [mm](0,0)[/mm] und
> > [mm](2,0)[/mm]
> >
> > Mit [mm]x=1[/mm] ergeben sich aber noch weitere Lösungen.
> >
> > Also schreibe mal das Gleichungssystem hin!
>
> Jetzt reite ich schon so lange auf soe inem eifnach
> Gleichungssystem rum, dass ich gleich nicht mal mehr das
> hinbekomme...
>
> Also:
> I: [mm]3y^2+12x^2-24x=0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> II: [mm]6xy-6y=0[/mm]
>
> II: [mm]6xy= 6y[/mm]
> [mm]6x=6[/mm]
Das geht nur für [mm] $y\neq [/mm] 0$ !!
Besser: $6xy-6y=0$
[mm] $\gdw [/mm] 6y(x-1)=0$
[mm] $\gdw [/mm] y=0 \ [mm] \vee [/mm] \ x=1$
> [mm]x=1[/mm] und das in die erste Gleichung ergibt:
> [mm]3y^2+12 \cdot 1^2-24 \cdot 1 = 0[/mm]
> [mm]3y^2=-12[/mm]
Nana, +12 !!
> [mm]y=-2[/mm]
[mm] $y^2=4\Rightarrow $y=\pm [/mm] 2$
> Also (0;-2)
Wie jetzt? Wieso $x=0$ ??
Du bist doch im Fall $x=1$ !!!
Es ergeben sich die beiden Punkte $(1,2)$ und $(1,-2)$
Für den Fall $y=0$ hatten wir ja schon die beiden stat. Punkte $(0,0)$ und $(0,2)$
Insgesamt hast du also 4 stat. Punkte. An diesen Stellen ist jeweils die Hessematrix auszuwerten.
> das ist aber kein Extrema weil die
> Distriminante kleiner als 0 ist.
>
> So und jetzt geht grad gar nichts mehr... Ich habe jetzt
> etliche Male das Gleichungssystem evrsucht zu lösen, aber
> jetzt ist es egal wie ich rechne ich komme ich am (0;2)...
>
> Würde jemand so nett sein und es mir kurz und knapp
> vorrechnen? Ich weiß auch nicht warum ich jetzt nicht mal
> mehr das hinbekomme... :-(
Nun sollte klar sein, wie man auf die 4 Lösungen des Gleichungssystems und damit auf die 4 stat. Punkte kommt.
Nun schreibe du mal die Hessematrix hin und auch die Auswertung an den 4 Stellen.
>
> Gruß
>
>
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Do 11.08.2011 | | Autor: | Haiza |
> > II: [mm]6xy= 6y[/mm]
> > [mm]6x=6[/mm]
>
> Das geht nur für [mm]y\neq 0[/mm] !!
>
> Besser: [mm]6xy-6y=0[/mm]
>
> [mm]\gdw 6y(x-1)=0[/mm]
>
> [mm]\gdw y=0 \ \vee \ x=1[/mm]
Hier muss ich einschlagen. Das kann ich nicht nachvollziehen. Nachdem $ 6y(x-1)=0 $ dort steht, weiß ich nicht wie ich auf x=1 und y=0 komme.
> > [mm]x=1[/mm] und das in die erste Gleichung ergibt:
> > [mm]3y^2+12 \cdot 1^2-24 \cdot 1 = 0[/mm]
> > [mm]3y^2=-12[/mm]
>
> Nana, +12 !!
Sorry, hast recht!
> > [mm]y=-2[/mm]
>
> [mm]$y^2=4\Rightarrow $y=\pm[/mm] 2$
>
> > Also (0;-2)
>
> Wie jetzt? Wieso [mm]x=0[/mm] ??
>
> Du bist doch im Fall [mm]x=1[/mm] !!!
Verguckt, bin nach 3Std nicht mehr ganz bei der Sache.
> Es ergeben sich die beiden Punkte [mm](1,2)[/mm] und [mm](1,-2)[/mm]
>
> Für den Fall [mm]y=0[/mm] hatten wir ja schon die beiden stat.
> Punkte [mm](0,0)[/mm] und [mm](0,2)[/mm]
>
> Insgesamt hast du also 4 stat. Punkte. An diesen Stellen
> ist jeweils die Hessematrix auszuwerten.
(1;2) ergibt -144 und ist somit kleiner als 0 und somit keine Extrema
(1;-2) genau das selbe.
(0;0) ergibt 144. In $ [mm] z_{xx} [/mm] $ eingesetzt ergibt es -24. Also ein Maximum.
(2;0) ergibt 144. In $ [mm] z_{xx} [/mm] $ eingesetzt ergibt es 24. Also ein Minimum.
Meintest du das so?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Do 11.08.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
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> > > II: [mm]6xy= 6y[/mm]
> > > [mm]6x=6[/mm]
> >
> > Das geht nur für [mm]y\neq 0[/mm] !!
> >
> > Besser: [mm]6xy-6y=0[/mm]
> >
> > [mm]\gdw 6y(x-1)=0[/mm]
> >
> > [mm]\gdw y=0 \ \vee \ x=1[/mm]
>
> Hier muss ich einschlagen. Das kann ich nicht
> nachvollziehen. Nachdem [mm]6y(x-1)=0[/mm] dort steht, weiß ich
> nicht wie ich auf x=1 und y=0 komme.
Ein Produkt wird genau dann Null, wenn einer der Faktoren....
>
> > > [mm]x=1[/mm] und das in die erste Gleichung ergibt:
> > > [mm]3y^2+12 \cdot 1^2-24 \cdot 1 = 0[/mm]
> > > [mm]3y^2=-12[/mm]
> >
> > Nana, +12 !!
>
> Sorry, hast recht!
>
> > > [mm]y=-2[/mm]
> >
> > [mm]y^2=4\Rightarrow [/mm][mm] y=\pm[/mm] [/mm] 2$
> >
> > > Also (0;-2)
> >
> > Wie jetzt? Wieso [mm]x=0[/mm] ??
> >
> > Du bist doch im Fall [mm]x=1[/mm] !!!
>
> Verguckt, bin nach 3Std nicht mehr ganz bei der Sache.
>
> > Es ergeben sich die beiden Punkte [mm](1,2)[/mm] und [mm](1,-2)[/mm]
> >
> > Für den Fall [mm]y=0[/mm] hatten wir ja schon die beiden stat.
> > Punkte [mm](0,0)[/mm] und [mm](0,2)[/mm]
> >
> > Insgesamt hast du also 4 stat. Punkte. An diesen Stellen
> > ist jeweils die Hessematrix auszuwerten.
>
> (1;2) ergibt -144 und ist somit kleiner als 0 und somit
> keine Extrema
> (1;-2) genau das selbe.
> (0;0) ergibt 144. In [mm]z_{xx}[/mm] eingesetzt ergibt es -24. Also
> ein Maximum.
> (2;0) ergibt 144. In [mm]z_{xx}[/mm] eingesetzt ergibt es 24. Also
> ein Minimum.
>
> Meintest du das so?
Das kann ich so nicht nachvollziehen. Schreibe mal die Hesse-Matrix auf, ich (und wahrscheinlich auch die anderen Helfer) habe(n) keine Lust, diese erst aufzustellen und dann alles nachzrechnen. Daher würden wir hier gerne deine Rechnung etwa ausführlicher sehen.
>
> Gruß
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Do 11.08.2011 | | Autor: | Haiza |
Was ist denn eine Hesse-Matrix?
Ich schreibe einfach die ganze Aufgabe wie ich sie gerechnet habe auf. Ansonsten füge ich alles was ihr braucht nach. Ich versuche es ja auch euch "recht" zu machen, dafür dass ihr euch die Zeit nehmt und mir helft. Also:
$ [mm] z_x=3y^2+12x^2-24x [/mm] $
$ [mm] z_{xx}=24x-24 [/mm] $
$ [mm] z_y=6xy-6y [/mm] $
$ [mm] z_{yy} [/mm] = 6x-6 $
ausgerechnete Kombinationen bzw Extrema Stellen (siehe Beiträge davor):
(1;2)
(1;-2)
(0;0)
(2;0)
das setzen wir jeweils ein in:
$ [mm] f_{xx}(x_0;y_0) [/mm] $
$ [mm] f_{xy}(x_0;y_0) [/mm] $
$ [mm] f_{yx}(x_0;y_0) [/mm] $
$ [mm] f_{yy}(x_0;y_0) [/mm] $
Mit den Werten errechnen wir die Diskriminate $ [mm] \Delta [/mm] $ Die Diskriminante wird errechnet durch:
$ [mm] \Delta [/mm] = [mm] z_{xx} \cdot f_{yy} [/mm] - [mm] (f_{xy})^2 [/mm] $
Die Diskriminante sagt uns, dass wenn:
$ [mm] \Delta [/mm] > 0 $ lokales Extremum.
$ [mm] \Delta [/mm] < 0 $ Sattelpunkt.
$ [mm] \Delta [/mm] = 0 $ Keine Entscheidung mit diesen Verfahren möglich.
Die Diskriminante sagt mir das ein Extrema vorliegt. $ [mm] z_{xx} [/mm] $ ergibt bei (0;0) -24 und somit ist bei (0;0) ein Maximum.
Fortlaufend:
> (1;2) ergibt -144 und ist somit kleiner als 0 und somit
> keine Extrema
> (1;-2) genau das selbe.
> (0;0) ergibt 144. In $ [mm] z_{xx} [/mm] $ eingesetzt ergibt es -24. Also
> ein Maximum.
> (2;0) ergibt 144. In $ [mm] z_{xx} [/mm] $ eingesetzt ergibt es 24. Also
> ein Minimum.
Ich hoffe alles ist richtig und ich hoffe es ist ungefähr das, was ich posten sollte. Ansonsten melden, ich werde es nachfügen. Spätestens morgen in der früh.
Gruß
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Hallo nochmal,
> Was ist denn eine Hesse-Matrix?
Das ist die Matrix, die die zweiten partiellen Ableitungen in folgender Form enthält:
[mm]H_f(x,y)=\pmat{f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\
f_{yx}(x,y)&f_{yy}(x,y)}[/mm]
Wegen [mm]f_{xy}=f_{yx}[/mm] ist die Hessematrix symmetrisch!
Vergleiche mit deiner Formel für die Diskriminante (das ist einfach die Determinante der Hessematrix ...)
>
> Ich schreibe einfach die ganze Aufgabe wie ich sie
> gerechnet habe auf. Ansonsten füge ich alles was ihr
> braucht nach. Ich versuche es ja auch euch "recht" zu
> machen, dafür dass ihr euch die Zeit nehmt und mir helft.
Das ist gut!
> Also:
>
> [mm]z_x=3y^2+12x^2-24x[/mm]
> [mm]z_{xx}=24x-24[/mm]
> [mm]z_y=6xy-6y[/mm]
> [mm]z_{yy} = 6x-6[/mm]
>
> ausgerechnete Kombinationen bzw Extrema Stellen (siehe
> Beiträge davor):
> (1;2)
> (1;-2)
> (0;0)
> (2;0)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> das setzen wir jeweils ein in:
> [mm]f_{xx}(x_0;y_0)[/mm]
> [mm]f_{xy}(x_0;y_0)[/mm]
> [mm]f_{yx}(x_0;y_0)[/mm]
> [mm]f_{yy}(x_0;y_0)[/mm]
>
> Mit den Werten errechnen wir die Diskriminate [mm]\Delta[/mm] Die
> Diskriminante wird errechnet durch:
> [mm]\Delta = \red{z_{xx}} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2[/mm]
Konsitenterweise [mm]\red{f_{xx}}[/mm]
> Die
> Diskriminante
Das ist die Determinante ...
> sagt uns, dass wenn:
> [mm]\Delta > 0[/mm] lokales Extremum.
> [mm]\Delta < 0[/mm] Sattelpunkt.
> [mm]\Delta = 0[/mm] Keine Entscheidung mit diesen Verfahren
> möglich.
Na, dieses "Kurzkriterium", das nichts anderes ist als das Hauptminorenkriterium, funktioniert nur für symmetr. [mm]2\times 2[/mm]-Matrizen.
Es fehlt aber eine Bedingung an [mm]f_{xx}[/mm]
Genauer:
1) [mm]f_{xx}>0[/mm] und [mm]\Delta>0[/mm], dann pos. definit, also lok. Minimum
2) [mm]f_{xx}<0[/mm] und [mm]\Delta>0[/mm], dann neg. definit, also lok. Maximum
3) [mm]f_{xx}\ge 0, f_{yy}\ge 0[/mm] und [mm]\Delta\ge 0[/mm], dann pos. semidefinit
4) [mm]f_{xx}\le 0, f_{yy}\le 0[/mm] und [mm]\Delta\ge 0[/mm], dann neg. semidefinit
5) [mm]\Delta<0[/mm], dann indefinit, also Sattelpunkt
>
> Die Diskriminante sagt mir das ein Extrema
Ein Extremum, viele Extrema
> vorliegt. [mm]z_{xx}[/mm]
> ergibt bei (0;0) -24 und somit ist bei (0;0) ein Maximum.
Ja, erstmal ein lokales!
> Fortlaufend:
> > (1;2) ergibt -144 und ist somit kleiner als 0 und somit
> > keine Extrema
> > (1;-2) genau das selbe.
Ja, in diesen Fällen ist die Hessematrix indefinit, es gibt an den Stellen [mm](1,\pm 2)[/mm] also Sattelpunkte
> > (0;0) ergibt 144. In [mm]z_{xx}[/mm] eingesetzt ergibt es -24.
> Also
> > ein Maximum.
> > (2;0) ergibt 144. In [mm]z_{xx}[/mm] eingesetzt ergibt es 24.
> Also
> > ein Minimum.
[mm](2,0)[/mm] ist kein stat. Punkt, dort kann kein Extremum liegen!
Fehlt nur noch der stat. Punkt [mm](0,2)[/mm] ...
>
>
> Ich hoffe alles ist richtig und ich hoffe es ist ungefähr
> das, was ich posten sollte. Ansonsten melden, ich werde es
> nachfügen.
Ja, es ist weitgehend ok.
Wir würden trotzdem gerne die allg. Hessematrix mal sehen, also [mm]H_f(x,y)[/mm] und vllt. auch noch die Auswertung an den 4 Stellen.
Deine Rechnung zeigt zwar implizit, dass du die wohl richtig hast, aber dieses "Kurzkriterium" für die Feststellung der Art der Extrema ist speziell auf [mm]2\times 2[/mm]-Matrizen zugeschnitten.
Das muss man in der Regel etwas anders untersuchen.
(Etwa über die Eigenwerte - schaue dir mal etwas zur Untersuchung der Definitheit von Matrizen an
Gut wäre, wenn du den allg. Weg mal hier für deinen Fall durchgehen würdest, das ist sicher eine gute Übung und du hast direkt die Methoden für allg. [mm]n\times n[/mm]-Matrizen drauf ...
Ansonsten ist das so schon ganz gut!
Aber: warum nicht gleich etwas mehr Rechung posten?!
> Spätestens morgen in der früh.
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:29 Fr 12.08.2011 | | Autor: | Haiza |
> > (2;0)
>
>
Sicher? In Papula bzw seinem Lösungsbuch steht das dort ein Extremum ist. Und zwar ein Minimum.
> >
> > das setzen wir jeweils ein in:
> > [mm]f_{xx}(x_0;y_0)[/mm]
> > [mm]f_{xy}(x_0;y_0)[/mm]
> > [mm]f_{yx}(x_0;y_0)[/mm]
> > [mm]f_{yy}(x_0;y_0)[/mm]
> >
> > Mit den Werten errechnen wir die Diskriminate [mm]\Delta[/mm] Die
> > Diskriminante wird errechnet durch:
> > [mm]\Delta = \red{z_{xx}} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2[/mm]
>
> Konsitenterweise [mm]\red{f_{xx}}[/mm]
>
> > Die
> > Diskriminante
>
> Das ist die Determinante ...
Bei Papula im Buch steht Diskriminante $ [mm] \Delta [/mm] $.
> > sagt uns, dass wenn:
> > [mm]\Delta > 0[/mm] lokales Extremum.
> > [mm]\Delta < 0[/mm] Sattelpunkt.
> > [mm]\Delta = 0[/mm] Keine Entscheidung mit diesen Verfahren
> > möglich.
>
> Na, dieses "Kurzkriterium", das nichts anderes ist als das
> Hauptminorenkriterium, funktioniert nur für symmetr.
> [mm]2\times 2[/mm]-Matrizen.
>
> Es fehlt aber eine Bedingung an [mm]f_{xx}[/mm]
>
> Genauer:
>
> 1) [mm]f_{xx}>0[/mm] und [mm]\Delta>0[/mm], dann pos. definit, also lok.
> Minimum
> 2) [mm]f_{xx}<0[/mm] und [mm]\Delta>0[/mm], dann neg. definit, also lok.
> Maximum
> 3) [mm]f_{xx}\ge 0, f_{yy}\ge 0[/mm] und [mm]\Delta\ge 0[/mm], dann pos.
> semidefinit
> 4) [mm]f_{xx}\le 0, f_{yy}\le 0[/mm] und [mm]\Delta\ge 0[/mm], dann neg.
> semidefinit
> 5) [mm]\Delta<0[/mm], dann indefinit, also Sattelpunkt
Das finde ich nirgens im Buch. Hoffe, dass das somit zuerst nicht relevant ist für uns. Dazu habe ich diese Wörter auch noch nie gehört.
> >
> > Die Diskriminante sagt mir das ein Extrema
>
> Ein Extremum, viele Extrema
>
> > vorliegt. [mm]z_{xx}[/mm]
> > ergibt bei (0;0) -24 und somit ist bei (0;0) ein Maximum.
>
> Ja, erstmal ein lokales!
>
> > Fortlaufend:
> > > (1;2) ergibt -144 und ist somit kleiner als 0 und
> somit
> > > keine Extrema
> > > (1;-2) genau das selbe.
>
> Ja, in diesen Fällen ist die Hessematrix indefinit, es
> gibt an den Stellen [mm](1,\pm 2)[/mm] also Sattelpunkte
>
> > > (0;0) ergibt 144. In [mm]z_{xx}[/mm] eingesetzt ergibt es -24.
> > Also
> > > ein Maximum.
> > > (2;0) ergibt 144. In [mm]z_{xx}[/mm] eingesetzt ergibt es 24.
> > Also
> > > ein Minimum.
>
> [mm](2,0)[/mm] ist kein stat. Punkt, dort kann kein Extremum
> liegen!
>
> Fehlt nur noch der stat. Punkt [mm](0,2)[/mm] ...
Also im Lösungsbuch gibt es keinen Punkt (0;2). Dort gibt es nur (2;0) und dort liegt ein Minimum vor.
> >
> >
> > Ich hoffe alles ist richtig und ich hoffe es ist ungefähr
> > das, was ich posten sollte. Ansonsten melden, ich werde es
> > nachfügen.
>
> Ja, es ist weitgehend ok.
>
> Wir würden trotzdem gerne die allg. Hessematrix mal sehen,
> also [mm]H_f(x,y)[/mm] und vllt. auch noch die Auswertung an den 4
> Stellen.
So richtig gerafft hab ich das noch nicht was ihr sehen wollt. So wie ich das aber verstanden habe sollte das so aussehen:
[mm] H_f(x,y) \hat= \Delta
[/mm]
$ [mm] H_f(x,y)=\pmat{f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\ f_{yx}(x,y)&f_{yy}(x,y)} [/mm] $
$ [mm] H_f(1,2)=\pmat{ 0 & 12 \\ 12 & 0 } [/mm] = -144 $
Da $ [mm] \Delta [/mm] $ = -144<0 ist, liegt ein Sattelpunkt vor.
$ [mm] H_f(1,-2)=\pmat{ 0 & -12 \\ -12 & 0 } [/mm] = -144 $
Da $ [mm] \Delta [/mm] $ = -144<0 ist, liegt ein Sattelpunkt vor.
$ [mm] H_f(2,0)=\pmat{ 24 & 0 \\ 0 & 6 } [/mm] = 144 $
Da $ [mm] \Delta [/mm] $ = 144>0 ist, liegt ein Extremum vor.
Da $ [mm] f_{xx} [/mm] $ = 24 > 0 ist, liegt ein Minimum vor.
$ [mm] H_f(0,0)=\pmat{-24 & 0 \\ 0 & -6 } [/mm] = 144 $
Da $ [mm] \Delta [/mm] $ = 144>0 ist, liegt ein Extremum vor.
Da $ [mm] f_{xx} [/mm] $ = -24 < 0 ist, liegt ein Maximum vor.
So, ich hoffe das ist genau das was Ihr/Du gemeint hast/habt.
Müssen folgende Bedingungen für ein Extremum beide erfüllt sein?:
1. $ [mm] f_x(x_0;y_0)=f_y(x_0;y_0)=0 [/mm] $ (Das muss erfüllt sein)
2. $ [mm] f_{xx}(x_0;y_0) \cdot f_{yy}(x_0;y_0) [/mm] - [mm] (f_{xy}(x_0;y_0))^2>0 [/mm] $
Gruß und einen absoluten riesen Dank an die Helfer!
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Moin,
nur ganz kurz, bin auf dem Sprung zur Arbeit.
> > > (2;0)
> >
> >
>
> Sicher? In Papula bzw seinem Lösungsbuch steht das dort
> ein Extremum ist. Und zwar ein Minimum.
Ja, da habe ich einen Dreher eingebaut, der Punkt ist natürlich [mm]P=(2,0)[/mm]
Sorry!
>
> > >
> > > das setzen wir jeweils ein in:
> > > [mm]f_{xx}(x_0;y_0)[/mm]
> > > [mm]f_{xy}(x_0;y_0)[/mm]
> > > [mm]f_{yx}(x_0;y_0)[/mm]
> > > [mm]f_{yy}(x_0;y_0)[/mm]
> > >
> > > Mit den Werten errechnen wir die Diskriminate [mm]\Delta[/mm] Die
> > > Diskriminante wird errechnet durch:
> > > [mm]\Delta = \red{z_{xx}} \cdot f_{yy} - (f_{xy})^2[/mm]
> >
> > Konsitenterweise [mm]\red{f_{xx}}[/mm]
> >
> > > Die
> > > Diskriminante
> >
> > Das ist die Determinante ...
>
> Bei Papula im Buch steht Diskriminante [mm]\Delta [/mm].
>
> > > sagt uns, dass wenn:
> > > [mm]\Delta > 0[/mm] lokales Extremum.
> > > [mm]\Delta < 0[/mm] Sattelpunkt.
> > > [mm]\Delta = 0[/mm] Keine Entscheidung mit diesen Verfahren
> > > möglich.
> >
> > Na, dieses "Kurzkriterium", das nichts anderes ist als das
> > Hauptminorenkriterium, funktioniert nur für symmetr.
> > [mm]2\times 2[/mm]-Matrizen.
> >
> > Es fehlt aber eine Bedingung an [mm]f_{xx}[/mm]
> >
> > Genauer:
> >
> > 1) [mm]f_{xx}>0[/mm] und [mm]\Delta>0[/mm], dann pos. definit, also lok.
> > Minimum
> > 2) [mm]f_{xx}<0[/mm] und [mm]\Delta>0[/mm], dann neg. definit, also lok.
> > Maximum
> > 3) [mm]f_{xx}\ge 0, f_{yy}\ge 0[/mm] und [mm]\Delta\ge 0[/mm], dann pos.
> > semidefinit
> > 4) [mm]f_{xx}\le 0, f_{yy}\le 0[/mm] und [mm]\Delta\ge 0[/mm], dann neg.
> > semidefinit
> > 5) [mm]\Delta<0[/mm], dann indefinit, also Sattelpunkt
>
> Das finde ich nirgens im Buch. Hoffe, dass das somit zuerst
> nicht relevant ist für uns. Dazu habe ich diese Wörter
> auch noch nie gehört.
>
> > >
> > > Die Diskriminante sagt mir das ein Extrema
> >
> > Ein Extremum, viele Extrema
> >
> > > vorliegt. [mm]z_{xx}[/mm]
> > > ergibt bei (0;0) -24 und somit ist bei (0;0) ein Maximum.
> >
> > Ja, erstmal ein lokales!
> >
> > > Fortlaufend:
> > > > (1;2) ergibt -144 und ist somit kleiner als 0 und
> > somit
> > > > keine Extrema
> > > > (1;-2) genau das selbe.
> >
> > Ja, in diesen Fällen ist die Hessematrix indefinit, es
> > gibt an den Stellen [mm](1,\pm 2)[/mm] also Sattelpunkte
> >
> > > > (0;0) ergibt 144. In [mm]z_{xx}[/mm] eingesetzt ergibt es -24.
> > > Also
> > > > ein Maximum.
> > > > (2;0) ergibt 144. In [mm]z_{xx}[/mm] eingesetzt ergibt es
> 24.
> > > Also
> > > > ein Minimum.
> >
> > [mm](2,0)[/mm] ist kein stat. Punkt, dort kann kein Extremum
> > liegen!
> >
> > Fehlt nur noch der stat. Punkt [mm](0,2)[/mm] ...
>
> Also im Lösungsbuch gibt es keinen Punkt (0;2). Dort gibt
> es nur (2;0) und dort liegt ein Minimum vor.
Ja, war ein Dreher meinerseits ... ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]")
>
> > >
> > >
> > > Ich hoffe alles ist richtig und ich hoffe es ist ungefähr
> > > das, was ich posten sollte. Ansonsten melden, ich werde es
> > > nachfügen.
> >
> > Ja, es ist weitgehend ok.
> >
> > Wir würden trotzdem gerne die allg. Hessematrix mal sehen,
> > also [mm]H_f(x,y)[/mm] und vllt. auch noch die Auswertung an den 4
> > Stellen.
>
> So richtig gerafft hab ich das noch nicht was ihr sehen
> wollt. So wie ich das aber verstanden habe sollte das so
> aussehen:
> [mm]H_f(x,y) \hat= \Delta[/mm]
Was bedeutet das?
>
> [mm]H_f(x,y)=\pmat{f_{xx}(x,y)&f_{xy}(x,y)\\
f_{yx}(x,y)&f_{yy}(x,y)}[/mm]
>
> [mm]H_f(1,2)=\pmat{ 0 & 12 \\
12 & 0 } = -144[/mm]
> Da [mm]\Delta[/mm] =
> -144<0 ist, liegt ein Sattelpunkt vor.
>
> [mm]H_f(1,-2)=\pmat{ 0 & -12 \\
-12 & 0 } = -144[/mm]
> Da [mm]\Delta[/mm] =
> -144<0 ist, liegt ein Sattelpunkt vor.
>
> [mm]H_f(2,0)=\pmat{ 24 & 0 \\
0 & 6 } = 144[/mm]
> Da [mm]\Delta[/mm] = 144>0
> ist, liegt ein Extremum vor.
> Da [mm]f_{xx}[/mm] = 24 > 0 ist, liegt ein Minimum vor.
>
> [mm]H_f(0,0)=\pmat{-24 & 0 \\
0 & -6 } = 144[/mm]
> Da [mm]\Delta[/mm] = 144>0 ist, liegt ein Extremum vor.
> Da [mm]f_{xx}[/mm] = -24 < 0 ist, liegt ein Maximum vor.
Das ist doch genau die "Verfeinerung" des Kriteriums!
Du berechnest erst die Determinante der Hessematrix.
Wenn die größer als Null ist, liegt ein Extremum vor, die Art hängt vom 1.Eintrag ab.
Wenn sie <0 ist, gibt es kein Extremum
>
> So, ich hoffe das ist genau das was Ihr/Du gemeint
> hast/habt.
>
> Müssen folgende Bedingungen für ein Extremum beide
> erfüllt sein?:
> 1. [mm]f_x(x_0;y_0)=f_y(x_0;y_0)=0[/mm] (Das muss erfüllt sein)
> 2. [mm]f_{xx}(x_0;y_0) \cdot f_{yy}(x_0;y_0) - (f_{xy}(x_0;y_0))^2>0[/mm]
Wenn 2. zudem erfüllt ist, liegt sicher ein Extremum vor, die Art hängt vom ersten Eintrag der H-Matrix , also von [mm]f_{xx}(x_0,y_0)[/mm] ab.
Leider kann 2. auch =0 sein und du bist bei Semidefinitheit
Da hilft dieses Kriterium nicht (hast du ja auch schon geschrieben)
Da musst du dir was anderes überlegen...
>
>
> Gruß und einen absoluten riesen Dank an die Helfer!
Bis später
Gruß
schachuzipus
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Hallo Haiza,
wenn du magst, kannst du dir den Graphen der Funktion online hier
http://www.wolframalpha.com/input/?i=3d+plot
mal plotten lassen.
Da erkennt man recht gut, dass es 2 (lokale) Extrema gibt.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Fr 12.08.2011 | | Autor: | Haiza |
> > [mm]H_f(x,y) \hat= \Delta[/mm]
>
> Was bedeutet das?
$ [mm] H_f(x,y) [/mm] $ entspricht dem Zeichen $ [mm] \Delta [/mm] $.
Oder nicht?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Fr 12.08.2011 | | Autor: | M.Rex |
>
> > > [mm]H_f(x,y) \hat= \Delta[/mm]
> >
> > Was bedeutet das?
>
> [mm]H_f(x,y)[/mm] entspricht dem Zeichen [mm]\Delta [/mm].
>
> Oder nicht?
Im Prinzip ja, eine bessere Schreibweise dafür wäre
[mm] \Delta\red{:=}H_{f}(x;y)
[/mm]
Es wenig unglücklich ist die Formulierung dennoch, da man ja konkrete Werte für x und y hat, von denen [mm] \Delta [/mm] abhängig ist, was man bei der "Kurzschreibweise" [mm] \Delta´nicht [/mm] unbedingt erkennt.
Wo es Sinn macht, ist z.B. bei der p-q-Formel:
Es gilt ja:
[mm] x^{2}+px+q=0 [/mm] hat die Lösungen
[mm] x_{1;2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}
[/mm]
Hier macht es durchaus Sinn, die Diskriminante D zu definieren, also:
[mm] D:=\frac{p^{2}}{4}-q
[/mm]
Damit kann man dann eben folgende Unterscheidungen machen:
D>0: Es gibt die beiden (reellen) Lösungen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}
[/mm]
D=0: Es gibt die eine Lösung [mm] x_{1}=x_{2}=-\frac{p}{2}
[/mm]
D<0: Es gibt keine (reellen) Lösungen
>
> Gruß
Marius
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Hallo nochmal,
>
> > > [mm]H_f(x,y) \hat= \Delta[/mm]
> >
> > Was bedeutet das?
>
> [mm]H_f(x,y)[/mm] entspricht dem Zeichen [mm]\Delta [/mm].
>
> Oder nicht?
Ich weiß nicht so recht.
Mit [mm] $H_f(x,y)$ [/mm] bezeichnet man doch allg. die Hessematrix, mit [mm] $\Delta$ [/mm] bezeichnest du die Diskriminante, was hier genau die Determinante der Hessematrix ist.
Matrix und Determinante einer Matrix sind doch nicht dasselbe ...
>
> Gruß
LG
schachuzipus
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