Folge von Fibonacci- Zahlen mit Goldenem Schnitt. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Do 27.05.2004 | | Autor: | baddi |
Erst eimal die Aufgabe abgetippt:
Blatt 5 Aufgabe 2:
Es sei [m](a_n)[/m] Folge der Fibonacci- Zahlen, d.h.
[m]a_0 := 0, a_1 := 1, a_{n+1} = a_n + a_{n-1}[/m] für [m]n \ge 1[/m]
Man zeige a) Existenz und berechne b)
[m] \limes_{n \to \infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/m]
und c) vergleiche Ergebnis mit dem Goldenen Schnitt!
Tipp war noch: Man soll eine Rekufsionsformel für [m]\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/m] aufstellen.
Ich hab hier so Lösungen vorliegen die vielleilcht richtig sind. Muss mir die noch anschauen und hoffe das ich daraus was verstehe und hier reinschreiben kann.
Kommt hoffentlich bald.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Do 27.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo baddi
> Tipp war noch: Man soll eine Rekufsionsformel für
> [m]\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/m] aufstellen.
>
Hast du den Tip denn schon befolgt?
Mit [mm] $a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$ [/mm] folgt ja sofort:
[mm] $\bruch{a_{n+1}}{ a_{n} }=$
[/mm]
[mm] $\bruch{a_{n}+a_{n-1}}{a_{n}}=$
[/mm]
[mm] $1+\bruch{a_{n-1}}{a_{n}}=$
[/mm]
[mm] $1+\bruch{1}{\bruch {a_{n}}{a_{n-1}}}$
[/mm]
Unter der Voraussetzung der Existenz des Grenzwertes müsste dann die folgende Gleichung erfüllt sein:
[mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= \bruch{a_{n}}{a_{n-1}}$
[/mm]
Mit der Substitution [mm] $x:=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{a_{n}}{a_{n-1}}$
[/mm]
müsste sich dann diese Gleichung ergeben:
[mm] $x=1+\bruch{1}{x}$
[/mm]
die du mit Leichtigkeit nach $x$ auflösen kannst!
(Von der Doppellösung ist dann aber nur eine sinnvoll, weil $>0$.
Mit lieben grüssen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Do 27.05.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo Paulus. Leider hab ich nicht alles gleich verstanden.
Den Anfang, also die Rekursion habe ich verstanden.
Aber [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= \bruch{a_{n}}{a_{n-1}}$ [/mm]
habe ich nicht mehr nachvollziehen können.
Naja.
Hier mal eine Lösung eines Komulitonen abgetippt und versucht zu verstehen:
[m]a_0 := 0, a_1 := 1, a_{n+1} = a_n + a_{n-1}[/m] für [m]n \ge 1[/m]
z.z. Existenz von Grenzwert bzw. Limes
[m] \limes_{n \to \infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/m]
Zahlenfolge von Bernard:
[m] a_n = a_{n-1} +a_{n-2}[/m]
Ich vermute er meint Satz von Bolzano-Weierstraß
( http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Bolzano-Weierstrass ).
Dann heist es weiter:
Diese Gleichung wird erfüllt von der geometrischen Folge:
[m]q^n = q^{n-1} , q^{n-2}[/m]
Was ist jetzt wieder eine "geometrischen Folge" ?
Mir scheint aus jeder Frage ergeben sich zwei weitere ;) Wollen wirs mal nicht hoffen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Do 27.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sebastian!
Also, die Lösung deines Freundes kapiere ich überhaupt nicht.
So, jetzt zur richtigen Lösung:
> Aber [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= \bruch{a_{n}}{a_{n-1}}$ [/mm]
>
> habe ich nicht mehr nachvollziehen können.
Hier meinte Paul:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= \lim\limits_{n \to \infty} \bruch{a_{n}}{a_{n-1}}$.
[/mm]
Ich denke mal, dann ist es klar. Diese Gleichheit gilt unter der Annahme, dass der Grenzwert existiert. Das hatte Paul aber auch geschrieben.
Wir müssen nun noch zeigen, dass der Grenzwert existiert.
Es sei $g$ die positive Lösung der Gleichung:
(*) [mm] $g^2 [/mm] - g-1=0$.
Nach Pauls Ansatz folgt:
[mm]\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}} - g \right| [/mm]
[mm]= \left| 1 + \frac{1}{\frac{a_n}{a_{n-1}}} - g \right|[/mm]
[mm] = \frac{1}{g} \left| g + \frac{g}{\frac{a_n}{a_{n-1}}} - g^2 \right|[/mm]
[mm] \stackrel{(\*)}{=} \frac{1}{g} \left| \frac{g}{\frac{a_n}{a_{n-1}}} -1 \right|[/mm]
[mm] = \frac{1}{g} \left| \frac{\frac{a_n}{a_{n-1}} - g}{\frac{a_n}{a_{n-1}}} \right|[/mm]
[mm] \le \frac{1}{g} \left| \frac{a_n}{a_{n-1}} - g \right|[/mm]
Induktiv kann man nun damit zeigen:
[mm]\left |\frac{a_n}{a_{n-1}} - g \right| \le \frac{1}{g^{n}} \cdot |1-g|[/mm].
Daraus folgt die Behauptung.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Do 27.05.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo Stefan,
wie kommst du auf:
(*) [mm] $g^2 [/mm] - g-1=0$ ?
P.S.: Ich hab jetzt sämtliche PDF-Analysis Script sämtlicher deutsprachiger Unis gesammelt ;) Und ich habe damit angefangen jeden verwendeten Satz oder Definition mit Beispiel und Diagramm dazu fett an die Wand zu kleben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Do 27.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Sebastian!
> Hallo Stefan,
>
> wie kommst du auf:
> (*) [mm] $g^2 [/mm] - g-1=0$ ?
Ich schreibe doch:
Es sei $g$ die positive Lösung von
(*) [mm] $g^2-g-1=0$.
[/mm]
Da.h. ich wähle $g$ so, dass $g$ positiv ist und dass [mm] $g^2-g-1=0$ [/mm] gilt.
Das mache ich deswegen, weil ich weiß, dass dies der Grenzwert ist und zeigen muss, dass die Folge dagagen konvergiert.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Do 27.05.2004 | | Autor: | baddi |
Ich weis aus der Aufgabenstellung:
[m]a_0 := 0, a_1 := 1, a_{n+1} = a_n + a_{n-1}[/m] für [m]n \ge 1[/m]
Und soll zeigen
[m] \limes_{n \to \infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/m]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
d.h. zeigen das es einen Grenzwert gibt.
In unserer Lösung machen wir das so das wir diesen Grenzwert ausrechnen.
Irgendwie ist es wichtig das man sich klar macht, das folgendes gilt:
$\lim\limits_{n \to \infty} \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= \lim\limits_{n \to \infty} \bruch{a_{n}}{a_{n-1}}$.
Ich denke das leuchtet ein. Muss man sich nichts besonderes überlegen. Ist nur eine andere Schreibweise ? Bei gegen unendlich.... ist n +1 bzw. n -1 eh egal oder von mir aus auch n -5 das wird dann von unendlich alles geschluckt.
Ok, ich glaube also das das stimmt.
So jetzt aber zum eigentlichen, zum Ausrechnen des Grenzwertes (und zwar mit Hilfe von Rekursionsgleichungen und Substitution).
Nach Paul etwas abgewandelt:
Aus $a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$ folgt
$\lim\limits_{n \to \infty}\bruch{a_{n+1}}{ a_{n} }=$
$\lim\limits_{n \to \infty}\bruch{a_{n}+a_{n-1}}{a_{n}}=$
$\lim\limits_{n \to \infty}\bruch {a_n}{a_n} + {\bruch{a_{n-1}}{a_{n}}=$
$\lim\limits_{n \to \infty}1+\bruch{a_{n-1}}{a_{n}}=$
$\lim\limits_{n \to \infty}1 + \bruch{1}{a_n} * \bruch{a_{n-1}}{a_{n}}=$
$\lim\limits_{n \to \infty}1+\bruch{1}{\bruch {a_{n}}{a_{n-1}}}$
Paul hat das $\lim\limits_{n \to \infty}$ nicht immer mitgeschrieben. Klar ist lästig. Aber Anfänger die das das erste mal schreiben verwirrt es wenn es plötzlich fehlt.
Jetzt kommt Pauls Substitution $x:=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{a_{n}}{a_{n-1}}$
Daraus folgt (so meine ich)
$\lim\limits_{n \to \infty}1+\bruch{1}{x}$
Witzig. Jetzt ist ja n gar nicht mehr innen vorhanden, also das Ergebnis von n unabhängig ?
Dann könnte ich ja x frei wählen... na das kann ja aber wohl nicht sein.
Dann wäre der Grenzwert ja unterschiedlich... und das widerspricht wohl siherlich dem Wesen eines Grenzwertes.
Also hat das Paul wohl doch so gemeint:
Aus Substitution $x:=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}=\bruch{a_{n}}{a_{n-1}}$
folgt nach Paul
$x=1+\bruch{1}{x}$
Aber was ist das für eine Darstellung ?
Bedeutet das so viel wie
$\lim\limits_{n \to \infty} x=1+\bruch{1}{x}$ ? Wohl kaum....
Jungs, na ich glaube bei mir hackts wieder... vielleicht könntet Ihr noch mal.. äh. Danke :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sebastian,
hast du dir das mal durchgelesen?
Keine Stellungsnahme deinerseits?
Jetzt aber nochmal zur Aufgabe:
> Ich weis aus der Aufgabenstellung:...
> ...für...
> Und soll zeigen
> [mm] $\limes_{n \to \infty} {\frac{a_{n+1}}{a_n}}$ [/mm]
> d.h. zeigen das es einen Grenzwert gibt.
Ja, aber formal musst du schreiben:
... und soll zeigen, dass [mm] $\limes_{n \to \infty} {\frac{a_{n+1}}{a_n}}$ [/mm] existiert.
> In unserer Lösung machen wir das so das wir diesen Grenzwert
> ausrechnen.
Jein, wir gehen einfach mal davon aus, er würde existieren, und dann gucken wir, was er sein müßte, wenn er existierte!
> Irgendwie ist es wichtig das man sich klar macht, das folgendes gilt:
> [mm]\limes_{n \to \infty} {\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\limes_{n \to \infty}{\frac{a_{n}}{a_{n-1}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Beachte aber, dass wir die Existenz des Grenzwertes erst einmal voraussetzen. Wenn wir ihn damit berechnen können, dann versuchen wir, anhand dieses Grenzwertes nachzuweisen, dass die Folge auch tatsächlich konvergiert!
> Ich denke das leuchtet ein. Muss man sich nichts besonderes überlegen.
> Ist nur eine andere Schreibweise ? Bei gegen unendlich.... ist n +1 bzw.
> n -1 eh egal oder von mir aus auch n -5 das wird dann von unendlich
> alles geschluckt.
> Ok, ich glaube also das das stimmt.
Kann man sich auch genauer überlegen, dass das stimmt, im Falle der Existenz dieses Grenzwertes!
> So jetzt aber zum eigentlichen, zum Ausrechnen des Grenzwertes (und > zwar mit Hilfe von Rekursionsgleichungen und Substitution).
> Nach Paul etwas abgewandelt:
> Aus [mm] $a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$ [/mm] folgt...
(ich setze zur Sicherheit mal Klammern dazu, und setze ... dazwischen)
[mm]\limes_{n \to \infty} {\frac{a_{n+1}}{a_n}}=
\limes_{n \to \infty} {\frac{a_{n}+a_{n-1}}{a_n}}=
\limes_{n \to \infty} ({\frac{a_n}{a_n}+\frac{a_{n-1}}{a_n})=
.
.
.
\limes_{n \to \infty} (1+\frac{a_{n-1}}{a_n})=
1 + \limes_{n \to \infty} {\frac{a_{n-1}}{a_n}}=
1+ \frac{1}{\limes_{n \to \infty} {\frac{a_n}{a_{n-1}}}} }
[/mm]
Denk dir das letzte bitte so, dass die 1 im Zähler des Bruches steht. Irgendwie blick ich bei dem Formeleditor momentan nicht durch 
> Paul hat das [mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] nicht immer mitgeschrieben. Klar ist
> lästig. Aber Anfänger, die das das erste mal schreiben verwirrt es wenn > es plötzlich fehlt.
Ja, verständlich  Allerdings kann man auch so rechnen wie Paul und dann hinterher $n [mm] \to \infty$ [/mm] laufen lassen, also den Limes drauf loslassen...
> Jetzt kommt Pauls Substitution [mm]x:=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_n}{a_{n-1}}[/mm]
Kommst du da nicht ins Grübeln, ob da nicht doch lieber so etwas stehen sollte?
(*) [mm] x:=\limes_{n \to \infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}==\limes_{n \to \infty}{\frac{a_{n}}{a_{n-1}}}[/mm]
(Denk dir anstelle der zwei "="-Zeichen nur eines, wieder Probleme mit dem Formeleditor meinerseits ).
Jetzt schau dir nochmal Pauls Rechnung an:
[mm]\limes_{n \to \infty} {\frac{a_{n+1}}{a_n}}=1+ \frac{1}{\limes_{n \to \infty} {\frac{a_n}{a_{n-1}}}} }[/mm] und mit unserem $x$ aus (*) folgt dann:
[mm] $x=1+\frac{1}{x}$, [/mm] falls dieser Grenzwert $x$ existiert. Das wissen wir ja zunächst einmal nicht. Wir setzen es voraus und berechnen ihn dann, falls er existieren sollte. Deshalb:
Das ist kein Beweis, sondern nur der Anfang, um überhaupt den Grenzwert $x$ zu finden, mit dem man den Beweis dann macht (bzw. mit dem man hofft, den Beweis machen zu können).
Den Beweis hat danach Stefan bereits geführt.
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 Fr 28.05.2004 | | Autor: | baddi |
Vielen danke an Marcel, Paul und Stefan. Und auch dank an alle die die sich sonst noch gedanken gemacht haben oder den Beitrag gelesen haben.
Ich habe inzwischen den ersten Teil verstanden.
Interessant bzw. ein Schlüsselerlebnis war für mich, das mian die 1 (die sich ja mit n nicht mehr ändert) aus dem limes herrausnehemen kann:
[mm] $\limes_{n \to \infty} (1+\frac{a_{n-1}}{a_n})$= [/mm]
$1 + [mm] \limes_{n \to \infty} {\frac{a_{n-1}}{a_n}}$
[/mm]
Wie nun (*) [mm] $g^2 [/mm] - g-1=0$.
entsteht habe ich jetzt auch verstanden.
Hierbei muss man den Limes nicht mehr schreiben, weil man ja annimt das g schon der Grenzwert ist. Klar.
Stefan macht dan Umformungen (mit Hilfe dem Ansatz von Paul) mit einer gesetzten positiven Lösung (die ich schon ganz gut verstanden habe):
...
[mm] \stackrel{(\*)}{=} \frac{1}{g} \left| \frac{g}{\frac{a_n}{a_{n-1}}} -1 \right|[/mm]
Das war noch klar.
Jetzt frage ich mich aber warum
[m]\frac{a_n}{a_{n-1}}[/m] = g richtig sein soll, was im folgenden wohl verwendet wird.
Hier fehlt doch die Angabe von Limes.
Oder würdet Ihr sagen
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= \bruch{a_{n}}{a_{n-1}}$ [/mm] ?
[mm] = \frac{1}{g} \left| \frac{\frac{a_n}{a_{n-1}} - g}{\frac{a_n}{a_{n-1}}} \right|[/mm]
Den nächsten Schritt verstehen ich wieder. Hier wurde einfach mit dem Nenner multiplizert.
[mm] \le \frac{1}{g} \left| \frac{a_n}{a_{n-1}} - g \right|[/mm]
Warum aber hat sich der Operator von = zu [mm] $\le$ [/mm] geändert ?
Nun klar wenn etewas schon gleich ist ist es natülich auch [mm] $\ge$ [/mm] oder [mm] $\le$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:34 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo baddi,
> Interessant bzw. ein Schlüsselerlebnis war für mich, das
> mian die 1 (die sich ja mit n nicht mehr ändert) aus dem
> limes herrausnehemen kann:
> [mm] $\limes_{n \to \infty} (1+\frac{a_{n-1}}{a_n})$= [/mm]
> $1 + [mm] \limes_{n \to \infty} {\frac{a_{n-1}}{a_n}}$
[/mm]
das ist ja einfach ein Grenzwertsatz: [mm] $\limes a_n+\limes b_n=\limes (a_n+b_n)$
[/mm]
> Wie nun (*) [mm] $g^2 [/mm] - g-1=0$.
> entsteht habe ich jetzt auch verstanden.
> Hierbei muss man den Limes nicht mehr schreiben, weil man
> ja annimt das g schon der Grenzwert ist. Klar.
>
> Stefan macht dan Umformungen (mit Hilfe dem Ansatz von
> Paul) mit einer gesetzten positiven Lösung (die ich schon
> ganz gut verstanden habe):
>
> ...
> [mm]\stackrel{(\*)}{=} \frac{1}{g} \left| \frac{g}{\frac{a_n}{a_{n-1}}} -1 \right|[/mm]
>
> Das war noch klar.
> Jetzt frage ich mich aber warum
> [m]\frac{a_n}{a_{n-1}}[/m] = g richtig sein soll, was im folgenden
> wohl verwendet wird.
Nein, wenn das so wäre, dann wäre doch die rechte Seite in der vorherigen Gleichung =0 und Stefan würde sich die Mühe nicht machen.
Stefans Umformungen sind folgengliedweise zu verstehen, d.h. für jedes Folgenglied einzeln gelten Stefans Umformungen.
> Hier fehlt doch die Angabe von Limes.
> Oder würdet Ihr sagen
> [mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}= [/mm]
> [mm] \bruch{a_{n}}{a_{n-1}}$ [/mm] ?
>
> [mm]= \frac{1}{g} \left| \frac{\frac{a_n}{a_{n-1}} - g}{\frac{a_n}{a_{n-1}}} \right|[/mm]
>
>
> Den nächsten Schritt verstehen ich wieder. Hier wurde
> einfach mit dem Nenner multiplizert.
Naja, so könnte man es sehen, aber...
> [mm]\le \frac{1}{g} \left| \frac{a_n}{a_{n-1}} - g \right|[/mm]
>
> Warum aber hat sich der Operator von = zu [mm] $\le$ [/mm] geändert
> ?
Das nennt man Abschätzung.
Stefan hat den Term freiwillig vergrößert und ihn damit einfacher gestaltet. Dieser einfachere und größere Term ist aber --selbst durch die Vergrößerung-- immer noch klein genug, um das gewünschte zu zeigen.
(Siehst du, dass der Term größer wird, wenn man einfach den Nenner wegläßt? Der Nenner ist nämlich größer als 1, weil [mm] a_n [/mm] monoton wachsend ist.)
> Nun klar wenn etewas schon gleich ist ist es natülich auch
> [mm] $\ge$ [/mm] oder [mm] $\le$.
[/mm]
Damit hat das nichts zu tun, hätte Stefan [mm] $\ge$ [/mm] geschrieben, hätte es ihm gar nichts genützt.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:53 Do 27.05.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo Paulus,
in etwa das was du gesagt hast habe ich auch hier gefunden:
http://www.wissenschaft-direkt.de/spektrum/projekt/quasi3.htm
Leider verstehe ich auch hier nicht wieso man auf eine quadritische Gleichung kommt ?
Ich denke ich muss die Aufgabe so einmal ruhen lassen. Durch länger hinkucken fällt mir auch nix neues mehr ein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Do 27.05.2004 | | Autor: | baddi |
http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/node2.html#0002500
|
|
|
|
