Funktionsgleichungen erstellen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Di 21.10.2008 | | Autor: | Luke6 |
| Aufgabe 1 | Ein kegelförmiges Gefäss mit der Höhne h1 und dem Radius r1 steht auf der Spitze. Es ist bis zur Höhe h (<h1)
mit einer Flüssigkeit gefüllt. Stellen Sie den Inhalt V des Gefässes als Funktion der Füllhöhe h dar. Zeichnen Sie den
Graphen der Funktion h--> V(h) für h1=1m, r= 25 cm. Zusatzfrage: Bei welcher Füllhöhe h ist das Gefäss halb voll?
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| Aufgabe 2 | Einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a=4cm und b=7cm wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass zwei
Rechteckseiten auf den Katheten und eine Ecke des Rechtecks auf der Hypotenuse liegt. Bestimmen Sie die Rechtecksfläche
A als Funktion einer Rechteckseite x. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion. Für welchen Wert von x ist A am grössten? |
Hallo zusammen
Ich wäre froh wenn mir jemand erklären könne ich wie diese aufgaben löse. ich verstehe nicht ganz wie ich so eine funktion bilde.
vielen dank für die hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Di 21.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Überleg' dir dochmal, welche Formeln für das Kegelvolumen bzw. die Rechteckfläche gelten. In diesen Formeln taucht dann das h bzw. x auf, damit kannst du die Funktion erstellen. Eine Funktion ist immer eine Zuordnung: du ordnest einem beliebigem h(<h1) das dazugehörige Volumen zu, bzw. einem beliebigen x die dazugehörige Rechteckfläche.
Viele Grüße,
Markus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Di 21.10.2008 | | Autor: | Luke6 |
wenn ich das mit der formel fürs kegelvolumen (V=1/3pie*r2*h) mache dann kommt ja V=1/3pie*50*100 heraus. aber ich sehe nicht wie ich das jetzt zeichnen könnte...
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[edit] Fehler hier korrigiert. [informix]
Hallo!
Richtig, das Volumen V eines Kegels mit der Höhe h und dem Radius r lässt sich mit
V = [mm] \bruch{1}{3}*\pi*r^{2}*h
[/mm]
berechnen. Das Volumen hängt also von r und h ab. Verändere ich den Radius des Kegels, verändert sich das Volumen. Verändere ich die Höhe des Kegels, verändert sich auch sein Volumen. Bei der Aufgabe ist jetzt gewünscht, dass du das Volumen nur in Abhängigkeit der Höhe h angibst. D.h. du betrachtest r, den Radius als fest. Er ist jetzt eine Konstante und könnte z.B. den Wert 5cm haben. Man kann dann schreiben:
V(h) = [mm] \bruch{1}{3}*\pi*r^{2}*h
[/mm]
Jetzt hast du eine Funktion V(h), die nur von h abhängt, weil r ja konstant (fest) ist. Wenn du irgendein r wählst, z.B. r = 5, kannst du dir diese Funktion in ein Koordinatensystem eintragen, wobei auf der x-Achse die Höhe und auf der y-Achse das Volumen abgetragen wird. Genau sowas ist dann auch in der Teilaufgabe verlangt. r ist dir jetzt konkret mit 25cm vorgegeben, d.h. deine Funktion lautet:
V(h) = [mm] \bruch{(25)^2}{3}*\pi*h
[/mm]
(Volumen wird in [mm] cm^{3} [/mm] angegeben)
Außerdem wird dir jetzt gesagt, dass du bei [mm] h_{1} [/mm] = 100cm anfangen sollst, den Graphen zu zeichnen. So interpretier ich die Aufgabe. Das sieht dann so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Du musst dir den Graphen aber jetzt so vorstellen, dass erst bei x = h = 100 losgezeichnet wird). Mein Tipp: Versuch es doch mal lieber alles in Metern anzugeben, da werden die Zahlen kleiner ^^
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Di 21.10.2008 | | Autor: | Luke6 |
| Aufgabe | Wenn ich das Volumen berechnen will (2. Teil der Aufgabe) muss ich da nicht berücksichtigen dass der Kegel auf dem Kopf steht?
Und noch nur 2. Aufgabe mit dem recht |
Wenn ich das Volumen berechnen will (2. Teil der Aufgabe) muss ich da nicht berücksichtigen dass der Kegel auf dem Kopf steht?
Und noch nur 2. Aufgabe mit dem Rechteck. Da hab ich ja F=a*b aber ich habe weder für a noch für b eine zahl? wie kann ich dann einen graphen malen resp ausrechnen wie ich es optimieren kann?
vielen dank für die hilfe!
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Hey,
das der Kegel auf dem Kopf steht ist völlig egal. Wichtig ist nur die Grundseite und die die höhe dieses Kegels.
In der Aufgabenstellung steht "A als Funktion einer Rechteckseite x." Hier musst du demenstprechen dir eine Rechtecks seite aussuchen, die andere dann als konstane betrachten.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Luke6 |
ja das verstehe ich. aber da ich 2 unbekannte habe, habe ich ja auch keine konstante. ich hab ja lediglich die angabe dass die eine seite des dreiecks 7 bzw. 4 cm gross ist. aber die seiten des rechtecks sind ja kleiner. aber wie gross ist nicht angegeben. das verwirrt mich bisschen.
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Hallo Luke6 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> ja das verstehe ich. aber da ich 2 unbekannte habe, habe
> ich ja auch keine konstante. ich hab ja lediglich die
> angabe dass die eine seite des dreiecks 7 bzw. 4 cm gross
> ist. aber die seiten des rechtecks sind ja kleiner. aber
> wie gross ist nicht angegeben. das verwirrt mich bisschen.
Überlege, in welcher Beziehung l und r beim Kegel stehen:
anders gefragt: wie ändert sich der Radius, wenn man allmählich Wasser einfüllt, also die Höhe vergrößert?
In der Seitenansicht (zeichnen!) kannst du den Zusammenhang am schnellsten erkennen.
Und: bearbeite zunächst nur ausschließlich(!) die erste Aufgabe, ehe du dich der zweiten zuwendest.
Zwischen den Aufgaben zu springen verwirrt mehr als es zur Lösung beiträgt!
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Luke6 |
ok jetzt bin ich bei beiden fragen völlig verwirrt :D
könnte evt jemand eine zusammenfassung zu beiden schreiben und evt auch die lösung. so wie ich das verstehe stimm die lösung von steppenhahn doch nicht und jetzt weiss ich gar nicht mehr wie was funktionier.
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Hallo!
Ich sehe es als meine Pflicht nach der fehlerhaften Antowrt, hier wieder aufzuräumen 
Also. Du hast in der ersten Aufgabe einen auf der Spitze stehenden Kegel mit Höhe [mm] h_{1} [/mm] = 1m und [mm] r_{1} [/mm] = 0.25m gegeben. Das sieht dann so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun geht es darum, dass oben in den Kegel Wasser hereingeschüttet wird. Man kann sich vorstellen, dass je mehr Wasser ich hereinschütte, desto größer wird die Füllhöhe. Und nun verlangt man folgendes von dir: Du weißt immer nur die Füllhöhe h (die kannst du sozusagen irgendwie messen).
Nun sollst eine Funktion für das Volumen an Wasser aufstellen, dass sich gerade in dem Kegel befindet, d.h. wieviel Wasser du schon hereingeschüttet hast. Dafür hast du nun die schon oben angesprochene Füllhöhe h, und du weißt wie der Kegel aussieht in den das Wasser geschüttet wird.
Ein Beispiel für einen gefüllten Kegel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Deine Aufgabe ist es nun, eine solche Funktion V(h) zu finden. Das Problem ist bloß: eigentlich bräuchtest du, um das Volumen des bisher eingefüllten Wassers zu berechnen, auch noch den Radius r des gefüllten Wasserkegels. Dann könntest du nämlich wieder schreiben:
V = [mm] \bruch{1}{3}*\pi*r^{2}*h
[/mm]
Den hast du nun aber nicht gegeben. Also muss es auch anders gehen. Und zwar durch folgende Idee: Irgendwie ist es doch festgelegt, wie groß der Radius ist, wenn ich die Füllhöhe h kenne. Schau dir das Bild oben an. Wenn ich mehr Wasser hereinschütte, erhöht sich auch der Radius r, würde ich Wasser herausnehmen, so würde sich auch der Radius r des Wasserkegels verkleinern. Es muss also irgendeine Abhängigkeit zwischen r und h geben, die du irgendwie so schreiben kannst:
r = irgendwas mit h
Diese Formel musst du herausfinden. Dazu solltest du dir allerdings nicht den ganzen Kegel vornehmen, sondern ihn nur von der Seite betrachten. Dann sieht das schematisch so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Achtung! [mm] h_{1} [/mm] bezeichnet die senkrechte Gerade in der Mitte! (Ebene die Höhe des Kegels ) Versuche jetzt, solch eine Abhängigkeit zwischen r und h herauszufinden!
Tipp: Ihr hattet sicher Strahlensatz?
Wenn du das herausgefunden hast, kannst du in der Formel
V = [mm] \bruch{1}{3}*\pi*r^{2}*h
[/mm]
für das geradige Füllvolumen für r diese Formel mit h einsetzen. Dann kannst du das Füllvolumen nur in Abhängigkeit von h berechnen und schreiben:
V(h) = [mm] \bruch{1}{3}*\pi*(\mbox{irgendwas mit h}^{2}*h
[/mm]
Dann bekommst du sicher auch die Zusatzaufgabe hin
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Do 23.10.2008 | | Autor: | Luke6 |
Ok danke! jetzt bin ich auf die Lösung von V(h) = 1/3 * (Pi) * (h hoch 3) (r1/h1) hoch 2 gekommen.
beim 2. teil der aufgabe wo ich berrechnen musste bei welchem h der Kegel halbvoll ist ging ich folgendermassen vor: ich habe mit der oben genannten formel das gesamt volumen von dem kegel ausgerechnet (h=1 und r=0.25) diese zahlen eingesetzt. dann habe ich das volumen halbiert weil es ja halbvoll sein muss und nach h aufgelöst. so müsste ich doch eigentlich das halbe volumen haben oder nicht? es stimmt aber nicht mit der lösung überein :s
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Hallo Luke6,
> Ok danke! jetzt bin ich auf die Lösung von V(h) = 1/3 *
> (Pi) * (h hoch 3) (r1/h1) hoch 2 gekommen.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Schreib doch bitte mit unserem Formeleditor, damit man die Gleichungen besser lesen kann:
[mm] V(h)=\bruch{1}{3}\pi*h^3*(\bruch{r_1}{h_1})^2\underbrace{=}_{\text{Konstanten nach vorn}}\bruch{1}{3}\pi*(\bruch{r_1}{h_1})^2*h^3
[/mm]
> beim 2. teil der aufgabe wo ich berechnen musste bei
> welchem h der Kegel halbvoll ist ging ich folgendermassen
> vor: ich habe mit der oben genannten formel das gesamt
> volumen von dem kegel ausgerechnet (h=1 und r=0.25) diese
> zahlen eingesetzt. dann habe ich das volumen halbiert weil
> es ja halbvoll sein muss und nach h aufgelöst. so müsste
> ich doch eigentlich das halbe volumen haben oder nicht? es
> stimmt aber nicht mit der lösung überein :s
Dann rechne mal vor:
Hellsehen ist im Gegensatz zu Mathe nicht unsere Stärke. 
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:30 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Luke6 |
hallo informix
ja das mit dem hellsehen hab ich auch nicht so drauf! dafür bin ich doch noch auf die lösung gekommen. :)
durch andwendung des strahlensatzes konnte ich ja r nach h1 ausdrücken wie in der Formel ersichtlich: [mm] V=1/3\pi*\red{(\bruch{r1}{h1})^2}*h^{3} [/mm] dann das halbe volumen nehmen und nach h klein auflösen--> [mm] \wurzel[3]{\bruch{vhalb*3*h^2}{\pi*r^2}} =h[/mm] die gegebenen zahlen einsetzen und schon habe ich meine lösung! vielen dank für die hilfe! ist echt ein super forum!
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 16:28 Mi 22.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
>
> Richtig, das Volumen V eines Kegels mit der Höhe h und dem
> Radius r lässt sich mit
>
> V = [mm]\bruch{1}{3}*\pi*r^{2}*h[/mm]
>
> berechnen. Das Volumen hängt also von r und h ab. Verändere
> ich den Radius des Kegels, verändert sich das Volumen.
> Verändere ich die Höhe des Kegels, verändert sich auch sein
> Volumen. Bei der Aufgabe ist jetzt gewünscht, dass du das
> Volumen nur in Abhängigkeit der Höhe h angibst. D.h. du
> betrachtest r, den Radius als fest. Er ist jetzt eine
> Konstante und könnte z.B. den Wert 5cm haben. Man kann dann
> schreiben:
>
> V(h) = [mm]\bruch{1}{3}*\pi*r^{2}*h[/mm]
>
> Jetzt hast du eine Funktion V(h), die nur von h abhängt,
> weil r ja konstant (fest) ist. Wenn du irgendein r wählst,
Das ist Unfug. In dem Moment, wo ich mehr Flüssikeit einfülle, wächst nicht nur die Höhe, sondern auch die kreisförmige obere Wasserfläche.
Der Kern der Aufgabe liegt darin, dass die Flüssigkeit jeweils Kegelform annimmt (ganz gleich, ob viel oder wenig Flüssigkeit drin ist), und alle diese Kegel zueinander ähnlich sind Damit ist auch für alle Kegel das Verhältns aus Höhe und Radius konstant. Wenn du dieses Verhältnis also für EINEN dieser Kegel kennst, kannst du für jeden dieser Kegel den Radius in Abhängigkeit von der Höhe (oder umgekehrt) angeben. Damit hast du in der Volumenformel keine zwei Unbekannten mehr, sondern nur noch eine (die dann in dritter Potenz vorkommt).
Gruß Abakus
> z.B. r = 5, kannst du dir diese Funktion in ein
> Koordinatensystem eintragen, wobei auf der x-Achse die Höhe
> und auf der y-Achse das Volumen abgetragen wird. Genau
> sowas ist dann auch in der Teilaufgabe verlangt. r ist dir
> jetzt konkret mit 25cm vorgegeben, d.h. deine Funktion
> lautet:
>
> V(h) = [mm]\bruch{(25)^2}{3}*\pi*h[/mm]
>
> (Volumen wird in [mm]cm^{3}[/mm] angegeben)
> Außerdem wird dir jetzt gesagt, dass du bei [mm]h_{1}[/mm] = 100cm
> anfangen sollst, den Graphen zu zeichnen. So interpretier
> ich die Aufgabe. Das sieht dann so aus:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> (Du musst dir den Graphen aber jetzt so vorstellen, dass
> erst bei x = h = 100 losgezeichnet wird). Mein Tipp:
> Versuch es doch mal lieber alles in Metern anzugeben, da
> werden die Zahlen kleiner ^^
>
> Stefan.
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Hallo!
Ok, da habe ich wohl Mist erzählt...
Natürlich ist es so wie abakus geschrieben hat. Habe mich auch etwas von der Einordnung S8-10 täuschen lassen und der Bezeichnung der Variablen. Fehler ist Fehler - Entschuldigung.
Stefan.
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