Gleichung der Tangenten Kreis < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:15 Di 15.04.2008 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie Gleichungen der Tangenten von P(7/1) an den Kreis k: [mm] \vec{x}=25 [/mm] |
Hi!
Also ich habe zwei verschiedene Lösungen gelesen. Eine mit Thaleskreis, wobei ich da das Problem habe, was ist, wenn der Kreis nicht seinen Mittelpunkt am Ursprung hat.
Die andere ist wesentlich kürzer, aber ich verstehe die Strategie dahinter nicht.
Für diese zweite Lösung sagt mein Buch:
Für die Gerade g durch die Berührpunkte ergibt sich:
g: [mm] [\vektor{7 \\ 1}-\vektor{0 \\ 0}]*[\vec{x}-\vektor{0 \\ 0}]=25. [/mm] Also [mm] \vektor{7 \\ 1}*\vec{x}=25 [/mm] bzw. 7x+y=25
Die Berührpunkte sind die Schnitpunkte der Geraden g mit dem Kreis. Einsetzen von y=25-7x in die Kreisgleichung ergibt [mm] x^{2}+(25-7x)^{2}=25. [/mm] Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind 3 und 4...
Ich habe vor allem mit dieser Geradengleichung Probleme. Woher kommt die und was macht die da?
Vielen Dank und liebe Grüße
Kerstin
|
|
| |
|
Hallo Kueken,
> Bestimmen Sie Gleichungen der Tangenten von P(7/1) an den
> Kreis k: [mm]\vec{x}=25[/mm]
> Hi!
>
> Also ich habe zwei verschiedene Lösungen gelesen. Eine mit
> Thaleskreis, wobei ich da das Problem habe, was ist, wenn
> der Kreis nicht seinen Mittelpunkt am Ursprung hat.
> Die andere ist wesentlich kürzer, aber ich verstehe die
> Strategie dahinter nicht.
> Für diese zweite Lösung sagt mein Buch:
>
> Für die Gerade g durch die Berührpunkte ergibt sich:
> g: [mm][\vektor{7 \\ 1}-\vektor{0 \\ 0}]*[\vec{x}-\vektor{0 \\ 0}]=25.[/mm]
> Also [mm]\vektor{7 \\ 1}*\vec{x}=25[/mm] bzw. 7x+y=25
> Die Berührpunkte sind die Schnitpunkte der Geraden g mit
> dem Kreis. Einsetzen von y=25-7x in die Kreisgleichung
> ergibt [mm]x^{2}+(25-7x)^{2}=25.[/mm] Die Lösungen dieser
> quadratischen Gleichung sind 3 und 4...
>
> Ich habe vor allem mit dieser Geradengleichung Probleme.
> Woher kommt die und was macht die da?
Wenn wir das mit dem Thaleskreis machen, müssen wir einen Kreis um [mm]\left(\bruch{7}{2}|\bruch{1}{2}\right)[/mm]mit dem Radius [mm]\bruch{1}{2}*\wurzel{1^{2}+7^{2}}=\bruch{5}{\wurzel{2}}[/mm] zeichnen und den mit dem vorhandenen Kreis schneiden.
Die Gleichung dieses neuen Kreises lautet dann:
[mm]\left(\overrightarrow{x}-\bruch{1}{2}*\overrightarrow{OP}\right)^{2}=\bruch{1}{4}*\vmat{\overrightarrow{OP}}^{2}[/mm]
Demnach:
[mm]k1:\left(\overrightarrow{x}-\bruch{1}{2}*\pmat{7 \\ 2}\right)^{2}=\bruch{25}{2}[/mm]
Subtrahiert man nun den Kreis k von k1, so entsteht die Geradengleichung.[mm]7x+y=25[/mm].
>
> Vielen Dank und liebe Grüße
> Kerstin
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Di 15.04.2008 | | Autor: | Kueken |
Vielen Dank schonmal, aber die rechte Seite von dieser Gleichung versteh ich nicht... Wie kommst du darauf?
Ist das der Radius?
"Die Gleichung dieses neuen Kreises lautet dann:
[mm] (\vec{x}-\bruch{1}{2}*\overrightarrow{OP})^{2}=\bruch{1}{4}*|\overrightarrow{OP}|^{2}"
[/mm]
LG
Kerstin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Di 15.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank schonmal, aber die rechte Seite von dieser
> Gleichung versteh ich nicht... Wie kommst du darauf?
> Ist das der Radius?
>
> "Die Gleichung dieses neuen Kreises lautet dann:
> [mm](\vec{x}-\bruch{1}{2}*\overrightarrow{OP})^{2}=\bruch{1}{4}*|\overrightarrow{OP}|^{2}"[/mm]
Der Mittelpunkt dieses Kreises liegt in der Mitte zwischen O und P, daher
[mm] \left(\bruch{1}{2} *\overrightarrow{OP}\right)^2 = \bruch{1}{4}*|\overrightarrow{OP}|^{2} [/mm]
Links steht dann gerade (x - "Mittelpunkt").
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Di 15.04.2008 | | Autor: | Kueken |
Also ist [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}|\overrightarrow{OP}|^{2}
[/mm]
der Mittelpunkt?
Sorry, steh grad auf dem Schlauch...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Di 15.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Der Radius des Hilfskreises ist ja [mm] r=\bruch{1}{2}|\overrightarrow{OP}|. [/mm] Damit ist [mm] r²=(\bruch{1}{2}|\overrightarrow{OP}|)²=(\bruch{1}{2})²*|\overrightarrow{OP}|²=\bruch{1}{4}|\overrightarrow{OP}|
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 Di 15.04.2008 | | Autor: | Kueken |
danke dir ... habs verstanden :) *freu*
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Di 15.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kerstin!
> Bestimmen Sie Gleichungen der Tangenten von P(7/1) an den
> Kreis k: [mm]\vec{x}=25[/mm]
> Hi!
>
> Also ich habe zwei verschiedene Lösungen gelesen. Eine mit
> Thaleskreis, wobei ich da das Problem habe, was ist, wenn
> der Kreis nicht seinen Mittelpunkt am Ursprung hat.
> Die andere ist wesentlich kürzer, aber ich verstehe die
> Strategie dahinter nicht.
> Für diese zweite Lösung sagt mein Buch:
>
> Für die Gerade g durch die Berührpunkte ergibt sich:
> g: [mm][\vektor{7 \\ 1}-\vektor{0 \\ 0}]*[\vec{x}-\vektor{0 \\ 0}]=25.[/mm]
> Also [mm]\vektor{7 \\ 1}*\vec{x}=25[/mm] bzw. 7x+y=25
> Die Berührpunkte sind die Schnitpunkte der Geraden g mit
> dem Kreis. Einsetzen von y=25-7x in die Kreisgleichung
> ergibt [mm]x^{2}+(25-7x)^{2}=25.[/mm] Die Lösungen dieser
> quadratischen Gleichung sind 3 und 4...
>
> Ich habe vor allem mit dieser Geradengleichung Probleme.
> Woher kommt die und was macht die da?
Hier noch eine andere Darstellung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Gerade geht ja durch die Punkte P und B und steht senkrecht auf der Linie [mm] $\overrightarrow{MB}$. [/mm] Daher ist die Gleichung für die Normalform der Geraden:
[mm] \overrightarrow{MQ}* $\overrightarrow{MB} = c [/mm]
für alle Punkte Q auf der Geraden. Insbesondere gilt auch für den Punkt B, der ja auf der Geraden liegt:
[mm] \overrightarrow{MB}* \overrightarrow{MB} = c [/mm]
Nun ist gerade [mm] $|\overrightarrow{MB}| [/mm] = r$ (Kreisradius), also ist [mm] $c=r^2$. [/mm] Insgesamt:
[mm] \overrightarrow{MQ}* \overrightarrow{MB} =|\overrightarrow{MB}|^2=r^2[/mm]
Und jetzt setzt du nur noch deine gegebenen Werte ein: $M=(0,0)$, $Q=P=(7,1)$, $r=5$ und für B nimmst du [mm] $\vec{x}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Di 15.04.2008 | | Autor: | Kueken |
wow, super anschaulich =) danke für die ausführliche Erklärung. Hat mir sehr geholfen!!
Liebe Grüße
Kerstin
|
|
|
|
