Gleichungen 4. Grades < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Do 03.03.2005 | | Autor: | neo2k |
Ich habe eine Frage:
Wie ich die Gleichung
[mm] y^4 [/mm] +py +r = 0
lösen?
Ich habe diese Frage auf keinem anderem Forum gestellt
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Hallo neo2k,
> Ich habe eine Frage:
> Wie kann ich die Gleichung
>
> [mm]y^4[/mm] +py +r = 0
>
> lösen?
>
am besten graphisch:
[mm] $y^4 [/mm] = -py-r$
Du zeichnest [mm] y^4 [/mm] und die Gerade $g(y)=-py-r$ in ein Koordinatensystem und liest die Schnittpunkte ab.
Was weißt du denn noch über die Variablen p und r? Zu welcher Aufgabenstellung gehört diese Frage?
Oder du kannst Bedingungen angeben, bei denen die Gerade nicht die Parabel treffen kann und es daher keine Lösungen geben kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Do 03.03.2005 | | Autor: | neo2k |
diese Gleichung ist abgeleitet aus der reduzierten Form der Gleichung 4. Grade:
[mm] \begin{eqnarray*}
y^4 + px^2 + qx + r = 0 \nonumber \\
p= b-\frac{3}{8}a^2, \ \ q=\frac{1}{8}a^3-\frac{1}{2} ab +c , \ \ r=
-\frac{3}{256} a^4+\frac{1}{16}a^2b-\frac{1}{4} ac +d
\end{eqnarray*}
[/mm]
Ich suche nun eine Möglichkeit diese Gleichung rechnerisch zu lösen.
Mit freundlichen Grüßen
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Hallo,
schreibe das reduzierte Polynom als Differenz zweier Quadrate:
[mm]y^{4} \; + \;p\;y^{2} \; + \;q\;y\; + \;r\; = \;\left[ {y^{2} \; + \;\frac{\zeta }
{2}} \right]^{2} - \;\left[ {\left( {\zeta \; - \;p} \right)\;y^{2} \; - \;q\;y\; + \;\left( {\frac{{\zeta ^{2} }} {4}\; - \;r} \right)} \right][/mm]
Die letzte eckige Klammer soll ein Quadrat [mm]\left[ {\alpha \;y\; + \;\beta } \right]^{2}[/mm] werden. Dies ist gesichert wenn [mm]\zeta[/mm] gemäß
[mm]q^{2} \; = \;\left( {\zeta \; - \;p} \right)\;\left( {\zeta ^{2} \; - \;4\;r} \right)[/mm]
gewählt wird.
Nun folgt:
[mm]\begin{gathered}
y^{4} \; + \;p\;y^{2} \; + \;q\;y\; + \;r\; = \;\left[ {y^{2} \; + \;\frac{\zeta }
{2}} \right]^{2} - \;\left[ {\alpha \;y\; + \;\beta } \right]^{2} \hfill \\
= \;\left[ {y^{2} \; + \;\alpha \;y\; + \;\left( {\frac{\zeta }
{2}\; + \;\beta } \right)} \right]\;\left[ {y^{2} \; - \;\alpha \;y\; + \;\left( {\frac{\zeta }
{2}\; - \;\beta } \right)} \right] \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Die Lösungen der reduzierten Gleichung sind dann die Lösungen der beiden quadratischen Gleichungen.
(siehe auch: Hornfeck,Bernhard: Algebra; Verlag Walter de Gruyter, 3. Auflage)
Gruß
MathePower
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