Grenzwertberechnung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Di 08.05.2007 | | Autor: | michaell |
| Aufgabe | Gegeben sei die rekursiv definierte Folge an+1=(an+1)/3 a1=1
Berechnen sie mittels der Grenzwertsätze den hier existierenden Grenzwert (Folge ist auch beschränkt) der Folge indem sie den Ansatz lim an+1 (n->undendlich) = lim an (n-> undendlich) = a benutzen!
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Hi,
kann mir mal bitte jemand erklären inwiefern das mit dem Ansatz gemeint ist? Der verwirrt mich gerade irgendwie.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Di 08.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Gemeint ist (glaube ich folgendes):
[Deine Notationen sind nicht dolle ... und die Folge hast Du wohl falsch definiert ...]
Angenommen der Grenzwert der Folge exisitert und sei a, dann gilt:
$a= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}$
[/mm]
Auf der anderen Seite ist [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n}/3$.
[/mm]
Anwendung der Grenzwertsätze ergibt:
$a = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}/3 [/mm] = 1/3 [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = ...$
Den Rest schaffst Du nun auch alleine ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Di 08.05.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo MicMuc!
Ich denke mal, dass hier die rekursive Folge [mm] $a_{n+1} [/mm] \ := \ [mm] \bruch{a_n \ \red{+1}}{3}$ [/mm] gemeint ist.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Di 08.05.2007 | | Autor: | michaell |
Die Folge mit: an+1= (an+1)/3
stimmte, so steht sie auf meinem Zettel
Vielleicht fehtl noch was aus den vorangegangenen Aufgaben zu dieser Folge.
a) war die ersten 5 Folgenglieder bestimmen (1 ; 2/3 ; 5/9 ; 14/27 ; 41/81)
b) die (strenge) Monotonie der Folge nachweisen, mittels des Ausdrucks:
an+1/an für n>= 2
da kam ich auf -1/2 <= an
und c) ist halt die Aufgabe mit dem Grenzwert.
lg Michaell
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Di 08.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Angenommen der Grenzwert der Folge exisitert und sei a, dann gilt:
$ a= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1} [/mm] $
Auf der anderen Seite ist $ [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] (a_{n}+1)/3= a_{n}/3+1/3 [/mm] $.
Anwendung der Grenzwertsätze ergibt:
$ a = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}+1)/3 [/mm] = 1/3 [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n} [/mm] + 1) = 1/3(a+1) $
Jetzt guck Dir mal den Anfang und das Ende der Gleichung an und rechne a aus ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Di 08.05.2007 | | Autor: | michaell |
ahh jetzt hab ichs.
Danke
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Hallo Michaell!
Voraussetzung für die o.g. Methode ist die Existenz des Grenzwertes, d.h. dass die Folge auch wirklich konvergiert.
Das gilt z.B. wenn Du neben der Monotonie auch die Beschränktheit der Folge nachgewiesen hast.
Gruß vom
Roadrunner
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