Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel[n]{n}}{n!}[/mm] |
Mit Hilfe des Quotientenkriteriums komme ich soweit:
[mm] \bruch{\wurzel[n+1]{n+1}}{(n+1)*\wurzel[n]{n}}
[/mm]
wenn man den Nenner noch vereinfacht, hat man unten nur noch [mm] n^2 [/mm] stehen. Wie kann ich den Bruch noch soweit formen, um eine Aussage über den genauen Wert zu bekommen? Liegt der Wert zwischen 0 und 1, so konvergiert die Reihe. Es bringt mir allerdings wenig, zu wissen, dass der Ausdruck gegen Null geht, denn die Reihe eine Nullfolge muss nicht gleich konvergieren.
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
du warst oben eigentlich schon fast fertig. Du musst dich nur noch fragen gegen was denn [mm] \wurzel[n+1]{n+1} [/mm] und [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] jeweils konvergieren (das tun sie nämlich gegen einen festen Wert). Dann kannst du das Quotientenkrit. anwenden.
Oh, entschuldigung. Ich sehe gerade, dass du den Wert der Reihe haben wolltest. Da kann ich dir glaube ich nicht helfen.
Gruß
|
|
|
| |
|
[mm] \wurzel[n]{n} [/mm] geht wenn n ins Unendliche geht gegen 1. Das gleiche gilt für [mm] \wurzel[n+1]{n+1}. [/mm] Somit bleibt der Ausdruck [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] stehen, wobei ja auch hier für n geht gegen Unendlich der Wert gegen Null geht. Aber damit kann ich doch keine Aussage treffen, ob die Reihe konvergiert oder nicht?! Die Folge 1/n konvergiert für n--> unendliche ja auch, ihre Reihe divergiert aber.> Hallo,
>
> du warst oben eigentlich schon fast fertig. Du musst dich
> nur noch fragen gegen was denn [mm]\wurzel[n+1]{n+1}[/mm] und
> [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] jeweils konvergieren (das tun sie nämlich
> gegen einen festen Wert). Dann kannst du das
> Quotientenkrit. anwenden.
[mm] \wurzel[n]{n} [/mm] geht wenn n ins Unendliche geht gegen 1. Das gleiche gilt für [mm] \wurzel[n+1]{n+1}. [/mm] Somit bleibt der Ausdruck [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] stehen, wobei ja auch hier für n geht gegen Unendlich der Wert gegen Null geht. Aber damit kann ich doch keine Aussage treffen, ob die Reihe konvergiert oder nicht?! Die Folge 1/n konvergiert für n--> unendliche ja auch, ihre Reihe divergiert aber.>
>
> Oh, entschuldigung. Ich sehe gerade, dass du den Wert der
> Reihe haben wolltest. Da kann ich dir glaube ich nicht
> helfen.
>
> Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] geht wenn n ins Unendliche geht gegen 1. Das
> gleiche gilt für [mm]\wurzel[n+1]{n+1}.[/mm] Somit bleibt der
> Ausdruck [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] stehen, wobei ja auch hier für n
> geht gegen Unendlich der Wert gegen Null geht. Aber damit
> kann ich doch keine Aussage treffen, ob die Reihe
> konvergiert oder nicht?! Die Folge 1/n konvergiert für
> n--> unendliche ja auch, ihre Reihe divergiert aber.
Du hast Dir eine Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] angeschaut. Es geht nun nicht darum,
ob [mm] $a_n \to [/mm] 0$ gilt (wenn das nicht gelten würde, würde die Reihe direkt
divergieren): Das hast Du doch gar nicht behandelt.
Du hast doch keinesfalls
[mm] $$a_n \to [/mm] 0$$
begründet, SONDERN
[mm] $$\frac{a_{n+1}}{a_n} \to [/mm] 0 [mm] \;\;\;(< 1)\,.$$
[/mm]
Damit konvergiert [mm] $\sum a_n$ [/mm] nach dem QK (und was [mm] $\sum (a_{n+1}/a_n)$
[/mm]
macht, interessiert bei der Aufgabe niemanden...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
das heißt sobald ich ein Kriterium zur Bestimmung der Konvergenz der Reihe angewendet habe und herauskommt, dass das Ergebnis gegen Null geht, so kann ich davon ausgehen, dass die Anfangsreihe konvergiert, da der berechnete Wert kleiner 1 ist? Wenn das so wäre, dann hab ichs verstanden =)
Noch eine Frage: Ist der Wert, den man nachdem man ein Kriterium angewendet hat, herausbekommt, der Reihenwert? Also der Wert gegen den die Reihe strebt? Ist das in diesem Fall die Null?
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:05 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> das heißt sobald ich ein Kriterium zur Bestimmung der
> Konvergenz der Reihe angewendet habe und herauskommt, dass
> das Ergebnis gegen Null geht, so kann ich davon ausgehen,
> dass die Anfangsreihe konvergiert, da der berechnete Wert
> kleiner 1 ist?
ja - wobei natürlich $0 < [mm] 1\,$ [/mm] ist. Eigentlich reicht es, "nur" zu zeigen, dass
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n| [/mm] < 1$$
gilt, um die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] einzusehen (aber auch das
ist nur ein hinreichendes und nicht notwendiges Kriterium!). Aber diese
Aussagen stehen doch in der Formulierung des QK; warum schaust Du Dir
das nicht einfach nochmal an?
> Wenn das so wäre, dann hab ichs verstanden
> =)
>
> Noch eine Frage: Ist der Wert, den man nachdem man ein
> Kriterium angewendet hat, herausbekommt, der Reihenwert?
Nein - diese Kriterien treffen nur Aussagen über das Konvergenzverhalten
einer Reihe. In "Ausnahmefällen" - wie etwa der geometrischen Reihe oder
bei dem Endstück einer geometrischen Reihe - kann man relativ einfach
(mit zusätzlichen Überlegungen) den Reihenwert auch berechnen - i.a. ist
dieser nicht einfach zu bestimmen. Da gibt's auch teilweise andere Mittel,
etwa Fourierreihen etc., aber das kommt später mal. Was man sich
vielleicht aber mal behalten soll, ist ein Umgang mit sogenannten
Ziehharmonikasummen oder Ziehharmonikareihen:
Falls [mm] $a_n \to a\,,$ [/mm] so gilt für jedes $N [mm] \in \IN$
[/mm]
[mm] $$\sum_{k=n_0}^N (a_{n+1}-a_n)=\Big(\sum_{k=n_0}^N a_{n+1}\Big)-\sum_{k=n_0}^N a_n=\Big(\sum_{k=n_0+1}^{N+1} a_{n}\Big)-\sum_{k=n_0}^N a_n=...=a_{N+1}-a_{n_0}\,,$$
[/mm]
also konvergiert die Reihe [mm] $\sum_{k=n_0}^\infty (a_{n+1}-a_n)$ [/mm] und es gilt dann für deren Grenzwert
[mm] $$\sum_{k=n_0}^\infty (a_{n+1}-a_n)=\lim_{N \to \infty} \sum_{k=n_0}^N (a_{n+1}-a_n)=...=(\lim_{N \to \infty} a_{N+1})-a_{n_0}=a-a_{n_0}\,.$$
[/mm]
(Beachte, dass hierbei [mm] $a_n \to [/mm] a$ VORAUSGESETZT wurde!)
Berechne damit mal den Grenzwert von
[mm] $$\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k*(k-1)}\,.$$
[/mm]
Tipp: Für $k [mm] \ge [/mm] 2$ gilt
[mm] $$\frac{1}{k*(k-1)}=\frac{1}{k-1}- \text{ ?}$$
[/mm]
(Berechne das Fragezeichen!)
> Also der Wert gegen den die Reihe strebt? Ist das in diesem
> Fall die Null?
Nein - keineswegs. Wieso sollte dem auch so sein? Mach' Dir mal klar, was
in den Beweisen solcher Aussagen getan und benutzt wird.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel[n]{n}}{n!}[/mm]
>
> Mit Hilfe des Quotientenkriteriums komme ich soweit:
>
> [mm]\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}}{(n+1)*\wurzel[n]{n}}[/mm]
>
> wenn man den Nenner noch vereinfacht, hat man unten nur
> noch [mm]n^2[/mm] stehen. Wie kann ich den Bruch noch soweit formen,
> um eine Aussage über den genauen Wert zu bekommen? Liegt
> der Wert zwischen 0 und 1, so konvergiert die Reihe. Es
> bringt mir allerdings wenig, zu wissen, dass der Ausdruck
> gegen Null geht, denn die Reihe eine Nullfolge muss nicht
> gleich konvergieren.
Doch, das bringt Dir alles! Konvergiert nämlich die Folge der Quotienten gegen Null, so konvergiert auch die Reihe.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{\wurzel[n]{n}}{n!}[/mm]
>
> Mit Hilfe des Quotientenkriteriums komme ich soweit:
>
> [mm]\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}}{(n+1)*\wurzel[n]{n}}[/mm]
>
> wenn man den Nenner noch vereinfacht, hat man unten nur
> noch [mm]n^2[/mm] stehen. Wie kann ich den Bruch noch soweit formen,
> um eine Aussage über den genauen Wert zu bekommen? Liegt
> der Wert zwischen 0 und 1, so konvergiert die Reihe. Es
> bringt mir allerdings wenig, zu wissen, dass der Ausdruck
> gegen Null geht, denn die Reihe eine Nullfolge muss nicht
> gleich konvergieren.
na, denk' drüber nach, was Du gerade behandelst: Wenn eine Reihe
[mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert, dann muss in notwendiger (aber nicht hinreichender)
Weise gelten [mm] $a_n \to 0\,.$
[/mm]
Hier ist [mm] $a_n=\bruch{\wurzel[n]{n}}{n!}\,,$ [/mm] und Du hast noch gar nicht
bewiesen, dass [mm] $a_n \to 0\,.$ [/mm] Das brauchst Du aber auch nicht.
Du hast nämlich nachgerechnet, dass für diese [mm] $a_n$ [/mm] oben gilt:
[mm] $$a_{n+1}/a_n \to 0\,.$$
[/mm]
Es gilt also (auch unter Beachtung von [mm] $a_n [/mm] > 0$)
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|=\lim_{n \to \infty} a_{n+1}/a_n=0 [/mm] < [mm] 1\,.$$
[/mm]
Daher konvergiert
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty a_n\,.$$
[/mm]
Das wir so noch nicht sagen könnten, ob denn
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n+1}}{a_n}$$
[/mm]
konvergent ist, wäre zwar richtig, aber danach ist hier ja gar nicht gefragt.
Also:
Du siehst eine Reihe [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] - kurz [mm] $\sum a_n$ [/mm] geschrieben - an und schaust Dir dann an,
was mit [mm] $a_{n+1}/a_n$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] los ist - mithilfe des QK kannst
Du dann Aussagen über die Reihe
[mm] $$\sum a_n$$
[/mm]
treffen. Das ist das, was man (oft jedenfalls) mithilfe des QK machen kann!
Und das, was Du nun machst, ist:
Du betrachtest zunächst die Reihe [mm] $\sum a_n\,,$ [/mm] und hier guckst Du Dir
nun [mm] $a_{n+1}/a_n$ [/mm] an - so weit, so gut. Aber jetzt verwirrst Du Dich
selbst: Du glaubst nun, dass Du damit eine Aussage über die Reihe
[mm] $\sum (a_{n+1}/a_n)$ [/mm] erhältst - was aber (i.a.) nicht der Fall sein wird:
Auch, wenn man sich beim QK die Quotienten [mm] $a_{n+1}/a_n$ [/mm] anguckt,
beziehen sich die Aussagen dann auf die Reihe [mm] $\sum a_n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
