Limes bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | Es sei $k$ eine natürliche, $q$ eine rationale Zahl mit $|q|<1$ . Man beweise:
[mm] \lim_{n\to\infty}n^k*q^n=0 [/mm] |
Hallo,
diese Aufgabe zu Grenzwerten bereitet mir (warum auch immer) mehr Schwierigkeiten, als alle anderen. Ich finde nicht einmal einen Denkansatz. Kann mir jemand helfen?
Viele Grüße
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Hallo Axiom96,
> Es sei [mm]k[/mm] eine natürliche, [mm]q[/mm] eine rationale Zahl mit [mm]|q|<1[/mm]
> . Man beweise:
> [mm]\lim_{n\to\infty}n^k*q^n=0[/mm]
> Hallo,
>
> diese Aufgabe zu Grenzwerten bereitet mir (warum auch
> immer) mehr Schwierigkeiten, als alle anderen. Ich finde
> nicht einmal einen Denkansatz. Kann mir jemand helfen?
Zeige, dass die Reihe [mm]\sum\limits_{n\ge 0}n^k\cdot{}q^n[/mm] konvergiert.
Damit ist [mm]\left(n^k\cdot{}q^n\right)_{n\in\IN}[/mm] Nullfolge
>
> Viele Grüße
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | Es sei k eine natürliche, q eine rationale Zahl mit |q|<1. Man beweise:
Die Reihe [mm] \summe_{\nu=0}^{n}\nu^k*q^\nu [/mm] konvergiert. |
Dass [mm] \summe_{\nu=0}^{\infty}q^\nu=\frac{1}{1-q} [/mm] ist, ist mir bekannt. Trotzdem komme ich nicht weiter. Kann ich das irgendwie verwenden? Ich habe das schon überlegt, aber ich kriege das nicht aus der Summe? Oder muss ich das anders machen?
Das Brett sitzt noch ziemlich fest vor meinem Kopf...
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Hallo nochmal,
> Es sei k eine natürliche, q eine rationale Zahl mit |q|<1.
> Man beweise:
> Die Reihe [mm]\summe_{\nu=0}^{n}\nu^k*q^\nu[/mm] konvergiert.
Na, sag' ich doch; damit folgt auch direkt die Konvergenz der Folge aus der Ausgangsfrage.
Ist dir klar, wieso?
> Dass [mm]\summe_{\nu=0}^{\infty}q^\nu=\frac{1}{1-q}[/mm] ist, ist
> mir bekannt. Trotzdem komme ich nicht weiter. Kann ich das
> irgendwie verwenden? Ich habe das schon überlegt, aber ich
> kriege das nicht aus der Summe? Oder muss ich das anders
> machen?
Na, du kennst doch sicher so einige Konvergenzkriterien für Reihen.
Hier kannst du zB. das Wurzel- oder am einfachsten das Quotientenkriterium heranziehen, um die Konvergenz der obigen Reihe nachzuweisen ...
>
> Das Brett sitzt noch ziemlich fest vor meinem Kopf...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hallo nochmal,
>
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> > Es sei k eine natürliche, q eine rationale Zahl mit |q|<1.
> > Man beweise:
> > Die Reihe [mm]\summe_{\nu=0}^{n}\nu^k*q^\nu[/mm] konvergiert.
>
> Na, sag' ich doch; damit folgt auch direkt die Konvergenz
> der Folge aus der Ausgangsfrage.
>
> Ist dir klar, wieso?
>
> > Dass [mm]\summe_{\nu=0}^{\infty}q^\nu=\frac{1}{1-q}[/mm] ist, ist
> > mir bekannt. Trotzdem komme ich nicht weiter. Kann ich das
> > irgendwie verwenden? Ich habe das schon überlegt, aber ich
> > kriege das nicht aus der Summe? Oder muss ich das anders
> > machen?
>
> Na, du kennst doch sicher so einige Konvergenzkriterien
> für Reihen.
>
> Hier kannst du zB. das Wurzel- oder am einfachsten das
> Quotientenkriterium heranziehen, um die Konvergenz der
> obigen Reihe nachzuweisen ...
>
Bis jetzt ist nur das Einschließungskriterium bekannt, aber ich bin mir nicht sicher, ob das wirklich weiterhilft. Gibt es sonst vielleicht einen einfacheren Weg ohne den Umweg der Reihe?
> >
> > Das Brett sitzt noch ziemlich fest vor meinem Kopf...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Hallo Axiom,
> Gibt es sonst vielleicht einen einfacheren Weg ohne den
> Umweg der Reihe?
Ja den gibt es. Ob er einfacher ist, ist eine andere Frage.
Es ist |q|<1 und damit ist [mm] |q|=\frac{1}{1+h}, [/mm] h>0
Wir nutzen die [mm] \epsilon [/mm] Konvergenzdefinition von Folgen:
[mm] |n^k*q^n-0|=\frac{n^k}{(1+h)^n}=...<\epsilon
[/mm]
Benutze für den Nenner den binomischen Lehrsatz. Verkleinere dann den Term.
Dies mal als kleiner Denkanstoß...
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Hallo,
> Hallo Axiom,
>
> > Gibt es sonst vielleicht einen einfacheren Weg ohne den
> > Umweg der Reihe?
> Ja den gibt es. Ob er einfacher ist, ist eine andere
> Frage.
>
> Es ist |q|<1 und damit ist [mm]q=\frac{1}{1+h},[/mm] h>0
Eher [mm]\red{|}q\red{|}=\frac{1}{1+h}[/mm] ...
Sonst erwischt du ja etwa [mm]q=-0,5[/mm] gar nicht ...
> Wir nutzen die [mm]\epsilon[/mm] Konvergenzdefinition von Folgen:
>
> [mm]|n^k*q^n-0|=\frac{n^k}{(1+h)^n}=...<\epsilon[/mm]
> Benutze für den Nenner den binomischen Lehrsatz.
> Verkleinere dann den Term.
>
> Dies mal als kleiner Denkanstoß...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo schachuzipus,
danke für den Hinweis, mein Beitrag wurde dementsprechend geändert.
Mein Fehler... :/
Gruß
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo
> Hallo Axiom,
>
> > Gibt es sonst vielleicht einen einfacheren Weg ohne den
> > Umweg der Reihe?
> Ja den gibt es. Ob er einfacher ist, ist eine andere
> Frage.
>
> Es ist |q|<1 und damit ist [mm]|q|=\frac{1}{1+h},[/mm] h>0
> Wir nutzen die [mm]\epsilon[/mm] Konvergenzdefinition von Folgen:
>
> [mm]|n^k*q^n-0|=\frac{n^k}{(1+h)^n}=...<\epsilon[/mm]
> Benutze für den Nenner den binomischen Lehrsatz.
> Verkleinere dann den Term.
Da ich heute nicht die Zeit habe zu viel ziellosem rumprobieren kurz die Frage, ob die folgende Abschätzung die Gesuchte ist:
Für [mm] n\ge{k+1}
[/mm]
[mm] (1+h)^n=\summe_{\nu=0}^{n}{n \choose \nu}1^{n-\nu}h^{\nu}=...+{n\choose\ {k+1}}h^{k+1}+...\ge{n\choose\ {k+1}}h^{k+1}
[/mm]
> Dies mal als kleiner Denkanstoß...
Wenn ich nichts übersehe, sollte ich damit nachher alle n bis auf eines im Nenner wegkürzen können, womit die Folge gegen 0 ginge. Stimmt das?
Vielen Dank
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Hallo Axiom,
> Da ich heute nicht die Zeit habe zu viel ziellosem
> rumprobieren kurz die Frage, ob die folgende Abschätzung
> die Gesuchte ist:
> Für [mm]n\ge{k+1}[/mm]
> [mm](1+h)^n=\summe_{\nu=0}^{n}{n \choose \nu}1^{n-\nu}h^{\nu}=...+{n\choose\ {k+1}}h^{k+1}+...\ge{n\choose\ {k+1}}h^{k+1}[/mm]
Die Abschätzung stimmt so.
>
> > Dies mal als kleiner Denkanstoß...
> Wenn ich nichts übersehe, sollte ich damit nachher alle n
> bis auf eines im Nenner wegkürzen können, womit die Folge
> gegen 0 ginge. Stimmt das?
Auch das stimmt.
>
> Vielen Dank
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Hallo nochmal,
ich verstehe das nicht ...
Du sollst in einer Aufgabe zeigen, dass die Reihe [mm]\sum\limits_{\nu\ge 0}\nu^k\cdot{}q^{\nu}[/mm] für [mm]|q|<1[/mm] konvergiert.
Und ihr habt keine Konvergenzkriterien für Reihen gehabt?
Und aus [mm]\sum\limits_{\nu\ge 0}a_{\nu}[/mm] konvergent folgt doch, dass [mm](a_{\nu})_{\nu\in\IN}[/mm] Nullfolge ist.
Also ist die Ursprungsaufgabe erledigt, wenn du die Konvergenz der zugeh. Reihe zeigst (was du als gesonderte Aufgabe auch formuliert hast)
Oder habe ich das falsch verstanden und du meintest das anders?
Hattet ihr noch keine Reihen?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo schachuzipus,
das Problem ist wohl, dass im Studium zuerst die Folgen und dann die Reihen behandelt werden.
Selbst wenn man Konvergenzkriterien für Reihen kennt, diese aber nicht anwenden möchte/kann, dann muss es sicherlich auch andere Möglichkeiten geben die Aufgabe zu lösen.
Echt gute Idee solche Folgen mittels Reihen zu lösen. Wenn ich das gewusst hätte, bevor Reihen bei uns Reihen behandelt wurden, wären die Übungsaufgaben sicherlich leicht gewesen ;)
Beste Grüße.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Hallo nochmal,
>
> ich verstehe das nicht ...
>
> Du sollst in einer Aufgabe zeigen, dass die Reihe
> [mm]\sum\limits_{\nu\ge 0}\nu^k\cdot{}q^{\nu}[/mm] für [mm]|q|<1[/mm]
> konvergiert.
Nein, zu zeigen ist wie in der Ausgangsfrage, dass [mm] lim_{n\to\infty}n^k*q^n=0 [/mm] ist. Nach deinem Tipp mit der Betrachtung der Reihe habe ich nur noch einmal eine umformulierte Aufgabenstellung aufgeschrieben.
> Und ihr habt keine Konvergenzkriterien für Reihen gehabt?
>
> Und aus [mm]\sum\limits_{\nu\ge 1}a_{\nu}[/mm] konvergent folgt
> doch, dass [mm](a_{\nu})_{\nu\in\IN}[/mm] Nullfolge ist.
Das habe ich schon bewiesen, aber ohne "Aufforderung" durch mein Buch.
> Also ist die Ursprungsaufgabe erledigt, wenn du die
> Konvergenz der zugeh. Reihe zeigst (was du als gesonderte
> Aufgabe auch formuliert hast)
>
> Oder habe ich das falsch verstanden und du meintest das
> anders?
>
> Hattet ihr noch keine Reihen?
Bei der Definition von Folgen wurde direkt mitdefiniert, dass Folgen der Form [mm] \summe_{\nu=0}^{n}a_\nu [/mm] , wenn [mm] a_n [/mm] auch eine Folge ist, Reihen genannt werden. Betrachtet wurden aber erst die harmonische Reihe (wo nur Unbeschränktheit nachgewiesen wurde) und die geometrische Reihe, wo aber mit vollständiger Induktion die Summenformel umgeformt wurde, sodass Konvergenzkriterien noch nicht nötig waren und deswegen auch nicht eingeführt sind.
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Do 06.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachu,
nur mal als Hinweis: Er ist 15 (oder mittlerweile 16) und lernt
selbstständig. Ob und wie er da eventuell im Buch hin und herspringt,
muss er uns natürlich sagen!
Aber die erste Frage kann man auch ohne Reihen lösen... hatte Richie ja
angedeutet!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Do 06.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo, ich dachte, ich poste nochmal meine fertige Lösung:
Seien [mm] n,k\in\IN [/mm] , [mm] q\in\IQ\cap(+1;-1) [/mm] . Es gilt [mm] \lim_{n\to\infty}n^k*q^n=0 [/mm] genau dann, wenn gilt: Zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein [mm] N_\varepsilon\in\IN [/mm] mit [mm] |n^k*q^n-0|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n>N_\varepsilon [/mm] . Sei [mm] |q|=\frac{1}{1+a}<1 [/mm] und außerdem [mm] N=\frac{2^{k+1}*(k+1)!}{a^{k+1}*\varepsilon}. [/mm] Wählt man nun [mm] n>N_\varepsilon\:=max(N,2k)\ge{k+1} [/mm] , erhält man:
[mm] |n^k*q^n-0|
[/mm]
[mm] =n^k*|q^n|
[/mm]
[mm] =n^k*\frac{1}{1+a}^n
[/mm]
[mm] =\frac{n^k}{\summe_{\nu=0}^{n}{n\choose k}1^{n-\nu}a^\nu}
[/mm]
[mm] \le\frac{n^k}{\summe_{\nu=0}^{k+1}a^\nu}
[/mm]
[mm] <\frac{n^k}{{n\choose k+1}a^{k+1}}
[/mm]
[mm] =\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{(n-(k+1))!}{n!}
[/mm]
[mm] =\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{\produkt_{\nu=1}^{n-(k+1)}\nu}{\produkt_{\nu=1}^{n}\nu}
[/mm]
[mm] =\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{\produkt_{\nu=0}^{k}(n-\nu)}
[/mm]
[mm] <\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{\produkt_{\nu=0}^{k}(n-k)}
[/mm]
[mm] \le\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{\produkt_{\nu=0}^{k}\frac{n}{2}}
[/mm]
[mm] =\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{\produkt_{\nu=1}^{k+1}\frac{n}{2}}
[/mm]
[mm] =\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}(\frac{n}{2})^{k+1}}
[/mm]
[mm] =\frac{2^{k+1}(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{n}
[/mm]
[mm] <\frac{2^{k+1}(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{a^{k+1}\varepsilon}{2^{k+1}(k+1)!}
[/mm]
[mm] =\varepsilon
[/mm]
Nach Definition gilt also: [mm] \lim_{n\to\infty}n^k*q^n=0 [/mm] .
So müsste es doch stimmen, oder?
Vielen Dank für die Hilfestellungen und Beste Grüße, Axiom
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Do 06.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, ich dachte, ich poste nochmal meine fertige
> Lösung:
>
> Seien [mm]n,k\in\IN[/mm] , [mm]q\in\IQ\cap\red{(+1;-1)}[/mm]
das wäre schlecht - es ist doch [mm] $(+1,\;-1) [/mm] = [mm] \emptyset\,.$ [/mm] Mach' besser
[mm] $(-1,\;1)$ [/mm] draus 
P.S.
Bei $|q|=1/(1+a)$ solltest Du auch $a > [mm] 0\,$ [/mm] dazuschreiben, bzw. besser
gesagt, ich würde es anders formulieren:
Mit einem $a > [mm] 0\,$ [/mm] können wir $|q| < 1$ in der Form $|q|=1/(1+a)$
schreiben!
Natürlich steckt in der Bedingung $|q|=1/(1+a) < [mm] 1\,$ [/mm] insbesondere
mit drin, dass nur $a [mm] >0\,$ [/mm] sein kann, wegen $|q| [mm] \ge 0\,,$ [/mm] aber es
ist irgendwie versteckt. Übrigens stimmt das auch nicht ganz:
Du kannst $|q|=1/(1+a) < [mm] 1\,$ [/mm] nur dann mit einem $a > [mm] 0\,$ [/mm] schreiben,
wenn $q [mm] \not=0\,.$ [/mm] Der Fall [mm] $q=0\,$ [/mm] ist zwar trivial, sollte aber dennoch
Erwähnung finden!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Do 06.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Axiom,
puh, das ist echt anstrengend. Also mal vorbemerkt:
Bei Abschätzungen konzentriert man sich immer auf's Wesentliche, d.h. wenn
man "mit gröberem genauso gut zurechtkommt", kann man manches
einfacher und übersichtlicher aufschreiben.
Beispiel: Dass die durch [mm] $a_n:=1/(3n^2+2n+7)$ [/mm] gegebene Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] gegen Null strebt,
erkennt man einfach wegen [mm] $|a_n| \le [/mm] 1/n$ für alle
$n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Mit dieser Abschätzung findet man zwar zu [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,$
[/mm]
ein "schlechteres" [mm] $N_\epsilon$ [/mm] wie, wenn man $0 [mm] \le a_n [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm]
"passend umformt" (um etwa ein kleinstmögliches passendes [mm] $N\,$
[/mm]
zu finden), aber es reicht ja per Definitionem, überhaupt eins zu finden.
"Wie gut" das sein muss, darüber steht in der Konvergenzbedingung keine
Aussage!
Mir kommt nur die Wahl Deines [mm] $N_\varepsilon$ [/mm] ein wenig "extrem" vor -
es kann aber sein, dass man es durchaus nicht "viel einfacher" wählen
kann. Aber das sind ja mehr "Schönheitsmakel", wenn dem so ist oder
wenn dem so wäre - die man sich aber dennoch bewußt machen sollte!
(Edit/Nachtrag: Nach getaner Beweiskorrektur muss ich aber sagen, dass es wohl, wenn man
es 'noch so abändert, dass es passend bleibt und aber in [mm] $\IN$ [/mm] liegt',
wohl doch schon "gut" von Dir gewählt worden ist!)
> Hallo, ich dachte, ich poste nochmal meine fertige
> Lösung:
>
> Seien [mm]n,k\in\IN[/mm] , [mm]q\in\IQ\cap(+1;-1)[/mm] . Es gilt
> [mm]\lim_{n\to\infty}n^k*q^n=0[/mm] genau dann, wenn gilt: Zu jedem
> [mm]\varepsilon>0[/mm] existiert ein [mm]N_\varepsilon\in\IN[/mm] mit
> [mm]|n^k*q^n-0|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n>N_\varepsilon[/mm] . Sei
> [mm]|q|=\frac{1}{1+a}<1[/mm]
siehe Mitteilung!
> und außerdem
> [mm]N=\frac{2^{k+1}*(k+1)!}{a^{k+1}*\varepsilon}.[/mm]
Rein formal geht das so nicht. [mm] $N\,$ [/mm] ist als Index eine natürliche Zahl,
dass da oben wird i.a. keine sein. Entweder sagst Du, dass [mm] $N\,$ [/mm] die
kleinste (oder halt eine!) natürliche Zahl
[mm] $\ge \frac{2^{k+1}*(k+1)!}{a^{k+1}*\varepsilon}$ [/mm] sein soll, oder Du
arbeitest mit der Gaußklammer und bastelst damit passendes (es gibt ja
unendlich viele passende [mm] $N\,$'s, [/mm] wenn Du nur eins gefunden hast). Das
ist jetzt nicht entscheidend, aber Du musst Dir dessen dennoch bewußt
sein. Es könnte nämlich sein, dass jemand kritisiert:
Was soll denn [mm] $a_{20012*\pi/4}$ [/mm] sein?
> Wählt man
> nun [mm]n>N_\varepsilon\:=max(N,2k)\ge{k+1}[/mm]
> , erhält man:
> [mm]|n^k*q^n-0|[/mm]
> [mm]=n^k*|q^n|[/mm]
> [mm]=\red{n^k*\frac{1}{1+a}^n}[/mm]
Schreibweise: [mm] $=n^k*\left(\frac{1}{1+a}\right)^n$
[/mm]
oder
[mm] $$=n^k*\frac{1}{(1+a)^n}$$
[/mm]
> [mm]=\frac{n^k}{\summe_{\nu=0}^{n}{n\choose \red{k}}1^{n-\nu}a^\nu}[/mm]
Da sollte ${n [mm] \choose \red{\nu}}$ [/mm] stehen!
>
> [mm]\le\frac{n^k}{\summe_{\nu=0}^{k+1}a^\nu}[/mm]
Da würde ich wenigstens eine minimalen Hinweis geben, wieso das gilt:
Man beachte $n [mm] \ge [/mm] k+1$ (und, dass alle Summanden des Nenners [mm] $\ge [/mm] 0$ sind)... außerdem hast die die Binomialkoeff. im Nenner vergessen,
im Nenner sollte [mm] $\sum_{\nu=0}^{k+1} \red{{n \choose \blue{\nu}}}a^\nu$ [/mm] stehen!
> [mm]<\frac{n^k}{{n\choose k+1}a^{k+1}}[/mm]
> [mm]=\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{(n-(k+1))!}{n!}[/mm]
>
> [mm]=\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{\produkt_{\nu=1}^{n-(k+1)}\nu}{\produkt_{\nu=1}^{n}\nu}[/mm]
Soweit ist das nun richtig (wenn ich nicht's übersehe!)
> [mm]=\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{\produkt_{\nu=0}^{k}(n-\nu)}[/mm]
Hier hast Du nun Faktoren gelürzt, ich hoffe mal, dass das so stimmt. Das
kann man aber schnell nachrechnen, ich bin nur gerade zu faul. Also
glaube ich Dir das mal!
> [mm]<\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{\produkt_{\nu=0}^{k}(n-k)}[/mm]
Das sollte dann auch stimmen, man sollte aber begründen, warum im
Nenner kein Faktor [mm] $=0\,$ [/mm] wird ($n-k [mm] \ge [/mm] 1$).
> [mm]\le\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{\produkt_{\nu=0}^{k}\frac{n}{2}}[/mm]
Hier kommt $n [mm] \ge [/mm] 2k$ bzw. $n/2 [mm] \ge [/mm] k$ ins Spiel!
> [mm]=\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{\produkt_{\nu=1}^{k+1}\frac{n}{2}}[/mm]
> [mm]=\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}(\frac{n}{2})^{k+1}}[/mm]
> [mm]=\frac{2^{k+1}(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{n}[/mm]
>
> [mm]<\frac{2^{k+1}(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{a^{k+1}\varepsilon}{2^{k+1}(k+1)!}[/mm]
> [mm]=\varepsilon[/mm]
>
> Nach Definition gilt also: [mm]\lim_{n\to\infty}n^k*q^n=0[/mm] .
>
> So müsste es doch stimmen, oder?
Bis auf ein paar Kleinigkeiten, aber das scheinen mir im Wesentlichen
einfach nur Vertipper gewesen zu sein, sollte das so passen. Aber jetzt mal
zusammenfassend:
Ohne, dass Du von Beginn an ein [mm] $N_\varepsilon$ [/mm] bestimmst, kannst Du
doch, indem Du von vorneherein ohne Einschränkung etwa
direkt $N [mm] \ge [/mm] 2k+1$ (und wie gesagt: $N [mm] \in \IN$!) [/mm] annimmst, das obige
alles hinschreiben bis zu folgendem Punkt
[mm] $$|q^n*n^k| \le [/mm] ... [mm] \le \frac{2^{k+1}(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{n}\,.$$
[/mm]
Ich übersehe doch nichts, oder? Mehr als diese Annahme braucht man bis
dahin eigentlich nicht!
Was siehst Du nun? Nunja, setze mal
[mm] $$C:=\frac{2^{k+1}(k+1)!}{a^{k+1}}\,,$$
[/mm]
dann ist sicher $C > [mm] 0\,.$ [/mm] Es ist [mm] $C\,$ [/mm] UNABHÄNGIG von [mm] $n\,$ [/mm] (Gott sei
Dank!) und es ist zwar [mm] $C=C(k)\,,$ [/mm] also [mm] $C\,$ [/mm] hängt von [mm] $k\,$ [/mm] ab, aber
[mm] $k\,$ [/mm] wird als Parameter behandelt: Also zwar beliebig in [mm] $\IN\,,$ [/mm] aber
wenn er einmal gewählt wurde, bleibt er dann konstant (er hängt auch
NICHT von [mm] $n\,$ [/mm] ab!)
Dann steht oben also
[mm] $$|q^n*n^k| \le C*1/n\,,$$
[/mm]
mit einer Konstanten $C=C(k) > [mm] 0\,.$
[/mm]
Und damit wird das ganze viel übersichtlicher. Würdest Du das
Einschließkriterium kennen (der wenigstens benutzen wollen), hättest
Du das eh so gemacht, wie ich es angedeutet habe. Denn Du weißt,
dass [mm] $(1/n)_n$ [/mm] eine Nullfolge ist. Damit ist auch für jede Zahl $r [mm] \in \IR$
[/mm]
folglich [mm] $(r*(1/n))_n$ [/mm] eine Nullfolge.
Allgemein ist das folgendes leicht zu beweisendes Resultat:
Ist [mm] $(z_n)_n$ [/mm] eine Nullfolge in [mm] $\IC\,,$ [/mm] so ist für jedes $k [mm] \in \IC$ [/mm] auch
[mm] $(k*z_n)_n$ [/mm] eine Nullfolge. Beweise das mal mit dem [mm] $\epsilon$-
[/mm]
[mm] $N_\epsilon$-Kriterium, [/mm] also "direkt per Definitionem"!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Di 11.09.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo
> Hallo Axiom,
>
> puh, das ist echt anstrengend. Also mal vorbemerkt:
> Bei Abschätzungen konzentriert man sich immer auf's
> Wesentliche, d.h. wenn
> man "mit gröberem genauso gut zurechtkommt", kann man
> manches
> einfacher und übersichtlicher aufschreiben.
>
> Beispiel: Dass die durch [mm]a_n:=1/(3n^2+2n+7)[/mm] gegebene Folge
> [mm](a_n)[/mm] gegen Null strebt,
> erkennt man einfach wegen [mm]|a_n| \le 1/n[/mm] für alle
> [mm]n \in \IN\,.[/mm] Mit dieser Abschätzung findet man zwar zu
> [mm]\epsilon > 0\,[/mm]
> ein "schlechteres" [mm]N_\epsilon[/mm] wie, wenn man
> [mm]0 \le a_n < \epsilon[/mm]
> "passend umformt" (um etwa ein kleinstmögliches passendes
> [mm]N\,[/mm]
> zu finden), aber es reicht ja per Definitionem, überhaupt
> eins zu finden.
> "Wie gut" das sein muss, darüber steht in der
> Konvergenzbedingung keine
> Aussage!
>
> Mir kommt nur die Wahl Deines [mm]N_\varepsilon[/mm] ein wenig
> "extrem" vor -
> es kann aber sein, dass man es durchaus nicht "viel
> einfacher" wählen
> kann. Aber das sind ja mehr "Schönheitsmakel", wenn dem
> so ist oder
> wenn dem so wäre - die man sich aber dennoch bewußt
> machen sollte!
> (Edit/Nachtrag: Nach getaner Beweiskorrektur muss ich aber
> sagen, dass es wohl, wenn man
> es 'noch so abändert, dass es passend bleibt und aber in
> [mm]\IN[/mm] liegt',
> wohl doch schon "gut" von Dir gewählt worden ist!)
>
> > Hallo, ich dachte, ich poste nochmal meine fertige
> > Lösung:
> >
> > Seien [mm]n,k\in\IN[/mm] , [mm]q\in\IQ\cap(+1;-1)[/mm] . Es gilt
> > [mm]\lim_{n\to\infty}n^k*q^n=0[/mm] genau dann, wenn gilt: Zu jedem
> > [mm]\varepsilon>0[/mm] existiert ein [mm]N_\varepsilon\in\IN[/mm] mit
> > [mm]|n^k*q^n-0|<\varepsilon[/mm] für alle [mm]n>N_\varepsilon[/mm] . Sei
> > [mm]|q|=\frac{1}{1+a}<1[/mm]
>
>
> siehe Mitteilung!
>
> > und außerdem
> > [mm]N=\frac{2^{k+1}*(k+1)!}{a^{k+1}*\varepsilon}.[/mm]
>
> Rein formal geht das so nicht. [mm]N\,[/mm] ist als Index eine
> natürliche Zahl,
> dass da oben wird i.a. keine sein. Entweder sagst Du, dass
> [mm]N\,[/mm] die
> kleinste (oder halt eine!) natürliche Zahl
> [mm]\ge \frac{2^{k+1}*(k+1)!}{a^{k+1}*\varepsilon}[/mm] sein soll,
> oder Du
> arbeitest mit der Gaußklammer und bastelst damit
> passendes (es gibt ja
> unendlich viele passende [mm]N\,[/mm]'s, wenn Du nur eins gefunden
> hast). Das
> ist jetzt nicht entscheidend, aber Du musst Dir dessen
> dennoch bewußt
> sein. Es könnte nämlich sein, dass jemand kritisiert:
> Was soll denn [mm]a_{20012*\pi/4}[/mm] sein?
>
> > Wählt man
> > nun [mm]n>N_\varepsilon\:=max(N,2k)\ge{k+1}[/mm]
> > , erhält man:
> > [mm]|n^k*q^n-0|[/mm]
> > [mm]=n^k*|q^n|[/mm]
> > [mm]=\red{n^k*\frac{1}{1+a}^n}[/mm]
>
> Schreibweise: [mm]=n^k*\left(\frac{1}{1+a}\right)^n[/mm]
> oder
> [mm]=n^k*\frac{1}{(1+a)^n}[/mm]
>
> > [mm]=\frac{n^k}{\summe_{\nu=0}^{n}{n\choose \red{k}}1^{n-\nu}a^\nu}[/mm]
>
> Da sollte [mm]{n \choose \red{\nu}}[/mm] stehen!
>
>
> >
> > [mm]\le\frac{n^k}{\summe_{\nu=0}^{k+1}a^\nu}[/mm]
>
> Da würde ich wenigstens eine minimalen Hinweis geben,
> wieso das gilt:
> Man beachte [mm]n \ge k+1[/mm] (und, dass alle Summanden des
> Nenners [mm]\ge 0[/mm] sind)... außerdem hast die die
> Binomialkoeff. im Nenner vergessen,
> im Nenner sollte [mm]\sum_{\nu=0}^{k+1} \red{{n \choose \blue{\nu}}}a^\nu[/mm]
> stehen!
>
> > [mm]<\frac{n^k}{{n\choose k+1}a^{k+1}}[/mm]
>
> > [mm]=\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{(n-(k+1))!}{n!}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{\produkt_{\nu=1}^{n-(k+1)}\nu}{\produkt_{\nu=1}^{n}\nu}[/mm]
>
> Soweit ist das nun richtig (wenn ich nicht's übersehe!)
>
> >
> [mm]=\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{\produkt_{\nu=0}^{k}(n-\nu)}[/mm]
>
> Hier hast Du nun Faktoren gelürzt, ich hoffe mal, dass das
> so stimmt. Das
> kann man aber schnell nachrechnen, ich bin nur gerade zu
> faul. Also
> glaube ich Dir das mal!
>
> >
> [mm]<\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{\produkt_{\nu=0}^{k}(n-k)}[/mm]
>
> Das sollte dann auch stimmen, man sollte aber begründen,
> warum im
> Nenner kein Faktor [mm]=0\,[/mm] wird ([mm]n-k \ge 1[/mm]).
>
> >
> [mm]\le\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{\produkt_{\nu=0}^{k}\frac{n}{2}}[/mm]
>
> Hier kommt [mm]n \ge 2k[/mm] bzw. [mm]n/2 \ge k[/mm] ins Spiel!
>
> >
> [mm]=\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{\produkt_{\nu=1}^{k+1}\frac{n}{2}}[/mm]
> > [mm]=\frac{n^k(k+1)!}{a^{k+1}(\frac{n}{2})^{k+1}}[/mm]
> > [mm]=\frac{2^{k+1}(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{n}[/mm]
> >
> >
> [mm]<\frac{2^{k+1}(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{a^{k+1}\varepsilon}{2^{k+1}(k+1)!}[/mm]
> > [mm]=\varepsilon[/mm]
> >
> > Nach Definition gilt also: [mm]\lim_{n\to\infty}n^k*q^n=0[/mm] .
> >
> > So müsste es doch stimmen, oder?
>
> Bis auf ein paar Kleinigkeiten, aber das scheinen mir im
> Wesentlichen
> einfach nur Vertipper gewesen zu sein, sollte das so
> passen. Aber jetzt mal
> zusammenfassend:
> Ohne, dass Du von Beginn an ein [mm]N_\varepsilon[/mm] bestimmst,
> kannst Du
> doch, indem Du von vorneherein ohne Einschränkung etwa
> direkt [mm]N \ge 2k+1[/mm] (und wie gesagt: [mm]N \in \IN[/mm]!) annimmst,
> das obige
> alles hinschreiben bis zu folgendem Punkt
> [mm]|q^n*n^k| \le ... \le \frac{2^{k+1}(k+1)!}{a^{k+1}}\frac{1}{n}\,.[/mm]
Ja, die groben Fehler waren Vertipper, ich habe ja auch richtig weitergerechnet.
Die Sache mit der Bezeichnung von N ist zut Konntnis genommen.
> Ich übersehe doch nichts, oder? Mehr als diese Annahme
> braucht man bis
> dahin eigentlich nicht!
>
> Was siehst Du nun? Nunja, setze mal
> [mm]C:=\frac{2^{k+1}(k+1)!}{a^{k+1}}\,,[/mm]
> dann ist sicher [mm]C > 0\,.[/mm] Es ist [mm]C\,[/mm] UNABHÄNGIG von [mm]n\,[/mm]
Allein darum geht es doch bei solchen Umformungen, oder? Einen Term zu finden, der fest ist, da ich den abschätzen kann.
> (Gott sei
> Dank!) und es ist zwar [mm]C=C(k)\,,[/mm] also [mm]C\,[/mm] hängt von [mm]k\,[/mm]
> ab, aber
> [mm]k\,[/mm] wird als Parameter behandelt: Also zwar beliebig in
> [mm]\IN\,,[/mm] aber
> wenn er einmal gewählt wurde, bleibt er dann konstant (er
> hängt auch
> NICHT von [mm]n\,[/mm] ab!)
>
> Dann steht oben also
> [mm]|q^n*n^k| \le C*1/n\,,[/mm]
> mit einer Konstanten [mm]C=C(k) > 0\,.[/mm]
>
> Und damit wird das ganze viel übersichtlicher.
Ja, den guten mathematischen Ton muss ich mir wohl noch aneignen :)
Würdest Du
> das
> Einschließkriterium kennen (der wenigstens benutzen
> wollen), hättest
> Du das eh so gemacht, wie ich es angedeutet habe. Denn Du
> weißt,
> dass [mm](1/n)_n[/mm] eine Nullfolge ist. Damit ist auch für jede
> Zahl [mm]r \in \IR[/mm]
> folglich [mm](r*(1/n))_n[/mm] eine Nullfolge.
>
> Allgemein ist das folgendes leicht zu beweisendes
> Resultat:
> Ist [mm](z_n)_n[/mm] eine Nullfolge in [mm]\IC\,,[/mm] so ist für jedes [mm]k \in \IC[/mm]
> auch
> [mm](k*z_n)_n[/mm] eine Nullfolge. Beweise das mal mit dem
> [mm]\epsilon[/mm]-
> [mm]N_\epsilon[/mm]-Kriterium, also "direkt per Definitionem"!
Habe ich, war nicht so schwer. Wenn du willst kann ich das nochmal posten, sonst belasse ich es dabei.
> Gruß,
> Marcel
Vielen Dank für die Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Di 11.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Allgemein ist das folgendes leicht zu beweisendes
> > Resultat:
> > Ist [mm](z_n)_n[/mm] eine Nullfolge in [mm]\IC\,,[/mm] so ist für jedes
> [mm]k \in \IC[/mm]
> > auch
> > [mm](k*z_n)_n[/mm] eine Nullfolge. Beweise das mal mit dem
> > [mm]\epsilon[/mm]-
> > [mm]N_\epsilon[/mm]-Kriterium, also "direkt per Definitionem"!
> Habe ich, war nicht so schwer. Wenn du willst kann ich das
> nochmal posten, sonst belasse ich es dabei.
ehrlich gesagt glaube ich Dir das sofort, dass Dir das gelungen ist - und
wenn Du sagst, dass es nicht schwer war, ist's meiner Meinung nach auch
richtig, ohne dass ich es gesehen habe!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Di 11.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
> > und außerdem
> > [mm]N=\frac{2^{k+1}*(k+1)!}{a^{k+1}*\varepsilon}.[/mm]
>
> Rein formal geht das so nicht. [mm]N\,[/mm] ist als Index eine
> natürliche Zahl,
> dass da oben wird i.a. keine sein. Entweder sagst Du, dass
> [mm]N\,[/mm] die
> kleinste (oder halt eine!) natürliche Zahl
> [mm]\ge \frac{2^{k+1}*(k+1)!}{a^{k+1}*\varepsilon}[/mm] sein soll,
Das geht schon. $N$ muß ja kein Index sein! Wenn man für $N$ beliebige reelle Zahlen zuläßt, wird es, wie hier, ein klein wenig leichter, ohne daß man etwas verliert. Und da ich keine Gelegenheit auslasse, Definitionen und Beweise leichter zu machen, plädiere ich, auch nicht natürliche $N$ zuzulassen.
Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Di 11.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo Marcel,
>
> > > und außerdem
> > > [mm]N=\frac{2^{k+1}*(k+1)!}{a^{k+1}*\varepsilon}.[/mm]
> >
> > Rein formal geht das so nicht. [mm]N\,[/mm] ist als Index eine
> > natürliche Zahl,
> > dass da oben wird i.a. keine sein. Entweder sagst Du,
> dass
> > [mm]N\,[/mm] die
> > kleinste (oder halt eine!) natürliche Zahl
> > [mm]\ge \frac{2^{k+1}*(k+1)!}{a^{k+1}*\varepsilon}[/mm] sein soll,
>
> Das geht schon. [mm]N[/mm] muß ja kein Index sein! Wenn man für [mm]N[/mm]
> beliebige reelle Zahlen zuläßt, wird es, wie hier, ein
> klein wenig leichter, ohne daß man etwas verliert. Und da
> ich keine Gelegenheit auslasse, Definitionen und Beweise
> leichter zu machen, plädiere ich, auch nicht natürliche [mm]N[/mm]
> zuzulassen.
es ist vollkommen klar, dass derartige Definitionen äquivalent sind.
Insbesondere denke ich eigentlich auch, dass Dir das klar sein müßte,
dass mir das klar ist. Mir geht's bloß drum "Solange man 'strikt' nach den
gegebenen Definitionen arbeitet", dass man sich dann auch "strikt" an
diese hält. Dass man sich überlegt, ob man die Definition nicht in
äquivalenter Weise "vereinfacht", das ist dann wieder etwas für ein wenig
geübtere Leute (bzw. für solche, die sich das zutrauen).
Übrigens habe ich die selbe Kritik wie Du hier schonmal bei jemand
anderem geübt (Schachuzipus oder Al Chwarizmi, glaube ich). Also ich bin
mir dessen schon bewußt. (Nebenbei: Ich würde auch bei der [mm] "$\varepsilon-\delta$-Definition [/mm] (oder besser: [mm] $\varepsilon-\delta-x_0$) [/mm] der Stetigkeit (bei Funktionen zwischen metrischen Räumen an der Stelle
[mm] $x_0$) [/mm] erstmal eine Definition etwa mit [mm] $\forall [/mm] x [mm] \text{ mit }d(x,x_0) \;\blue{\textbf{<}}\; \delta \Rightarrow e(f(x),f(x_0)) \;\red{\textbf{<}}\; \varepsilon$" [/mm] hinschreiben, und DIREKT im Anschluß dann dazuschreiben, dass man [mm] $\;\blue{\textbf{<}}$ [/mm] und auch [mm] $\;\red{\textbf{<}}$ [/mm]
(sowohl einzeln als auch gleichzeitig) durch [mm] $\le$ [/mm] ersetzen kann.
(Es gibt also alleine damit schon 4 äquivalente Definitionen!)
Wie oft machen Studierende sich nicht klar, dass das einfach nur alles 4 einander äquivalente Definitionen sind, und dann kommt bei einem Beweis "Aber
da steht nun [mm] $\le \varepsilon$ [/mm] - wir brauchen doch [mm] $<\,$".
[/mm]
Ähnlich, wie viele sich nicht klar machen, dass [mm] $|a-a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für
alle $n > [mm] N=N_\epsilon\,$ [/mm] gleichwertig ist zu [mm] $|a-a_n| [/mm] < [mm] K*\varepsilon$
[/mm]
für alle $n > [mm] N\,'$ [/mm] - wobei [mm] $\epsilon> [/mm] 0$ beliebig, $K > 0$ irgendein fester
Parameter, also von [mm] $\epsilon$ [/mm] und [mm] $n\,$ [/mm] unabhängig.
(Ich schreib' das nun nicht formal auf, ich denke, Du weißt, wie das, was ich meine, komplett ausformuliert da stehen würde!)
Dabei sind etwa Beweise mit [mm] $\varepsilon/3$-Abschätzungen [/mm] doch einfach
nur eine direkte Anwendung des Beweises, den man oben machen würde. Und man macht dies nur "aus Schönheitsgründen", damit's (mehr oder
weniger) direkt zur gegebenen Definition passt - komischerweise wird da
aber oft dann nicht wirklich Wert auf [mm] $<\,$ [/mm] oder [mm] $\le$ [/mm] gelegt!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:38 Di 11.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
nur, damit später hier nicht irgendjemand total verwirrt ist und das nochmal
liest und kommentiert, ich zitiere mal, wieso ich das kritisiert habe:
Axiom schrieb:
> Zu jedem $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ existiert ein $ [mm] \mathbf{\red{N_\varepsilon\in\IN}} [/mm] $
> mit $ [mm] |n^k\cdot{}q^n-0|<\varepsilon [/mm] $ für alle $ [mm] n>N_\varepsilon [/mm] $ .
Und daraufhin:
> Sei $ [mm] |q|=\frac{1}{1+a}<1 [/mm] $ und außerdem [mm] $\mathbf{ \red{N=\frac{2^{k+1}\cdot{}(k+1)!}{a^{k+1}\cdot{}\varepsilon}}. }$
[/mm]
Deswegen die Kritik. (Ich dachte eigentlich sgar, dass ich in obiger
Definition "für alle $n [mm] \ge N_\varepsilon$" [/mm] gelesen hätte, denn das hätte
auch besser zu der Kritik mit den Indizes gepasst! Aber war'n Verleser...)
Es geht mir hier eigentlich wirklich nur drum, "erstmal" formal penibel
sauber zu arbeiten. Das heißt etwa, wenn ich einen Beweis wie oben
mache, aber von obiger Definition abweiche, dann muss ich wenigstens
irgendwo sagen, "wieso ich das durfte".
Da fällt mir mal wieder ein: Viele Professoren "sprechen" auch falsch. Sie
führen einen Beweis und sagen oder schreiben: "Dazu müssen wir
zeigen..."
In Wahrheit ist es nicht selten, dass sie eigentlich nur hätten sagen dürfen:
"Dafür IST ES HINREICHEND, zu zeigen, dass folgendes gilt:..."
Oder sie sollten sagen: "Wir wollen/werden zeigen... Wegen blublabla folgt
dann die Behauptung...", was auch viele Dozenten so machen!
Gruß,
Marcel
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