Maße auf abelscher Gruppe Q < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 So 03.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle translationsinvarianten Maße auf der abelschen Gruppe [mm] Q [/mm] versehen mit der [mm] \sigma [/mm] - Algebra [mm] \mathcal P ( \mathbb Q [/mm] |
Guten Tag!
Dies ist eine weitere Übungsaufgabe, für die ich auch eine Lösung habe, aber leider auch ein paar Unklarheiten. Vielleicht kann mir jemand dabei helfen..
So zur Lösung:
Sei [mm] \mu : \mathcal P ( \mathbb Q ) \to \left[ 0, \infty \right] [/mm] translationsinvariantes Maß.
( * * ) Für [mm] x, y \in \mathbb Q [/mm] ist
[mm] \mu ( \{ x \} ) = \mu ( \{ (y-x) +y \} ) = \mu (\{ y \} ) [/mm]
Daraus folgt, dass es ein [mm] c \in \left[ 0, \infty \right] [/mm] gibt mit [mm] \mu ( \{ x \} ) = c [/mm] [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \mathbb [/mm] Q [/mm].
Wenn [mm] A \subset \mathbb Q [/mm] abzählbar also, und [mm] A = \dot {\bigcup_{ a \in A } } \{ a \} [/mm].
Dann folgt, aufgrund der [mm] \sigma[/mm] - Additivität des Maßes, dass
[mm] \mu (A) = \summe_{ a \in A } \mu( \{a \} ) = \summe_{ a \in A } c [/mm]
Deswegen gibt es drei Fälle:
1. [mm] c = 0 [/mm] [mm] : \Longrightarrow \mu = 0 & ( \mu (A) = 0 \forall A \in \mathbb Q ) [/mm]
2. [mm] 0 < c < \infty [/mm]
[mm] \Longrightarrow [/mm]
[mm] \mu (A) = \left\{\begin{matrix}
n \cdot c , & \# A = n < \infty \\
\infty, & \# A = \infty
\end{matrix}\right. [/mm]
3. [mm] c = \infty [/mm]
[mm]\Longrightarrow [/mm]
[mm] \mu (A) = \left\{\begin{matrix}
\infty , & A \not \emptyset \\
0, & A = \emptyset
\end{matrix}\right. [/mm]
So meine Unklarheit ist (** ) . Warum gilt
[mm] x, y \in \mathbb Q [/mm] ist
[mm] \mu ( \{ x \} ) = \mu ( \{ (y-x) +y \} ) = \mu (\{ y \} ) [/mm] ?
Es ist klar, dass das die Translationsinvarianz ist, aber ich verstehe nicht warum ich später [mm] \mu (\{ y \} ) [/mm] herausbekommen? Muss da nicht eigentlich ein x stehen?
Viele Grüße
Irmchen
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> Dies ist eine weitere Übungsaufgabe, für die ich auch eine
> Lösung habe, aber leider auch ein paar Unklarheiten.
> Vielleicht kann mir jemand dabei helfen..
>
> So zur Lösung:
>
> Sei [mm]\mu : \mathcal P ( \mathbb Q ) \to \left[ 0, \infty \right][/mm]
> translationsinvariantes Maß.
> ( * * ) Für [mm]x, y \in \mathbb Q[/mm] ist
> [mm]\mu ( \{ x \} ) = \mu ( \{ (y-x) +y \} ) = \mu (\{ y \} )[/mm]
>
Hi!
Also du benutzt hier nur, dass: [mm]x,y \in \IQ [/mm] und du die translationsinvarianten Maße auf ganz [mm] \IQ [/mm] bestimmen sollst.
Für ein solches Maß und die Menge {x} gilt dann natürlich :
[mm]\mu ( \{ x \} ) = \mu ( \{ (y-x)+y \} ) = \mu (\{ y +(y-x) \} )[/mm]
Das Maß soll aber auf ganz [mm]\IQ [/mm] translationsinvariant sein, also auch für die Menge {y}. Na und [mm] (y-x)+y [/mm] ist eben auch eine Translation von y.
Ich hoffe, jetzt ist der Rest klar!
Gruß Deuterinomium
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:31 Mo 04.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Ja, jetzt ist alles klar  !
Danke!
Viele Grüße
Irmchen
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