ON-Basis symmetrischer Matrize < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Sa 29.04.2006 | | Autor: | schilli |
Hallo Leute.
Häne in Lin. Algebra II zur Zeit etwas hinterher, für euch ist das sicherlich eine Kindergarten-Aufgabe. Wäre nett, wenn mir jemand den Lösungsweg aufzeigen würde.
Und zwar muss ich die Orthonormalbasis einer symmetrischen 4,4-Matrix berechnen. (Konkrete Matrix: 1.Spalte: 2 1 0 0, 2.Spalte: 1 2 1 0, 3.Spalte: 0 1 2 1, 4.Spalte: 0 0 1 2 .
Danke
Matthias
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Sa 29.04.2006 | | Autor: | Infinit |
Hallo Matthias,
das Ganze ist leider keine Kindergartenaufgabe und man muss schon etwas Grips reinstecken. Schau doch mal nach, ob Du in Deinem Skript etwas zu einem Schmidtschen Orthonomalisierungsverfahren findest, dies ist die gängige Methode, um sich aus einem Vektorraum eine ON-Basis zu erzeugen. Die Idee dabei ist, einen der gegebenen Vektoren als eine Komponente der Orthonormalbasis zu nehmen, und mit Hilfe des Skalarproduktes sich die restlichen Komponenten zu bestimmen.
Ist $$ [mm] \{ a_1, a_2, ..., a_n\} [/mm] $$ eine Basis des Vektorraums, so erzeugt man hieraus ein Orthogonalsystem [mm] $$\{b_1, b_2, ..., b_n\} [/mm] $$ mit
$$ [mm] b_1 [/mm] = [mm] a_1 [/mm] $$ und $$ [mm] b_k [/mm] = [mm] a_k [/mm] - [mm] \sum_{i=1}^{k-1} \bruch{(a_k, b_i)}{(b_i, b_i)} \cdot b_i [/mm] $$
für k = 2,...,n. Hierbei bezeichnet $$ [mm] (a_k, b_i) [/mm] $$ das Skalarprodukt zwischen den Vektoren [mm] $a_k$ [/mm] und [mm] $b_i$.
[/mm]
Danach muss man nur noch die entstandenen Vektoren normieren und hat die Orthonormalbasis.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
