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| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^n \to \IR [/mm] eine Funktion, die zweimal stetig differenzierbar ist.
Definiere [mm] \phi [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] durch [mm] \phi(t):=f(x_{0}+t*\mu).
[/mm]
Dabei ist [mm] x_{0} \in \IR^n [/mm] und [mm] \mu \in \IR^n [/mm] beliebig aber fest gewählt. t [mm] \in [/mm] (0,1) offen!
Es gilt:
[mm] \phi'(t)= \summe_{i=1}^{n} (D_i f(x_{0}+t*\mu)) \mu_i
[/mm]
[mm] \phi''(t)=\summe_{i=1}^{n} [/mm] d/dt [mm] (D_i f(x_{0}+t*\mu)) \mu_i
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n} D_j D_i f(x_{0}+t*\mu)\mu_j \mu_i
[/mm]
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Hi.
Bei dieser Herleitung verstehe ich irgendwie das letzte Gleichheitszeichen bei [mm] \phi''(x) [/mm] nicht...
Warum ist ...d/dt... gerade gleich [mm] D_j [/mm] ?
Anschaulich wird die Funktion ja auf eine gerade in Richtung [mm] \mu [/mm] zwischen x_ und [mm] \mu [/mm] eingeschränkt.
Noch eine unabhängige Frage: Warum ist die Funktion dann auf dieser Geraden überhaupt differenzierbar?
Und noch eine Frage: Wenn ich f auf eine Teilmenge T offen des [mm] \IR^n [/mm] einschränken würde. Wäre dann [mm] x_0+t\mu [/mm] auch noch in [mm] \IR^n [/mm] bzw. könnte ich zumindest so ein [mm] \mu [/mm] finden?
Gruß
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ich würde sagen,dass das 2. gleichheitszeichen davon kommt ,dass du nach kettenregel alles ,also auch die Di als edukte nochmal nach kettenregel ableiten musst
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Ich verstehe nicht genau was du meinst.
Kannst du mal bitte genau die Rechenschritte aufschreiben.
Vielen Dank!!
Vorallem interessiert mich wie plötzlich das j reinkommt.
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Hallo dre1ecksungleichung,
> Ich verstehe nicht genau was du meinst.
> Kannst du mal bitte genau die Rechenschritte aufschreiben.
> Vielen Dank!!
> Vorallem interessiert mich wie plötzlich das j reinkommt.
>
Nun, es ist
[mm]\phi''\left(t\right)=\bruch{d}{dt}\phi'\left(t\right)=\bruch{d}{dt} \left( \ \summe_{i=1}^{n} D_i f(x_{0}+t\cdot{}\mu) \mu_i \ \right)[/mm]
[mm]=\summe_{i=1}^{n}\bruch{d}{dt} ¸\left( \ D_i f(x_{0}+t\cdot{}\mu) \mu_i \ \right)[/mm]
[mm]=\summe_{i=1}^{n}\bruch{d}{dt} ¸\left( \ D_i f(x_{0}+t\cdot{}\mu) \ \right) * \mu_{i}[/mm]
[mm]=\summe_{i=1}^{n}\left( \summe_{j=1}^{n}\ D_{j} \left( \ D_i f(x_{0}+t\cdot{}\mu)\right)*\mu_{j}\ \ \right) *\mu_{i}[/mm]
[mm]=\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}\ D_{j} \ D_i f(x_{0}+t\cdot{}\mu)*\mu_{j}\ *\mu_{i}[/mm]
Gruß
MathePower
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Nun, es ist
[mm]\phi''\left(t\right)=\bruch{d}{dt}\phi'\left(t\right)=\bruch{d}{dt} \left( \ \summe_{i=1}^{n} D_i f(x_{0}+t\cdot{}\mu) \mu_i \ \right)[/mm]
[mm]=\summe_{i=1}^{n}\bruch{d}{dt} ¸\left( \ D_i f(x_{0}+t\cdot{}\mu) \mu_i \ \right)[/mm]
[mm]=\summe_{i=1}^{n}\bruch{d}{dt} ¸\left( \ D_i f(x_{0}+t\cdot{}\mu) \ \right) * \mu_{i}[/mm]
Hier verstehe ich nicht warum plötzlich durch das ableiten nach t dieses [mm] D_j [/mm] mit reinkommt....
und wie wird hier die kettenregel erwendet und warum ist i und j verschieden?
[mm]=\summe_{i=1}^{n}\left( \summe_{j=1}^{n}\ D_{j} \left( \ D_i f(x_{0}+t\cdot{}\mu)\right)*\mu_{j}\ \ \right) *\mu_{i}[/mm]
[mm]=\summe_{i=1}^{n} \summe_{j=1}^{n}\ D_{j} \ D_i f(x_{0}+t\cdot{}\mu)*\mu_{j}\ *\mu_{i}[/mm]
Okay ich habe es jetzt einmal nachgerechnet.
In unserem Fall ist dann [mm] D_i [/mm] f die äußere Funktion
und [mm] (x_0+t\mu) [/mm] die innere Funktion.
Doch inwieweit ist [mm] x_0+t\mu [/mm] überhaupt eine Funktion...eigentlich ist doch das eher sowas wie das argument...ich bin irgendwie durcheinander...könnt ihr mir helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Mo 18.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei jeder zusammengestzten fkt f(g(x)) kannst du doch g(x) "Argument" nennen. wie das g(x) aussieht ist doch egal.
schreibs einfach mal fuer [mm] /IR^2 [/mm] auf, dann wirds dir vielleicht klarer. [mm] xi=x_{i0}+r*t [/mm] ist doch ne Funktion? sogat [mm] x_i=x+i [/mm] ist eine .
Gruss leduart
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