Probleme mit Faltung in W'keit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe gerade ein Beispiel mit zwei unabhängigen diskreten Zufallsvariablen (X und Y) gerechnet. Ich habe die Wahrscheinlichkeitsfunktion des Zufallsvektors (X,Y) und die Wahrscheinlichkeitsfunktion Z=X+Y berechnet. Z sieht (allgemein) bei mir dann so aus:
[mm] X=i,i\in [/mm] (1,2,3)
[mm] Y=j,j\in [/mm] (0,2,4)
[mm] P(Y=0)=\bruch{1}{8}, P(Y=2)=\bruch{1}{2}, P(Y=4)=\bruch{3}{8}
[/mm]
[mm] P(X=1)=\bruch{1}{4}, P(X=2)=\bruch{1}{4}, P(X=3)=\bruch{1}{2}
[/mm]
Z=X+Y
[mm] P_{Z}(Z=k)=\summe_{i=0}^{k}P(X=i)*P(Y=k-i) [/mm]
[mm] P_{Z}(3 \le Z\le 5)=\summe_{i=3}^{5}P(X=i)*P(Y=5-i)=P(X=3)*P(Y=2)+P(X=4)*P(Y=1)+P(X=5)*P(Y=0)=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}+0*0+0*\bruch{1}{8}=\bruch{1}{4}
[/mm]
Nun muss ich noch den Erwartungswert von Z berechnen. Leider weiß ich da nicht mehr "genau" weiter. Was ich aber weiß, ist
[mm] G_{Z}(s)=G_{X}(s)*G_{Y}(s)
[/mm]
Heißt das nun:
[mm] P_{Z}(Z=k)=\summe_{i=0}^{k}i*(k-i)*P(X=i)*P(Y=k-i) [/mm]
Ich weiß nicht, ob
i*(k-i)
nun die Erzeugendefunktion [mm] G_{Z}(s) [/mm] ist.
Ich hoffe, dass mir da jemand helfen kann.
Wenn dies so passt, wie muss ich dann die Indizes wählen?
Gruß, h.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Di 08.04.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo Hannes,
>
> Nun muss ich noch den Erwartungswert von Z berechnen.
> Leider weiß ich da nicht mehr "genau" weiter. Was ich aber
> weiß, ist
>
>
Offenbar kann Z die Werte aus [mm] $\mathcal{M}=\{0, 2, 4, 8, 6, 12\}$ [/mm] annehmen. Berechne
doch mit deiner Methode die Wahrscheinlichkeiten $P(Z=z)$ fuer [mm] $z\in\mathcal{M}$.
[/mm]
Dann ist
[mm] $\operatorname{E}[Z]=\sum_{z\in\mathcal{M}}zP(Z=z)$.
[/mm]
vg Luis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Do 14.08.2008 | | Autor: | kaleu74 |
Hallo,
da ich gerade selbst an mit einem Problem bzgl. stetiger Faltung zu kämpfen habe, bin ich auf diesen Artikel gestossen. Meiner Ansicht ist Deine Berechnung falsch.
Denn:
[mm]Z \in \{1,2,3,4,5,6,7\}=:I[/mm]
[mm]P(Z=k)=\sum_{x+y=k} P(X=x)P(Y=k-x)[/mm]
[mm]\Rightarrow P(3\le Z \le5)=P(X=1)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=4)+P(X=3)P(Y=2)=19/32[/mm]
[mm]Erwartungswert: EZ=\sum_{k \in I} kP(Z=k)[/mm]
So, das müßte stimmen.
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Naja - warum einfach, wenn's auch umständlich geht? ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Du hast 2 unabhängige ZV und sollst den Erwartungswert der Summe berechnen. Der ist aber in diesem Fall genau gleich der Summe der Erwartungswerte. [mm]E(Y)=2,5 [/mm], [mm]E(X)=2,25 [/mm] also [mm]E(Z)=4,75 [/mm].
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 So 17.08.2008 | | Autor: | kaleu74 |
Das ist richtig, man sollte nur die Unabhängigkeit und Linearität des EW ausnutzen, also: [mm]EZ=EX+EY[/mm]
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