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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Sa 10.11.2007 | | Autor: | kasia |
| Aufgabe | Seien Maschinenzahlen a1,...,an gegeben und sei [mm] f(a1,...,an)=\summe_{i=1}^{n}ai [/mm] zu berchnen. Der Computer habe die Maschinengenauigkeit eps. Nach jedem Zwischenergebnis muss gerundet werden, sodass die tatsächliche Implementierung mit
f(a1,...,an)=(...((a1+a2)+a3)+...)+an
gegeben ist.
(a) Zeigen Sie, dass f rückwärtsstabil ist, d.h. betrachten Sie
f [mm] (a1,...,an)=f(a1(1+\delta1),...,an(1+\delta [/mm] n))
und zeigen Sie, dass diese relativen Eingabefehler
[mm] \delta [/mm] i sich wie [mm] |\delta [/mm] i|< Ceps mit einer von ai unabhängigen Konstante C abschätzen lassen.
(b) Rechnen Sie nach, dass f vorwärts stabil ist, d.h. zeigen Sie, dass
| f(a1,...,an)-f(a1,...,an)/f(a1,...,an)| < C(a1,...,an)eps mit einem geeigneten Koeffizienten C gilt.
(c) Zeigen Sie, dass für den absoluten Fehler zwischen f und f gilt:
| f(a1,...,an) - f(a1,...,an)| [mm] \le [/mm] eps [mm] \summe_{i=1}^{n}|n-i+1| [/mm] |ai|
(d) In welcher Reihenfolge sollte summiert werden, um den fehler zu minimieren?
Kleine Terme der Größenordnung eps², eps³,... sollen vernachlässigt werden. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo!!!
erstmal zu (a)
Ich habe leider keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe lösen soll!
Ich weiß nur, dass ich aufjedenfall eine vollständige Induktion durchführen muss, aber ich weiß nicht was mit der "Betrachtung" des oben
angegebenen Terms gemeint ist...
Ich habe noch nie eine vollständige Rückwärtsanalyse durchgeführt und hoffe, dass mir jemand helfen kann!
Vielleicht schaffe ich dann auch die restlichen Aufgabenteile allein!
Danke schon im Voraus!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Sa 10.11.2007 | | Autor: | kasia |
Ich habe diese Frage NICHT in anderen Foren gestellt! - Habe oben die falsche aussage kopiert...
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Hallo kasia,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo!!!
> erstmal zu (a)
> Ich habe leider keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe lösen
> soll!
> Ich weiß nur, dass ich aufjedenfall eine vollständige
> Induktion durchführen muss, aber ich weiß nicht was mit der
> "Betrachtung" des oben
> angegebenen Terms gemeint ist...
Betrachtung heißt einfach schauen wie diese Funktion [mm]f(a1(1+\delta1),...,an(1+\delta n))[/mm] in deinem Beispiel aussieht. Vollständige Induktion klingt ja gut. D.h. schau Dir erstmal [mm] f(a1(1+\delta1),a2(1+\delta2)) [/mm] an und f(a1,a2)
1. Wie kann man den Fehler einer Addition beschreiben?
2. Kannst Du das entsprechend umformen das man diesen als Fehler in den Eingangsdaten schreiben kann, also als [mm] f(a1(1+\delta1),a2(1+\delta2))=a1(1+\delta1)+a2(1+\delta2)
[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Sa 10.11.2007 | | Autor: | kasia |
Ersteinmal VIELEN DANK für die schnelle Antwort!
> Hallo kasia,
>
DANKE!
> Betrachtung heißt einfach schauen wie diese Funktion
> [mm]f(a1(1+\delta1),...,an(1+\delta n))[/mm] in deinem Beispiel
> aussieht. Vollständige Induktion klingt ja gut. D.h. schau
> Dir erstmal [mm]f(a1(1+\delta1),a2(1+\delta2))[/mm] an und f(a1,a2)
heißt das, ich soll einmal die oben angegebene summe und dann f betrachten? wenn ja, dann erhalte ich doch, dass [mm]f(a1(1+\delta1),a2(1+\delta2))[/mm] = f(a1,a2)
> 1. Wie kann man den Fehler einer Addition beschreiben?
was genau meinst Du damit? willst du darauf hinaus, dass für den ralativen fehler bei der addition die aussage gilt
[mm] ((x+\Delta [/mm] x) + [mm] (y+\Delta [/mm] y) - (x+y))/(x+y) = [mm] x/(x+y)*\Delta [/mm] x/x + [mm] y/(x+y)*\Delta [/mm] y/y
noch einmal Danke für deine Tipps!
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Hallo kasia,
> Ersteinmal VIELEN DANK für die schnelle Antwort!
>
> > Hallo kasia,
> >
>
> DANKE!
>
> > Betrachtung heißt einfach schauen wie diese Funktion
> > [mm]f(a1(1+\delta1),...,an(1+\delta n))[/mm] in deinem Beispiel
> > aussieht. Vollständige Induktion klingt ja gut. D.h. schau
> > Dir erstmal [mm]f(a1(1+\delta1),a2(1+\delta2))[/mm] an und f(a1,a2)
>
> heißt das, ich soll einmal die oben angegebene summe und
> dann f betrachten? wenn ja, dann erhalte ich doch, dass
> [mm]f(a1(1+\delta1),a2(1+\delta2))[/mm] = f(a1,a2)
>
> > 1. Wie kann man den Fehler einer Addition beschreiben?
>
> was genau meinst Du damit? willst du darauf hinaus, dass
> für den ralativen fehler bei der addition die aussage gilt
> [mm]((x+\Delta[/mm] x) + [mm](y+\Delta[/mm] y) - (x+y))/(x+y) =
> [mm]x/(x+y)*\Delta[/mm] x/x + [mm]y/(x+y)*\Delta[/mm] y/y
Diese Gleichung beschreibt was mit dem Fehler bei gestörten Eingangsdaten passiert. Also der Fehler, der entsteht weil man Zahlen in Gleitkommarechnung nicht exakt darstellen kann. In deiner Aufgabe soll es aber nur um den Fehler der Rechnung gehen.
Bei Gleitkommarechnung kann man davon ausgehen, dass die Addition, Multiplikation und Division so funktioniert als würde man "richtig" rechnen und danach runden, also
[mm]x\oplus y=(x+y) \cdot (1+\delta)[/mm]
Wobei [mm] \delta [/mm] kleiner als die Maschinengenauigkeit [mm] \epsilon [/mm] ist.
Kommst Du damit weiter?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Sa 10.11.2007 | | Autor: | kasia |
danke für Deine erklärung - versuch jetzt noch einmal die aufgabenstellung nachzuvollziehen und Deine tipps anzuwenden - vielleicht klappt's ja 
werde wohl mein wochenende mit stabilitätsanalysen verbringen...
vg!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 So 11.11.2007 | | Autor: | kasia |
neuer tag - neues glück!
also...
wenn man den fehler der addition als [mm] (a1+a2)(1+\delta [/mm] ) interpretiert, dann lässt sich der term doch auch schreiben als [mm] a1(1+\delta [/mm] ) + a2 [mm] (1+\delta [/mm] ), was doch dann [mm] f(a1(1+\delta ),a2(1+\delta [/mm] ) entspricht, oder?
wenn dann doch [mm] \delta \le [/mm] eps ist, dann müsste die konstante C=1 sein.
falls, das so richtig sein sollte, wär man dann schon (mit teil (a)) fertig?
und kann man dann mithilfe des ergebnisses aus a auch die b berechnen?
SORRY, dass ich so viele fragen hab, aber ich blick bei der aufgabe überhaupt nicht durch :(
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Hallo kasia,
> wenn man den fehler der addition als [mm](a1+a2)(1+\delta[/mm] )
> interpretiert, dann lässt sich der term doch auch schreiben
> als [mm]a1(1+\delta[/mm] ) + a2 [mm](1+\delta[/mm] ), was doch dann
> [mm]f(a1(1+\delta ),a2(1+\delta[/mm] ) entspricht, oder?
Das wäre jetzt der Induktionsanfang und wenn Du dem Ganzen noch ein oder zwei Additionen hinzufügst siehst Du bestimmt auch wie das C für's ganze f aussehen wird.
viele Grüße
mathemaduenn
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