Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 So 16.01.2005 | | Autor: | moebak |
ich habe hier was interessantes aus dem Forum rauskopiert, was mich sehr interessiert. Allerdings hat der Verfasser (meiner Meinung) keine richtige Antwort darauf erhalten.
Es geht um:
Hallo!
Ich hab hier eine Aufgabe, bei der ich überhaupt keine Ahnung hab, wie ich sie lösen soll:
Für die Funktion f: -> gelte f(0)=1 und f(x+y) f(x)f(y) für alle x,y
Zeigen Sie:
Wenn f stetig an der Stelle 0 ist, dann ist f stetig auf ganz [mm] \IR
[/mm]
mfg
SBDevil
Die Antwort würde mich auch interessieren..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 So 16.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Malika!
Wir wollen die Funktion am Punkt [mm] $x_0\in \IR$ [/mm] auf ihre Stetigkeit prüfen. Sei dazu [mm] $\epsilon\in \IR^{+}$. [/mm] Dann gibt es auf Grund der Stetigkeit der Funktion an der Stelle 0 ein [mm] $\delta\in \IR$, [/mm] sodass für alle [mm] $x_1\in [-\delta,\delta]$ [/mm] die Ungleichung [mm] $|f(x_1)-1|<\frac{\epsilon}{|f(x_0)|}$ [/mm] erfüllt ist. Stellen wir diese Ungleichung um, so erhalten wir nach Anwenden von [mm] $f(x+y)=f(x)\cdot [/mm] f(y)$:
[mm] $|f(x_1)-1|\cdot |f(x_0)|<\epsilon$
[/mm]
[mm] $|f(x_0)\cdot f(x_1)-f(x_0)|<\epsilon$
[/mm]
[mm] $|f(x_0+x_1)-f(x_0)|<\epsilon$.
[/mm]
Somit ist das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt und die Funktion in allen Punkten stetig.
Liebe Grüße,
Hanno
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