Stichprobe repraesentaiv? < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Mo 21.02.2005 | | Autor: | mathe007 |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt:
Eine Zeitung verfuegt ueber 100.000 Leser. 10 Prozent (10.000)beurteilen das Feuilleton als wichtig, die restlichen 90 Prozent (90.000) als unwichtig (aufgrund frueherer Umfragen festgestellt). Nun meine Frage:
Ist eine Stichprobe von nur 50 Lesern (also 1/2 Promille) repraesentativ? Anders formuliert: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 50 Befragten keiner von den 10.000 dabei ist, die dem Feuilleton positiv gegenueberstehen?
Viele Gruesse
mathe007
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Mo 21.02.2005 | | Autor: | synonymlos |
Im PRINZIP ist das eine simple Wahrscheinlichkeitsrechnung, die schwierigkeit der aufgabe sehe ich in der größe der zahlen. Ich versuche ersteinmal den wahrscheinlichkeitsrechnungstechnischen part zu erklären:
du hast 50 durchläufe, die chancen das ein nicht-an-den-feuilleton-interessierter() gezogen wird stehen beim ersten durchlauf 90 000 zu 10 000, gesetz dem fall dass das passiert beim zweiten durchlauf 89 999 zu 10 000 und immer so weiter. Das heißt die wahrscheinlichkeit das man einen desinteressierten erwischt sinkt umso mehr leute man fragt - schließlich wird niemand zweimal gefragt.
Man bekommt die jeweilige Wahrscheinlichkeit heraus wenn man die jeweilige Anzahl der "richtigen" Möglichkeiten durch die Anzahl der vorhandenen Möglichkeiten teilt.
Beispielsweise beim ersten durchlauf:
90 000
----------- = 0, 9 [mm] \hat [/mm] = 90% (0,9 mal 100)
100 000
beim zweiten:
89 999
----------- = 0, 8 999 999 = 89%
999 999
Die Wahrscheinlichkeit davon dass 2 ereignisse ein bestimmtes ergebnis haben beträgt die wahrscheinlichkeit des ersten mal des zweiten ergebnisses. (Ich hoffe ich gehe mit den mathewörtern richtig um)
Bei deiner Aufgabe wollen wir ausrechnen wie groß die Wahrscheinlichkeit wäre dass alle 50 ereignisse ein bestimmtes ergebnis haben. Also wäre die Wahrscheinlichkeit davon dass alle diese ereignisse das gleiche ergebnis haben werden:
----------------------------------------------------------------------------
wahrscheinlichkeitszahl von durchlauf_.1 [mm] \* [/mm] (ist 0,9)
wahrscheinlichkeitszahl von durchlauf_.2 [mm] \* [/mm] (ist rund0,8999999)
... [mm] \* [/mm]
wahrscheinlichkeitszahl von durchlauf_.50
=
gesuchtewahrscheinlichkeitszahl
-----------------------------------------------------------------------------
Wenn man sehr, SEHR verzweifelt wäre könnte man die Aufgabe so mit Gewalt ausrechnen. Aber es ist auch möglich das auf eine mathematischere art und weise zu lösen. Denn die Veränderung der zahlen ist gleichmäßig, es ist möglich das 50-te Produkt aller Teilprodukte in einem einzelschritt auszurechnen, vorrausgesetzt man stellt die richtige formel auf. Ich guck ob ich eine dafür finde sobald ich wieder zeit habe.
Hoffentlich hab ich die ganzen fachwörter zumindest ungefähr richtig verwendet...
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Hallo mathe007
Wenn man den Ansatz von synonymlos durchrechnet, kommt man auf eine Wahrscheinlichkeit von
0,00514
Es ist übrigens gar nicht notwendig, ein Produkt von 50 verschiedenen Brüchen zu berechnen. Zumindest dann nicht, wenn man nur an einer Näherungslösung interessiert ist. Das liegt daran, dass die auftretenden Brüche "fast" gleich sind.
Der größte Bruch ist 90000/100000 = 9/10 = 0,9
Der kleinste Bruch ist 89951/99951 = 0,89995
Es gilt daher 0,00513 = (0,89995)^50 < P(genau) < (0,9)^50 = 0,00515
Mit diesem Näherungsansatz gelingt es also, die gesuchte Wahrscheinlichkeit auf 4 Stellen genau zu berechnen.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:30 Di 22.02.2005 | | Autor: | mathe007 |
Zunaechst vielen Dank fuer die Antwort. Noch 2 Fragen:
1. Habe ich das richtig begriffen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass von den 50 Befragten keiner am Feuilleton Interessierter dabei ist, nur 0,5 Prozent betraegt? Anders formuliert: Die Wahrscheinlichkeit, einen von den 10.000 am Feuilleton Interessierter zu erwischen, betraegt bei einer Stichprobe von 50 Personen lediglich 0,5 Prozent?? Dann waere die Stichprobe ja vollkommen wertlos!
2. Warum 50 Durchlaeufe? (entschuligt die vielleicht dumme Frage!)
Viele ,Gruesse
mathe007
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Di 22.02.2005 | | Autor: | mathe007 |
Entschulidgt bitte vielmals: Ich habe meine Frage falsch formuliert. Richtig: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 50 Lesern zumindest einer dabei ist, den das Feulleton interessiert.
Noch eine Zusatzfrage: Wie hoch ist die Wahrsch., dass unter den 50 Lesern 5 am Feulleton Interessierte dabei sind (also die 10 Prozent von der Gesamtheit)?
Viele Gruesse
mathe007
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Hi, mathe007,
Bei der großen Grundmenge von 100.000 Menschen kann man davon ausgehen, dass man mit der Binomialverteilung zum Ziel kommt.
Natürlich hat synonymlos eigentlich Recht, wenn er das Ganze unter dem Gesichtspunkt "Ziehen ohne Zurücklegen" betrachtet, aber Du siehst selbst, wie aufwändig die Sache damit wird.
Daher also: P(X=0) = B(50; 0,1; 0) = 0,00515.
Die Umformulierung der Frage führt lediglich auf das Gegenereignis:
P(X [mm] \ge [/mm] 1) = 1 - 0,00515 = 0,99485.
Bei Deiner Zusatzfrage steckt eine "Ungenauigkeit" drin:
Möchtest Du die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 5 unter den 50 Befragten dem Feuilleton positiv gegenüberstehen, dann hast Du B(50; 0,1; 5) = 0,18492;
möchtest Du aber dass es mindestens 5 sind, dann hast Du P(X [mm] \ge [/mm] 5) und rechnest über das Gegenereignis: 1 - P(X [mm] \le [/mm] 4) = 1 - 0,4312 = 0,5688.
Zusatzbemerkung: Ich verwende bei solchen Aufgaben immer ein Tafelwerk. Ich vermute, Ihr tut das ebenfalls!?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Mi 02.03.2005 | | Autor: | mathe007 |
Vielen Dank fuer Eure Hilfe. Ich hab's nun endlich kapiert.
Beste Gruesse
Juergen (mathe007)
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