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Hallöchen,
Ich habe [mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] durch [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{2x^3y}{x^6+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ ungleich (0,0)} \\ 0 & \mbox{für } (x,y) \mbox{ =(0,0)} \end{cases}
[/mm]
Ich soll drei Eigenschaften zu f untersuchen:
1.Alle Richtungsableitungen existieren im Nullpunkt
2. f ist im Nullpunkt nicht total differenzierbar
3.Ist f im Nullpunkt stetig?
Also die 1. Eigenschaft habe ich beantwortet mit Hilfe der Definition der Richtungsableitung. Hat auch geklappt.
Bei der 2. Eigenschaft fehlt mir ein Ansatz.
Ich weiß: f differenzierbar im Punkt [mm] x_0 [/mm] <=> [mm] \exists L:\IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm] linear, mit [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)-Lh}{||h||}=0
[/mm]
Ich weiß nicht wie ich den Grenzwert jetzt ermitteln kann. Was muss ich für L einsetzen.
Noch eine Verständnisfrage: Wie hängt der Gradient mit der totalen Ableitung zusammen?
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Hiho,
betrachte für die Stetigkeit mal den Fall y = [mm] x^3 [/mm] und dann x [mm] \to [/mm] 0.
Was muss für Stetigkeit rauskommen, was kommt raus?
Was gilt dann für die totale Differenzierbarkeit?
> Noch eine Verständnisfrage: Wie hängt der Gradient mit der
> totalen Ableitung zusammen?
[mm] \mathrm{d}f(a)h [/mm] = [mm] \langle\nabla{f(a)}, h\rangle [/mm]
Wobei df(a) die totale Ableitung und [mm] \nabla{f(a)} [/mm] der Gradient.
Für das Standartskalarprodukt bekommst du deinen gewohnten Gradienten.
MfG,
Gono.
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Danke, sehr geschickt gemacht.
f nimmt dann den Wert=1 an (für [mm] y=x^3). [/mm] Deshalb ist f nicht stetig, da es den Wert 0 annehemen müsste.
Und da es nicht stetig ist, ist es auch nicht total differenzierbar.
Hätte man die totale Differenzierbarkeit auch mit dem Grenzwert überprüfen können, so wie ich den aufgeschrieben habe? (Nur eine theoretische Frage)
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Ich denke, dass das mit der gleichen Idee funktioniert, allerdings wählst du nun dein h so geschickt, vermutlich kann auch [mm] \vektor{h_1 \\ h_2} [/mm] mit [mm] h_2 [/mm] = [mm] h_1^{3} [/mm] gewählt werden.
Dann stellt man fest, dass es keine lineare Funktion gibt, so dass der Grenzwert gegen 0 geht. Dazu muss man noch ein paar Umformungen machen. Ich hab das mal überschlagen, am Ende muss man das nur sauber aufschreiben.
Gruß,
weightgainer
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