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Forum "Uni-Sonstiges" - Vollst. Induktion Ungleichung
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Vollst. Induktion Ungleichung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Do 23.10.2008
Autor: Theta

Aufgabe
Beweisen Sie die folgenden Aussagen mittels Vollständiger Induktion:

1. Es seien [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] und [mm] b_{1},...,b_{n} [/mm] Zahlen mit [mm] a_{j}
[mm] a_{1}+...+a_{n} [/mm] < [mm] b_{1}+...+b_{n}
[/mm]

Hallo,

ich soll genannte Aufgabe lösen. Und habe auch schon einen Ansatz, bin mir aber unsicher, ob die Lösung so richtig ist, geschweige denn der Aufgabenstellung entspricht.
Mein Ansatz ist folgender:


Seien Zahlen mit den genannten Eigenschaften gegeben:

Induktionsanker:

für n=1 gilt:
     [mm] a_{1}

Induktionsannahme:

Gelte für beliebiges, aber fest gewähltes n:
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i} [/mm] < [mm] \summe_{i=1}^{n}b_{i} [/mm]

Induktionsschritt

[mm] a_{1}+...+a_{n}+a_{n+1} [/mm] < [mm] b_{1}+...+b_{n}+b_{n+1} [/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}a_{i}+a_{n+1} [/mm] < [mm] \summe_{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+1} [/mm]

Sei nun:
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_{i} [/mm] = A und [mm] \summe_{i=1}^{n}b_{i} [/mm] = B

So erhält man folgenden Ausdruck:
[mm] A+a_{n+1} [/mm] < [mm] B+b_{n+1} [/mm]


Nach Induktionsannahme gilt A < B und nach Vorraussetzung der Zahlen gilt [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] b_{n+1}. [/mm] Es folgt also aus der Induktionsannahme, dass auch der letzte Ausdruck wahr ist.



So sieht meine Argumentation aus. Ich würde mich freuen, wenn ich ein paar kurze Rückmeldungen bekommen könnte, ob das die Aufgabe ausreichend beantwortet. Wenn ja, dann kann ich mich ja an die übrigen Aufgaben setzen, sind nämlich alle vom gleichen Typ, ich hab nur meine Schwierigkeiten mit den Ungleichungen.

Danke im Vorraus,

Theta




Ich habe diese Frage in keinem Forum einer anderen Internetseite gestellt.
        
Bezug
Vollst. Induktion Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Do 23.10.2008
Autor: MarkusF

Der Weg ist OK, aber meiner Meinung nach fehlt noch der Induktionsschluss: Im Induktionsschritt wurde allgemein gezeigt, dass, wenn die Aussage für ein bestimmtes n gilt, auch für n+1 gilt.
Die Aussage gilt für n=1, also auch für n=2, n=3, usw.
Also gilt die Aussage für jedes [mm] n\ge1. [/mm]

Viele Grüße,
Markus
Bezug
                
Bezug
Vollst. Induktion Ungleichung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:46 Do 23.10.2008
Autor: Theta

Danke für die schnelle Reaktion und den Hinweis.

Sieht es vielleicht noch jemand anders, oder ist sich die Gemeinschaft einig? Werde es dann wohl am Wochenende mal sauber aufschreiben.



Grüße und Dank,

Theta
Bezug
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