Wie hängt Fkt von Basis ab? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm]f: \IR^2 \to \IR^2[/mm] linear mit [mm]f^2 = id[/mm] und [mm]f \not= id[/mm]. Zeige: es gibt eine Basis [mm](v_1, v_2)[/mm] von [mm]\IR[/mm], so dass gilt:
[mm]f(v_1) = v_1, f(v_2) = -v_2[/mm] oder
[mm]f(v_1) = -v_1, f(v_2) = -v_2[/mm] |
Hallo,
Also die Aufgabe ist ja nicht besonders schwer. Die Lösung muss einmal die Drehung um 180° bzw. die Spiegelung sein.
Was mich mehr interessiert:
Wie wird eine Abbildung eindeutig von einer Basis bestimmt? Wie kann ich mir vorstellen?
Wenn ich eine Basis wähle, gibt es dann so etwas wie:
[mm]f(v) = a * v_1 + b*v_2[/mm] mit der Lösung [mm]\vektor{a \\ b}[/mm].
Ich habe noch nicht ganz verstanden wie dann genau die gewählte Basis mit der Funktion zusammen hängt. Deswegen habe ich diese Aufgabe als Beispiel gewählt, weil sie eigentlich sehr einfach und überschaubar ist, aber ich hier auch genau das Problem habe.
Mfg,
Christoph
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> Es sei [mm]f: \IR^2 \to \IR^2[/mm] linear mit [mm]f^2 = id[/mm] und [mm]f \not= id[/mm].
> Zeige: es gibt eine Basis [mm](v_1, v_2)[/mm] von [mm]\IR[/mm], so dass
> gilt:
> [mm]f(v_1) = v_1, f(v_2) = -v_2[/mm] oder
> [mm]f(v_1) = -v_1, f(v_2) = -v_2[/mm]
> Hallo,
> Also die Aufgabe ist ja nicht besonders schwer. Die Lösung
> muss einmal die Drehung um 180° bzw. die Spiegelung sein.
Hallo,
woher nimmst Du die Sicherheit, daß es nicht noch andere Möglichkeiten gibt?
> Was mich mehr interessiert:
> Wie wird eine Abbildung eindeutig von einer Basis
> bestimmt? Wie kann ich mir vorstellen?
Es stimmt nicht, daß eine Abbildung eindeutig von einer Basis bestimmt wird.
Es stimmt aber, daß jede lineare Abbildung eindeutig durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis bestimmt wird.
Im [mm] \IR^2: [/mm] Sei f ein Endomorphismus und [mm] (v_1, v_2) [/mm] irgendeine Basis des [mm] \IR^2, [/mm] für welchen [mm] f(v_1):=w_1, f(v_2):=w_2, w_i\in \IR^2.
[/mm]
Sei nun [mm] v\in \IR^2. [/mm] E gibt [mm] a_1, a_2\in \IR [/mm] mit [mm] v=a_1v_1+a_2v_2.
[/mm]
Damit kennen wir aufgrund der Linearität den zu v gehörigen Funktionswert: [mm] f(v)=f(a_1v_1+a_2v_2)= [/mm] ...
> Ich habe noch nicht ganz verstanden wie dann genau die
> gewählte Basis mit der Funktion zusammen hängt.
Zunächst berhaupt nicht.
Erst wenn besondere Anforderungen an die Basis bzw. an die darstellende Matrix der Abbildung gestellt werden, spielt die Wahl der Basis eine Rolle.
Nehmen wir, bezugnehmend auf Dein Beispiel, mal die Spiegelung s an der durch durch vektor{3//4} bestimmten Achse.
Du kannst diese Spiegelung beschreiben, indem Du die Werte auf der Standardbasis angibst, kannst Du ja mal machen.
[mm] s(e_1)= [/mm]
[mm] s(e_2)=
[/mm]
Dann kannst Du die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasis aufstellen.
Du findest aber auch eine viel schönere Basis [mm] (v_1, v_2) [/mm] bei welcher nämlich
[mm] s(v_1)=v_1
[/mm]
[mm] s(v_2)=-v_2
[/mm]
ist. Welche?
Wie lautet hier die darstellende Matrix? Und die darstellende Matrix?
> aber ich hier
> auch genau das Problem habe.
Falls das Thema Eigenwerte/-vektoren schon dran war, solltest Du Dich diesbezüglich etwas schlau machen.
Gruß v. Angela
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Hallo,
also ich habe das jetzt so gerechnet:
[mm]f(v_1) = v_1[/mm] und [mm]f(v_2) = v_2[/mm].
[mm]v = \lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2[/mm]
[mm]f(v) = f(\lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2) = \lambda_1 * f(v_1) + \lambda_2 * f(v_2) = \lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * (-v_2)[/mm].
Nun habe ich festgelegt:
[mm]v_1 := \vektor{0 \\ 1}[/mm]
[mm]v_2 := \vektor{1 \\ 0}[/mm]
[mm]v_1, v_2[/mm] sind laut Definition eine Basis.
[mm]f(\vektor{0 \\ 1}) = 1 * \vektor{0 \\ 1} + 0 * \vektor{-1 \\ 0}[/mm]
[mm]f(\vektor{1 \\ 0}) = 0 * \vektor{0 \\ 1} + (-1) * \vektor{-1 \\ 0}[/mm]
[mm]\Rightarrow A = \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1}[/mm]
Nun der Test ob alles klappt:
[mm]f_A(\vektor{x_1 \\ x_2}) = \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1} * \vektor{x_1 \\ x_2} = \vektor{x_1 \\ -x_2}[/mm].
[mm]f_A(\vektor{x_1 \\ -x_2}) =\pmat{1 & 0 \\ 0 & -1} * \vektor{x_1 \\ -x_2} = \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm].
Alles super! Alle Bedingungen erfüllt. Das andere habe ich analog gemacht.
Jetzt aber zu....
Spiegelung an [mm]\vektor{3 \\ 4}[/mm]!
Das ist irgendwie eine harte Nuss für mich.
Dort bin ich so vorgegangen:
[mm]v_1 := \vektor{1 \\ 0}[/mm]
[mm]v_2 := \vektor{0 \\ 1}[/mm]
[mm]s(x) = \frac{4}{3}*x[/mm]
[mm]g(x)[/mm] soll die Gerade sein, die orthogonal [mm]s(x)[/mm] schneidet und [mm]v_1[/mm] mit dem an [mm]s(x)[/mm] gespiegelten Punkt von [mm]v_1[/mm], also [mm]v_1'[/mm] verbindet.
Über die Punktsteigungsformel habe ich herausgefunden.
[mm]g(x) = [mm] -\frac{3}{4}*x+\frac{3}{4}.
[/mm]
Hier mal anschaulich was ich bisher habe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
So nun will ich die genaue Position von [mm]v_1'[/mm] wissen.
Dazu 1. Schnittpunkt ausrechnen: [mm]s(x) = g(x)[/mm]
[mm]\frac{4}{3} = -\frac{3}{4}*x + \frac{3}{4} \gdw x*(\frac{4}{3} + \frac{3}{4}) = \frac{3}{4} \gdw x = \frac{9}{25}[/mm]. (Da habe ich ein paar Rechenschritte ausgelassen, weil das ja einfach nur umformen ist.)
Nun da der Höhenunterschied zwischen [mm]v_1[/mm] und dem Schnittpunkt von [mm]s(x)[/mm] und [mm]g(x)[/mm] gleich sein muss, wie der Höhenunterschied von dem Schnittpunkt zu [mm]v_1'[/mm], habe ich:
[mm]1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}[/mm]
[mm]\frac{9}{25}-\frac{16}{25} = -\frac{7}{25}[/mm].
[mm]g(-\frac{7}{25}) = \frac{24}{25}[/mm].
Also ist [mm]v_1' = \vektor{-\frac{7}{25} \\ \frac{24}{25}}[/mm].
Für [mm]v_2[/mm] bzw [mm]v_2'[/mm] habe ich das analog gemacht und kam auf:
[mm]v_2' = \vektor{\frac{3}{4} \\ \frac{1}{4}}[/mm].
Dann hab ich wieder die 2 Gleichungssysteme aufgestellt:
[mm]\vektor{1 \\ 0} = \lambda_1 * \vektor{-\frac{7}{25} \\ \frac{24}{25}} + \lambda_2 * \vektor{\frac{3}{4} \\ \frac{1}{4}}[/mm] und
[mm]\vektor{0 \\ 1} = \lambda_1 * \vektor{-\frac{7}{25} \\ \frac{24}{25}} + \lambda_2 * \vektor{\frac{3}{4} \\ \frac{1}{4}}[/mm]
Aufgelöst kam folgendes raus:
Also [mm]A = \pmat{ -\frac{25}{79} & \frac{75}{79} \\ \frac{96}{79} & \frac{28}{79} }[/mm].
Aber:
[mm]A * \vektor{1 \\ 0} = \vektor{-\frac{25}{79} \\ \frac{96}{79}}[/mm]
[mm]A * \vektor{-\frac{25}{79} \\ \frac{96}{79}} = \vektor{1,25... \\ 0.0466...}[/mm].
Also annäherungsweise scheint es schon zu klappen, aber da ist nochn dicker Fehler drin! Nur wo?
Zudem, gibts da ein vielleicht bisschen effizienteres Verfahren? :D Weil so hat das doch schon lange gedauert...
Mfg,
Christoph
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo,
> also ich habe das jetzt so gerechnet:
> [mm]f(v_1) = v_1[/mm] und [mm]f(v_2) = v_2[/mm].
> [mm]v = \lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2[/mm]
>
> [mm]f(v) = f(\lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2) = \lambda_1 * f(v_1) + \lambda_2 * f(v_2) = \lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * (-v_2)[/mm].
>
>
> Nun habe ich festgelegt:
> [mm]v_1 := \vektor{0 \\ 1}[/mm]
> [mm]v_2 := \vektor{1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]v_1, v_2[/mm] sind laut Definition eine Basis.
>
> [mm]f(\vektor{0 \\ 1}) = 1 * \vektor{0 \\ 1} + 0 * \vektor{-1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]f(\vektor{1 \\ 0}) = 0 * \vektor{0 \\ 1} + (-1) * \vektor{-1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow A = \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1}[/mm]
>
>
> Nun der Test ob alles klappt:
> [mm]f_A(\vektor{x_1 \\ x_2}) = \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1} * \vektor{x_1 \\ x_2} = \vektor{x_1 \\ -x_2}[/mm].
>
> [mm]f_A(\vektor{x_1 \\ -x_2}) =\pmat{1 & 0 \\ 0 & -1} * \vektor{x_1 \\ -x_2} = \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm].
>
> Alles super! Alle Bedingungen erfüllt. Das andere habe ich
> analog gemacht.
Hallo,
ich habe jetzt nicht so direkt Falsches entdeckt, aber ich bin trotzdem etwas perplex, denn mir ist im Moment gar nicht klar, welche Aufgabe Du gelöst bzw. welche Fragestellung Du beantwortet hast, daher kann ich da wenig zu sagen.
>
> Jetzt aber zu....
> Spiegelung an [mm]\vektor{3 \\ 4}[/mm]!
> Das ist irgendwie eine
> harte Nuss für mich.
>
> Dort bin ich so vorgegangen:
> [mm]v_1 := \vektor{1 \\ 0}[/mm]
> [mm]v_2 := \vektor{0 \\ 1}[/mm]
Wenn man verstanden hat, wie Achsenspiegelungen funktionieren, merkt man, daß man gut fährt, wenn man sich den zu spiegelnden Vektor schreibt als Linearkombination eines Vektors in Richtung Spiegelachse und eines dazu senkrechten Vektors.
Also
[mm] \vektor{1 \\ 0}=0.12*\vektor{3 \\ 4} -0.16*\vektor{-4 \\ 3}.
[/mm]
Durch Spiegelung an [mm] \vektor{3 \\ 4} [/mm] geht [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] über in [mm] 0.12*\vektor{3 \\ 4} +0.16*\vektor{-4 \\ 3}=\vektor{-0.28\\0.96}, [/mm] was nicht dem von Dir errechneten Ergebnis entspricht.
Du fängst bei Deiner Berechnung aber durchaus sinnvoll an, sicher hast Du irgendwo einen Rechenfehler gemacht.
Was schade ist, ist halt, daß Du Dich der inzwischen erlangten kenntnisse der Vektorrechnung nicht bedienst, denn du merkst, daß Dein Weg mühsam ist.
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Nimm aber nun als Basis für die genannte Spiegelung mal [mm] v_1:=\vektor{3 \\ 4} [/mm] und [mm] v_2:=\vektor{-4 \\ 3}.
[/mm]
Worauf werden die abgebildet?
Nennen wir die Spiegelung an der Achse in [mm] Richtung\vektor{3 \\ 4} [/mm] jetzt mal [mm] \rho.
[/mm]
Es ist [mm] \rho [/mm] eine lineare Abbildung, für welche [mm] \rho^2=id [/mm] gilt, und wir haben in diesem konkreten Fall gezeigt, daß für diese Abbildung eine Basis [mm] v_1, v_2 [/mm] existiert mit [mm] \rho (v_1)=v_1 [/mm] und [mm] \rho (v_2)=-v_2.
[/mm]
Hiermit ist dann wieder der Bogen zur Aufgabenstellung gespannt - welche nach wie vor nicht gelöst ist.
Mir ist immer noch nicht klar, ob Ihr die Theatik "Eigenvektoren" hattet.
Gruß v. Angela
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Hallo,
> Du fängst bei Deiner Berechnung aber durchaus sinnvoll an,
> sicher hast Du irgendwo einen Rechenfehler gemacht.
> Was schade ist, ist halt, daß Du Dich der inzwischen
> erlangten kenntnisse der Vektorrechnung nicht bedienst,
> denn du merkst, daß Dein Weg mühsam ist.
>
Ja, habe gerade mit den Vektoren alles nochmal gemacht. Ist echt viel einfacher.
> ---
>
> Nimm aber nun als Basis für die genannte Spiegelung mal
> [mm]v_1:=\vektor{3 \\ 4}[/mm] und [mm]v_2:=\vektor{-4 \\ 3}.[/mm]
>
> Worauf werden die abgebildet?
[mm]f(\vektor{3 \\ 4}) = \vektor{3 \\ 4}[/mm] Weil das ja genau auf der "Spiegelachse" liegt.
[mm]f(\vektor{-4 \\ 3}) = \vektor{4 \\ -3}[/mm] Da diese auf der Orthogonalen liegt.
>
> Nennen wir die Spiegelung an der Achse in
> [mm]Richtung\vektor{3 \\ 4}[/mm] jetzt mal [mm]\rho.[/mm]
>
> Es ist [mm]\rho[/mm] eine lineare Abbildung, für welche [mm]\rho^2=id[/mm]
> gilt, und wir haben in diesem konkreten Fall gezeigt, daß
> für diese Abbildung eine Basis [mm]v_1, v_2[/mm] existiert mit [mm]\rho (v_1)=v_1[/mm]
> und [mm]\rho (v_2)=-v_2.[/mm]
>
> Hiermit ist dann wieder der Bogen zur Aufgabenstellung
> gespannt - welche nach wie vor nicht gelöst ist.
>
> Mir ist immer noch nicht klar, ob Ihr die Theatik
> "Eigenvektoren" hattet.
>
Ich habe gerade nachgeschaut, weil ich davon noch nie etwas gehört habe und es steht im Exzerpt für Lineare Algebra II, also nächstes Semester.
Aber nochmal zu den was ich gerechnet hatte:
Das sollte die Lösung für $ [mm] f(v_1) [/mm] = [mm] v_1, f(v_2) [/mm] = [mm] -v_2 [/mm] $ sein.
Die Matrix, die quasi die Abbildung ist sollte man ja gar nicht ermitteln. Ist mir gerade erst aufgefallen.
Aber ich habe noch etwas super interessantes gefunden: ![[]](/images/popup.gif) Eigenwertrechner. Dort wird einem immer noch ein charakteristisches Polynom zu jeder Matrix angezeigt. Was hat denn das Polynom mit der Matrix zu tun? Ich konnte bisher keinen Zusammenhang finden...
Kann ich, wenn ich weiß wie das Funktioniert die Abbildung [mm]f(x) = x^3+10[/mm] so umwandeln, dass ich eine Matrix habe und die Abbildung [mm]f_A(x)[/mm] das selbe macht?
Mfg,
Christoph
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> Aber nochmal zu den was ich gerechnet hatte:
> Das sollte die Lösung für [mm]f(v_1) = v_1, f(v_2) = -v_2[/mm]
> sein.
Hallo,
Möglicherweise hast Du die Aufgabenstellung nicht verstanden.
Zeigen sollst Du: sobald man irgendeine lineare Abbildung [mm] f\not=0 [/mm] vorliegen hat mit der Eigenschaft [mm] f^2=id, [/mm] dann existiert solch eine Basisi [mm] (v_1, v_2), [/mm] die das vorgegebene tut.
Du hast etwas völlig anders gezeigt, nämlich daß Du zur Standardbasis eine lineare Abbildung findest, die das Geforderte tut.
> Die Matrix, die quasi die Abbildung ist sollte man ja gar
> nicht ermitteln. Ist mir gerade erst aufgefallen.
> Aber ich habe noch etwas super interessantes gefunden:
> Eigenwertrechner.
> Dort wird einem immer noch ein charakteristisches Polynom
> zu jeder Matrix angezeigt. Was hat denn das Polynom mit der
> Matrix zu tun?
Allerlei.
Seine Nullstellen sind die Eigenwerte [mm] \lamda_i [/mm] der Matrix, die Werte, für die es einen von Null verschiedenen [mm] Vektorv_i [/mm] gibt, der unter der Abbildung seine Richtung nicht ändert, sondern auf das [mm] \lambda_i- [/mm] fache abgebildet wird, also [mm] Av_i=\lambda_i.
[/mm]
> Kann ich, wenn ich weiß wie das Funktioniert die Abbildung
> [mm]f(x) = x^3+10[/mm] so umwandeln, dass ich eine Matrix habe und
> die Abbildung [mm]f_A(x)[/mm] das selbe macht?
Nein, aber wenn Du die gegebenen Matrix in f(x) = [mm] x^3+10 [/mm] einsetzt, kommt die Nullmatrix raus: [mm] A^3+10E=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo,
ja, hatte Fragestellung falsch verstanden. Meine Lösung ist jetzt so:
Gegeben:
[mm]f: \IR^2 \to \IR^2[/mm] und ist linear
[mm]f^2 = id; f \not= id[/mm]
Zu zeigen: Dann existiert eine Basis [mm](v_1, v_2)[/mm] von [mm]\IR^2[/mm] so dass gilt:
[mm]f(v_1) = v_1; f(v_2) = -v_2[/mm] oder
[mm]f(v_1) = -v_1; f(v_2) = -v_2[/mm]
Rechnung:
[mm]v = \lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2[/mm]
[mm]f(v) = f(\lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2) = \lambda_1 * f(v_1) + \lambda_2 * f(v_2)[/mm]
[mm]f^2(v) = f(f(v)) = f(\lambda_1 * f(v_1) + \lambda_2 * f(v_2)) = \lambda_1 * f(f(v_1)) + \lambda_2 * f(f(v_2)) = \lambda_1*v_1 + \lambda_2*v_2 = v[/mm]
Das ([mm]\lambda_1 * f(f(v_1)) + \lambda_2 * f(f(v_2)) = \lambda_1*v_1 + \lambda_2*v_2[/mm]) gilt jedoch nur, falls:
[mm]f(f(v_1)) = v_1[/mm] und [mm]f(f(v_2)) = v_2[/mm]
Das wiederum klappt für:
[mm]f(v_i) = v_i[/mm] oder [mm]f(v_i) = -v_i[/mm]. [mm]i \in \{1;2\}[/mm].
Für den Fall [mm]f(v_1) = v_1[/mm] und [mm]f(v_2) = v_2[/mm] ist jedoch:
[mm]f(v) = \lambda_1 * f(v_1) + \lambda_2 * f(v_2) = \lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2 = v[/mm] Also [mm]f = id[/mm]. Das ist aber ein Widerspruch zur Annahme.
Für den Fall [mm]f(v_1) = -v_1[/mm] und [mm]f(v_2) = v_2[/mm] darf ich einfach sagen: [mm]v_1 := v_2[/mm] und [mm]v_2 := v_1[/mm].
Das müsste dann stimmen?
Mfg,
Christoph
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> Hallo,
> ja, hatte Fragestellung falsch verstanden. Meine Lösung ist
> jetzt so:
>
> Gegeben:
> [mm]f: \IR^2 \to \IR^2[/mm] und ist linear
> [mm]f^2 = id; f \not= id[/mm]
>
> Zu zeigen: Dann existiert eine Basis [mm](v_1, v_2)[/mm] von [mm]\IR^2[/mm]
> so dass gilt:
> [mm]f(v_1) = v_1; f(v_2) = -v_2[/mm] oder
> [mm]f(v_1) = -v_1; f(v_2) = -v_2[/mm]
>
> Rechnung:
> [mm]v = \lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2[/mm]
Hallo,
was sollen diese [mm] v_1, v_2 [/mm] sein? Irgendeine Basis? Du rechnest hier einfach mit ihnen los, ohne zu erklären, was sie sind.
Es geht hier um Existenz. Du mußt sagen, wo Du eine Basis hernimmst, die das Gewünschte tut!
> [mm]f(v) = f(\lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2) = \lambda_1 * f(v_1) + \lambda_2 * f(v_2)[/mm]
>
> [mm]f^2(v) = f(f(v)) = f(\lambda_1 * f(v_1) + \lambda_2 * f(v_2)) = \lambda_1 * f(f(v_1)) + \lambda_2 * f(f(v_2)) = \lambda_1*v_1 + \lambda_2*v_2 = v[/mm]
Ja, das war vorausgesetzt.
>
> Das ([mm]\lambda_1 * f(f(v_1)) + \lambda_2 * f(f(v_2)) = \lambda_1*v_1 + \lambda_2*v_2[/mm])
> gilt jedoch nur, falls:
> [mm]f(f(v_1)) = v_1[/mm] und [mm]f(f(v_2)) = v_2[/mm]
Das ist vorausgesetzt.
> Das wiederum klappt
> für:
> [mm]f(v_i) = v_i[/mm] oder [mm]f(v_i) = -v_i[/mm]. [mm]i \in \{1;2\}[/mm].
Ich sehe das nicht.
Schau Dir die durch die
durch [mm] f(\vektor{1\\0}):=\vektor{0.5\\\bruch{\wurzel3}{2}}
[/mm]
und
[mm] f(\vektor{0\\1}):=\vektor{\bruch{\wurzel3}{2}\\-0.5}
[/mm]
definierte Abbildung an.
Für diese gilt [mm] f^2=id,
[/mm]
aber keinesfalls ist, wie man leicht sieht [mm] f(\vektor{1\\0})=\vektor{1\\0}.
[/mm]
Es gibt jedoch eine Basis [mm] v_1, v_2, [/mm] für die genau das gilt, was in der Aufgab behauptet wird - man muß sie bloß finden.
Und die Tatsache der Existenz solch einer Basis ist das Thema Deiner Übungsaufgabe.
Gruß v. Angela
>
> Für den Fall [mm]f(v_1) = v_1[/mm] und [mm]f(v_2) = v_2[/mm] ist jedoch:
> [mm]f(v) = \lambda_1 * f(v_1) + \lambda_2 * f(v_2) = \lambda_1 * v_1 + \lambda_2 * v_2 = v[/mm]
> Also [mm]f = id[/mm]. Das ist aber ein Widerspruch zur Annahme.
>
> Für den Fall [mm]f(v_1) = -v_1[/mm] und [mm]f(v_2) = v_2[/mm] darf ich
> einfach sagen: [mm]v_1 := v_2[/mm] und [mm]v_2 := v_1[/mm].
>
> Das müsste dann stimmen?
>
> Mfg,
> Christoph
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Hallo,
dann muss ich das anders rum machen?
Ich sage, ich erzeuge meine Basisvektoren so:
[mm]x, y \in \IR; x,y \not= 0[/mm].
Dann
[mm]v_1 := \vektor{x \\ y}[/mm]
[mm]v_2 := \vektor{-y \\ x}[/mm].
Die stehen orthogonal aufeinander, sind also linear unabhängig. Also ist das eine Basis.
Für diesen soll gelten:
[mm]f \not= id[/mm]
[mm]f^2 = id[/mm].
Nun muss ich doch aber sagen, dass die Funktion bestimmt ist durch:
[mm]f(\vektor{x \\ y}) = \vektor{x \\ y}[/mm] und
[mm]f(\vektor{-y \\ x}) = \vektor{y \\ -x}[/mm]... sonst ist doch die Funktion gar nicht eindeutig bestimmt?
Mfg
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> Hallo,
> dann muss ich das anders rum machen?
> Ich sage, ich erzeuge meine Basisvektoren so:
>
> [mm]x, y \in \IR; x,y \not= 0[/mm].
>
> Dann
> [mm]v_1 := \vektor{x \\ y}[/mm]
> [mm]v_2 := \vektor{-y \\ x}[/mm].
>
> Die stehen orthogonal aufeinander, sind also linear
> unabhängig. Also ist das eine Basis.
>
> Für diesen soll gelten:
> [mm]f \not= id[/mm]
> [mm]f^2 = id[/mm].
>
> Nun muss ich doch aber sagen, dass die Funktion bestimmt
> ist durch:
> [mm]f(\vektor{x \\ y}) = \vektor{x \\ y}[/mm] und
> [mm]f(\vektor{-y \\ x}) = \vektor{y \\ -x}[/mm]... sonst ist doch
> die Funktion gar nicht eindeutig bestimmt?
Hallo,
über die Funktion f ist vorgegeben, daß sie linear ist, und daß [mm] f^2=id [/mm] ist.
Mehr nicht. Wir wissen nicht, was sie auf was abbildet.
Wir sollen die Existenz einer bestimmten Basis mit bestimmten Eignschaftn zeigen, also genau das Gegenteil dessen tun, was Du in Deiner Überschrift schreibst.
Die Frage ist also eher: wie hängt diese Basis von der Funktion ab?
Ich glaube, daß Du das Wesen von Existenzbeweisen überhaupt nicht verstanden hast.
Mal angenommen, die zu zeigende Behauptung lautet: im Haus von angela.h.b. gibt es eine Flasche Riesling.
Was machst Du da?
Du gehst doch bestimmt nicht zum Loddar, stellst ihm 'ne Flasche Riesling hin und sagst: also gibt es bei angela.h.b. Riesling. qed.
Auch dies klappt nicht: Du gehst an meinen Kühlschrank, holst die Milch heraus, stellst sie auf den Tisch und definierst Milch:= Riesling, und schließt daraus, daß ich Riesling habe. Der Schwindel fliegt sofort auf, wenn jemand probiert.
Du würdest sinnvollerweise erstmal gucken wo ich wohne, und wenn Du hier im Haus bist, läge die Idee, im Weinkeller nachzuschauen, näher als die, im Bad zu gucken.
Die ersten Flaschen im Keller wären vieleicht Dornfelder, aber dann hättest Du den Riesling gefinden, und könntest ihn stolz denen, die es interessiert präsentieren . Wenn sie ungläubig sind, laß sie kosten, daß es wirklich welcher ist, damit ist die Existenz gezeigt.
Du mußt also aus der Machart der Funktion Deine Schlüsse ziehen.
Daraus, daß [mm] f^2=id [/mm] ist, weißt Du z.B. daß die Funktion invertierbar ist.
Ebenso kannst Du hieraus erfahren, daß [mm] f^2-id=0 [/mm] ist. Informationen dieser Art sind auszuschlachten.
(Sicher gibt es auch noch andere Wege, der hier fällt mir gerade ein.)
Gruß v. Angela
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Hallo,
hm ja...
Ich hoffe dass dieser Ansatz dann richtig ist:
[mm]A \in M(2x2; K)[/mm].
Id von [mm]\IR^2 = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm].
[mm]f^2 = id \gdw A*A = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] wobei [mm]A \not= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
Die Gleichung wird gelöst von
[mm]A_1 = \pmat{-1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
[mm]A_2 = \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1}[/mm]
[mm]A_3 = \pmat{-1 & 0 \\ 0 & -1}[/mm]
Daraus folgt:
Lösungen sind die Basen:
1. [mm]v_1 = \vektor{-1 \\ 0}; v_2 = \vektor{0 \\ 1}[/mm]
2. [mm]v_1 = \vektor{1 \\ 0}; v_2 = \vektor{0 \\ -1}[/mm]
3. [mm]v_1 = \vektor{-1 \\ 0}; v_2 = \vektor{0 \\ -1}[/mm]
1. und 2. ist der Fall dass: [mm]f(v_1) = v_1[/mm], [mm]f(v_2) = -v_2[/mm], weil z.B.
[mm] f_{A_1}(\vektor{-1 \\ 0}) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] f_{A_1}(\vektor{0 \\ 1}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
usw...
Dieses mal war doch richtig herum? Als Annahme nur die Funktion und die Basis daraus gefolgert?
Mfg,
Christoph
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> Hallo,
> hm ja...
> Ich hoffe dass dieser Ansatz dann richtig ist:
>
> [mm]A \in M(2x2; K)[/mm].
>
> Id von [mm]\IR^2 = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm].
>
>
> [mm]f^2 = id \gdw A*A = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] wobei [mm]A \not= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> Die Gleichung wird gelöst von
> [mm]A_1 = \pmat{-1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
> [mm]A_2 = \pmat{1 & 0 \\ 0 & -1}[/mm]
>
> [mm]A_3 = \pmat{-1 & 0 \\ 0 & -1}[/mm]
Hallo,
das stimmt zwar, aber die Gleichun wird auch noch gelöst von ganz vielen anderen Matrizen A, ich hatte zuvor doch schon eine Abbildung angegeben, die's auch tut:
die durch $ [mm] f(\vektor{1\\0}):=\vektor{0.5\\\bruch{\wurzel3}{2}} [/mm] $
und
$ [mm] f(\vektor{0\\1}):=\vektor{\bruch{\wurzel3}{2}\\-0.5} [/mm] $ definierte.
> Dieses mal war doch richtig herum? Als Annahme nur die
> Funktion und die Basis daraus gefolgert?
Das wäre schonmal die richtige Vorgehensweise. Aber es hat Dir Dein Wunschdenken einen Strich durch die Rechnung gemacht, Du hast übersehen, daß es noch sehr viele andere Lösungen gibt.
Es ist doch vorausgesetzt [mm] f^2=id,
[/mm]
also [mm] f^2-id=0 [/mm] <==> [mm] (f-id)\circ(f+id)=0,
[/mm]
bzw. mit Matrizen geschrieben: (A-E)(A+E)=0.
Mit Rangüberlegungen solltest Du nun weiterkommen.
Gruß v. Angela
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