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Irgendwie stoße ich immer wieder an meine Grenzen. Jetzt geht es darum, zu berechnen, ab wlchem Zeitpunkt der Bezieher einer nachschüssig gezahlten Rente "auf Kosten" der Versicherungsgesellschaft lebt, bei einer vorgegebenen Verzinsung. Ich kann das zwar für eine konstante Rente berechne, bei einer dynamischen Rente steige ich jedoch aus. Wer kann mir helfen?
Hier meine Formel für eine konstante Rente oder besser Entnahme:
[mm] n=log_q\left( \bruch{E}{E-K_0*p} \right)
[/mm]
dabei sind
n=Laufzeit (gesucht)
[mm] K_0= [/mm] Anfangskapital
p=Zinssatz
q=1+p
[mm] E=e*[m+p*\left( \bruch{m-1}{2} \right)]
[/mm]
m=Anzahl der Zahlungen pro Jahr
e=Entnahme pro Auszahlung
Ausgegangen bin ich von der Anuitätenformel für Entnahmepläne:
[mm] E=K_0*q^n*\left( \bruch{p}{q^n-1} \right)
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Do 15.06.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo Pellinore,
die Formel für eine geometrisch fortscheitende Rente bei gegebenem Barwert lautet für die Berechnung der Laufzeit:
f(n) = [mm] -K_0 [/mm] + r*[mm]\bruch{q^n - g^n}{(q-g)*q^n}[/mm]
f'(n) = [mm]r*\bruch{g^n*(In q - In g)}{q^n*(q-g)}[/mm]
r = Rentenzahlung im Zeitpunkt t
g = Wachstumsfaktor für je zwei aufeinander folgenden Rentenzahlungen
bei monatlicher Ratenzahlung muss r mit der Jahresersatzratenzahlung ersetzt werden.
Viele Grüße
Josef
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Hallo Josef,
vielen Dank für deine Antwort, aber irgendwie kann ich damit nicht wirklich etwas anfangen. Ich verstehe nicht, was mit g=Wachstumsfaktor.... gemeint ist und wofür man die f' braucht. Was soll "Inq" bzw. "Ing" heißen?
Wenn ich das richtig verstehe, dann ist g=p; d.h. für g=p=1 (ohne Dynamik) erhalte ich genau meine angegebene Formel, indem ich [mm] q^n [/mm] nach n auflöse über [mm] log_q. [/mm] Da habe ich nachgerechnet.
Was mache ich aber, wenn ich noch [mm] g^n [/mm] bzw. [mm] p^n [/mm] in der Gleichung habe, wie kann ich denn dann nach n auflösen? Da bin ich wohl doch zu schlecht in Mathe. :=(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Fr 16.06.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo Pellinore,
. Ich verstehe nicht,
> was mit g=Wachstumsfaktor.... gemeint ist und wofür man die
> f' braucht. Was soll "Inq" bzw. "Ing" heißen?
>
> Wenn ich das richtig verstehe, dann ist g=p; d.h. für g=p=1
> (ohne Dynamik) erhalte ich genau meine angegebene Formel,
> indem ich [mm]q^n[/mm] nach n auflöse über [mm]log_q.[/mm] Da habe ich
> nachgerechnet.
>
> Was mache ich aber, wenn ich noch [mm]g^n[/mm] bzw. [mm]p^n[/mm] in der
> Gleichung habe, wie kann ich denn dann nach n auflösen?
du hast dir eine der schwierigsten Probleme in Rentenrechnungen ausgesucht.
Berechnung der Laufzeit:
f(n) = $ [mm] -K_0 [/mm] $ + r*$ [mm] \bruch{q^n - g^n}{(q-g)\cdot{}q^n} [/mm] $
f'(n) = $ [mm] r\cdot{}\bruch{g^n\cdot{}(In q - In g)}{q^n\cdot{}(q-g)} [/mm] $
Wenn es um die Berechnung von Laufzeiten geometrischer Renten geht, muss man die Lösungen mit Hilfe von Iterationsverfahren suchen. Vertraut man sich dabei z.B. Newtons Methode an, so kann man bei gegebenem Barwert die oben stehenden Formeln benutzen.
In = natürlicher Logarithmus
Eine Beispielsaufgabe in Zahlen:
Es werden 10 Jahresraten zu je 20.000 Euro gezahlt (10 % p.a.). Jede Folgerate wid gegenüber der vorangegangen Rate um 5 % erhöht. Wie hoch ist das Endkapital?
[mm]20.000 *\bruch{1,1^{10} - 1,05^{10}}{1,1 - 1,05} = 385.939,13[/mm]
Viele Grüße
Josef
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Hallo Josef,
soweit hatte ich zumindest den ersten Teil deiner Antwort schon verstanden. Mein Problem ist aber nicht, den Endwert zu berechnen, sondern die Laufzeit, bis das Kapital bei einer gegebenen Verzinsung aufgebraucht ist.
Solange ich keine Dynamik habe, ist das kein Problem, dann ist [mm] g^n=1 [/mm] und ich kann nach [mm] q^n [/mm] auflösen. Ich habe das durchgerechnet und bin mit deiner Formel zu meinem Ergebnis gekommen.
Wenn aber die Dynamik dazukommt, habe ich nicht nur [mm] q^n [/mm] sondern auch noch [mm] g^n, [/mm] und da weiss ich nicht mehr weiter, wie ich das nach n auflösen soll.
Außerdem muss ich das ganze wieder in excel einbauen.
Vielleicht hast du doch noch einen Tipp?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Do 22.06.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo Pellinore,
vielleicht läßt sich dein Problem durch eine Beispielsaufgabe lösen:
Jemand legt 500.000 Euro zu 8 % Jahreszinsen an. Am Ende des ersten Jahres werden 50.000 Euro abgehoben. Auf Grund der Teuerung wird damit gerechnet, dass der Betrag jährlich um 5 % erhöht werden muss. Nach wieviel Jahres ist das angelegte Kapital aufgebraucht?
Lösung:
Es handelt sich um kombinierte Renten- und Zinszahlungen mit Dynamisierung.
Der Ansatz lautet dafür:
[mm] R_n [/mm] = 0= [mm] 500.000*1,08^n [/mm] - 50.000*[mm]\bruch{1,08^n -1,05^n}{1,08-1,05}[/mm]
Multiplikation mit 0,03 ergibt nach einer Umstellung der Glieder
[mm] 50.000(1,08^n -1,05^n) [/mm] = [mm] 15.000*1,08^n
[/mm]
bzw.
[mm]\bruch{1,08^n -1,05^n}{1,08^n}= \bruch{15}{50} oder 1-(\bruch{1,05}{1,08})^n = 0,3 oder (\bruch{1,05}{1,08})^n = 0,7.[/mm]
Logarithmieren führt zu
n*In [mm] (\bruch{1,05}{1,08}) [/mm] = In 0,7
mit Lösung
n = [mm]\bruch{In 0,7}{In(\bruch{1,05}{1,08})[/mm] =[mm]\bruch{In 0,7}{In 1,05- In 1,08}[/mm] = 12,66
EXCEL:
z.B. Zelle A1: beliebige Laufzeit n, z.B. 2
z.B. Zelle A2: =500000*1,08^A1-50000*(1,08^A1-1,05^A1)/(1,08-1,05)
Lösung erfolgt über "Extras/Zielwertsuche".
Zielzelle: (Funktion) A2
Zielwert 0
Veränderbare Zelle: (Laufzeit) A 1
Die gesuchteLauzeit steht dann in der veränderbaren Zelle.
Viele Grüße
Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Di 27.06.2006 | | Autor: | Pellinore |
Vielen Dank Josef,
du hast mir sehr geholfen.
Mit deiner Hilfe habe ich jetzt die richtige Formel, die ich auch in Excel rechnen lassen kann, ohne jedesmal über "Zielsuche" gehen zu müssen.
Mein Ziel war es, einmal die Falldaten erfassen zu müssen, um dann alle gewünschten Analysewerte automatisch zu erhalten. Dazu habe ich jetzt folgende Formel entwickelt und damit passt es:
[mm] n=-log_d(1-(q-g)*\bruch{K_0}{E})
[/mm]
wobei
n=gesuchte Laufzeit
[mm] d=\bruch{g}{q}
[/mm]
q=1+p mit p=jährliche Verzinsung
[mm] g=1+\delta [/mm] mit [mm] \delta [/mm] =jährliche Dynamik
[mm] K_0 [/mm] = Ausgangskapital
E=jährlicher Entnahmebetrag
Das Ganze sieht zwar kompliziert aus, aber einmal erfasst, hat man keinen Aufwand mehr.
Nochmals Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Di 27.06.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo Pellinore,
es freut mich sehr, dass ich dir helfen konnte.
Vielen Dank für deine Rückantwort.
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Mo 07.01.2008 | | Autor: | svenson |
> Hallo Pellinore,
>
> vielleicht läßt sich dein Problem durch eine
> Beispielsaufgabe lösen:
>
> Jemand legt 500.000 Euro zu 8 % Jahreszinsen an. Am Ende
> des ersten Jahres werden 50.000 Euro abgehoben. Auf Grund
> der Teuerung wird damit gerechnet, dass der Betrag jährlich
> um 5 % erhöht werden muss. Nach wieviel Jahres ist das
> angelegte Kapital aufgebraucht?
>
Hallo ertsmal, ich bin neu.
Und gleich eine Frage! Wie würde denn die Formel aussehen, wenn die Auszahlungen monatlich sind im Sinne einer Rente!
Das heißt folgende Daten sind gegeben:
- Jährliche Inflation: 2 %
- Verzinsung des Kapitals mit 7%
- Barwert am Anfang: 1.000.000
- Laufzeit: 25 Jahre
Das bedeuted, die Rente muss jährlich um 2% steigen, im Jahr in sich bleibt sie gleich, allerdings muss die Verzinsung im Jahr berücksichtigt werden!
Kennt jemand die Formel so dass man eine Folge von Auszahlungen für die 25 Jahre erhält?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Di 08.01.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo svenson,
> > Hallo Pellinore,
> >
> >
> > Jemand legt 500.000 Euro zu 8 % Jahreszinsen an. Am Ende
> > des ersten Jahres werden 50.000 Euro abgehoben. Auf Grund
> > der Teuerung wird damit gerechnet, dass der Betrag jährlich
> > um 5 % erhöht werden muss. Nach wieviel Jahres ist das
> > angelegte Kapital aufgebraucht?
> >
>
> Hallo ertsmal, ich bin neu.
>
> Und gleich eine Frage! Wie würde denn die Formel aussehen,
> wenn die Auszahlungen monatlich sind im Sinne einer Rente!
> Das heißt folgende Daten sind gegeben:
> - Jährliche Inflation: 2 %
> - Verzinsung des Kapitals mit 7%
> - Barwert am Anfang: 1.000.000
> - Laufzeit: 25 Jahre
>
> Das bedeuted, die Rente muss jährlich um 2% steigen, im
> Jahr in sich bleibt sie gleich, allerdings muss die
> Verzinsung im Jahr berücksichtigt werden!
>
> Kennt jemand die Formel so dass man eine Folge von
> Auszahlungen für die 25 Jahre erhält?
Bei nomineller Verzinsung von 7 % p.a. und der Inflationsrate von 2 % p.a. ergibt sich die Realverzinsung von [mm] \bruch{1,07}{1,02}-1 [/mm] = 0,0490196 = 4,9 % p.a.
Ansatz:
1.000.000 * [mm] 1,049^{25} [/mm] - [mm] r*[12+\bruch{0,049}{2}*11]*\bruch{1,049^{25}-1}{0,049} [/mm] = [mm] K_{25}
[/mm]
Viele Grüße
Josef
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