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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - e-funktion / ableitungen

e-funktion / ableitungen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

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e-funktion / ableitungen: Problem

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	17:44 Di 15.02.2005
Autor:	le-cube

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

So. Damit wäre die formsache auch beachtet.
Ich habe morgen Klausur und bin inzwischen latent aggressiv deswegen, weil ich in Analysis auf biegen und brechen die Ableitungen nicht hinzukriegen scheine.

hier nur mal zwei Beispiele:
f(x): [mm] s*(x+3)^2 [/mm]
f'(x): 2s*(x+3)

f(x): [mm] e^x [/mm] * [mm] (4-e^x) [/mm]
f'(x): [mm] 2e^x [/mm] * [mm] (2-e^x) [/mm]

das sollen die Angaben mit den Lösungen sein. Was dazwischen passiert leuchtet mir absolut nicht ein. Nach welcher Regel wird da vorgegangen? Und warum und weshalb und überhaupt...

ich hoffe sehr dass ihr mir helfen könnt und einer lernwilligen, aber etwas planlosen Verzweifelten noch Mathe beibringt

e-funktion / ableitungen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:21 Di 15.02.2005
Autor:	Loddar

Hallo le-cube!

Zunächst [willkommenmr]

[willkommenmr]

!!

> So. Damit wäre die formsache auch beachtet.

Nun noch das nächste mal einen nette Begrüßung / Anrede ...

> Ich habe morgen Klausur und bin inzwischen latent
> aggressiv deswegen, weil ich in Analysis auf biegen und
> brechen die Ableitungen nicht hinzukriegen scheine.

Ruhig bleiben ...

Mach Dich doch vielleicht in unserer MatheBank mal vertraut mit den

Ableitungsregeln ...

Aufgabe 1

> [mm]f(x) = s*(x+3)^2[/mm]
> [mm]f'(x) = 2s*(x+3)[/mm]

Da wir hier gegeben haben [mm] $f(\red{x})$, [/mm] können wir den Faktor $s$ als konstant ansehen (

Faktorregel).

Dann wurde hier mit der

Potenzregel sowie der

Kettenregel abgeleitet.

Äußere Funktion:
$g(x) \ = \ [mm] (...)^2$ [/mm]
$g'(x) \ = \ [mm] 2*(...)^1 [/mm] \ = \ 2*(...)$ (gemäß

Potenzregel)

Innere Funktion:
$h(x) \ = \ x+3$
$h'(x) \ = \ 1$

Damit wird aus
$f(x) = [mm] s*(x+3)^2$ [/mm]

$f'(x) \ = \ [mm] \underbrace{s}_{= \ konstant} [/mm] * [mm] \underbrace{2*(x+3)^1}_{= \ aeussere \ Ableitung} [/mm] * [mm] \underbrace{1}_{= \ innere \ Ableitung} [/mm] \ = \ 2s*(x+3)$

Aufgabe 2

> [mm]f(x) = e^x * (4-e^x)[/mm]
> [mm]f'(x) = 2e^x * (2-e^x)[/mm]

Zunächst sollte man wissen, daß gilt: [mm] $\left( \ e^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^x$ [/mm]

Dann wurde hier die

Produktregel angewandt:
[mm] $\left( \ u*v \ \right)' [/mm] \ = \ u'*v \ + \ u*v'$

$u \ = \ [mm] e^x$ [/mm]
$u' \ = \ [mm] e^x$ [/mm]

$v \ = \ [mm] 4-e^x$ [/mm]
$v' \ = \ [mm] 0-e^x [/mm] \ = \ [mm] -e^x$ [/mm]

Dies' setzen wir nun ein:
$f'(x) \ = \ [mm] \underbrace{e^x}_{= \ u'} [/mm] * [mm] \underbrace{(4-e^x)}_{= \ v} [/mm] \ + \ [mm] \underbrace{e^x}_{= \ u} [/mm] * [mm] \underbrace{(-e^x)}_{= \ v'}$ [/mm]

Nun klammern wir den Ausdruck [mm] $e^x$ [/mm] aus:
$f'(x) \ = \ [mm] e^x [/mm] * [mm] \left[ 4 - e^x \ + \ (-e^x) \right]$ [/mm]

$f'(x) \ = \ [mm] e^x [/mm] * [mm] \left( 4 - e^x \ - \ e^x \right)$ [/mm]

$f'(x) \ = \ [mm] e^x [/mm] * [mm] \left( 4 - 2*e^x \right)$ [/mm]

Nun nochmal 2 ausklammern und fertig:
$f'(x) \ = \ [mm] 2*e^x [/mm] * [mm] \left( 2 - 1*e^x \right) [/mm] \ = \ [mm] 2*e^x [/mm] * [mm] \left( 2 - e^x \right)$ [/mm]

Siehst Du nun klar(er) ?

Loddar

e-funktion / ableitungen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	18:53 Di 15.02.2005
Autor:	le-cube

Fantastisch, danke für die Antwort! Ich glaube ich sollte meinem Lehrer mal stecken dass ich die Dinge immer so schnell kapieren könnte wenn man mir die Lösungswege mal erklärt...

also jedenfalls müsste ich das Grundprinzip jetzt verstanden haben. Aber da ja bekanntlich immer ganz besondere Funktionen in Klausuren vorkommen, wie sähe denn eine Funktionsableitung mit einem x in der Potenz aus?

Beispiel 1
f(x): 6-x^(7-x)

Beispiel 2
f(x): 9^(x+3)

Beispiel 3 (mit einer Konstanten in der Potenz)
f(x): 8-5^(6x-b)

? Ich habe gerade versucht, das für mich selbst zu klären, aber ich fürchte, so fähig bin ich dann doch noch nicht... kann ich nochmal um Hilfe bitten?

Und das mit der freundlichen Begrüßung... das krieg ich das nächste Mal sicher auch ganz großartig hin ;-)

;-)

e-funktion / ableitungen: "Anregungen"

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	19:15 Di 15.02.2005
Autor:	Loddar

Hallo!

Für Potenzen mit einer anderen Basis als der natürlichen Zahl $e$ gilt folgendes: [mm] $a^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x * \ln(a)}$ [/mm]

Die Ableitung lautet demnach: [mm] $\left( \ a^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \ln(a) [/mm] * [mm] a^x$ [/mm]

Versuch' Dich doch mit den Hinweisen mal an den Aufgaben 2 + 3 und poste hier Deine Ergebnisse ...

Beispiel 1 ist da etwas komplizierter.
Hier gilt (in Analogie zu oben) : [mm] $x^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x * \ln(x)}$ [/mm]

> Und das mit der freundlichen Begrüßung... das krieg ich das
> nächste Mal sicher auch ganz großartig hin ;-)

;-)

Dann is' ja jut ...

Loddar

e-funktion / ableitungen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	20:28 Di 15.02.2005
Autor:	le-cube

ich hatte schon sowas befürchtet, ja... dass ich jetzt selbst ranmüsste ;-)

;-)

Leider mache im mir-selber-erarbeiten so garkeine gute Figur und deswegen ist da bei mir auch nichts brauchbares bei rausgekommen.

Beispiel 2
f'(x) = ln9 * 9^(x+3)

Beispiel 3
f'(x) = KEINE AHNUNG, da ich nicht weiß was ich mit der 8 ganz vorne im Term anstellen soll

Auch bei Beispiel 1 bin ich immer noch ratlos und außerdem bin ich inzwischen noch über die Terme

f(x) = e^-x
und
f(x) = e^(2x)

gestolpert. Ich weiß, dass von e^-x die Ableitung auch wieder e^-x ist, aber warum weiß ich nicht, ist das irgendwie speziell abgeleitet oder einfach nur wieder so ne Tatsache wie dass die Ableitung von e hoch x auch wieder gleich e hoch x ist?

bei dem e hoch zwei x stehe ich völlig aufm Schlauch.

Kriegen wir die Ableitungen noch alle hin ;-)

;-)

?

e-funktion / ableitungen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	21:11 Di 15.02.2005
Autor:	Loddar

Hallo mal wieder ...

> ich hatte schon sowas befürchtet, ja... dass ich jetzt
> selbst ranmüsste ;-)

;-)

Tja - aber wir verstehen uns hier als Hilfe zur Selbsthilfe, und dann hast Du auch am meisten davon ...

> Beispiel 2
> $f'(x) = ln9 * [mm] 9^{(x+3)}$ [/mm]

Stimmt ...

> Beispiel 3
> f'(x) = KEINE AHNUNG, da ich nicht weiß was ich mit der 8
> ganz vorne im Term anstellen soll

Diese 8 ist doch einfach eine Konstante. Diese fällt beim Ableiten einfach weg bzw. es gilt [mm] $\left( \ a \ \right)' [/mm] \ = \ 0$ !!

$f(x) \ = \ 8 - [mm] 5^{6x-b}$ [/mm]

$f'(x) \ = \ [mm] \left( 8 \right)' [/mm] + [mm] \left(- 5^{6x-b}\right)'$ [/mm]
$f'(x) \ = \ 0 + [mm] \left(- 5^{6x-b}\right)'$ [/mm]

Der rechte Term ist wieder mal einen verkettete Funktion:

$g(x) \ = \ [mm] -5^{(...)} [/mm] \ = \ [mm] (-1)*5^{(...)} [/mm] $
$g'(x) \ = \ (-1) * [mm] \ln(5) [/mm] * [mm] 5^{(...)}$ [/mm]

$h(x) \ = \ (...) \ = \ 6x-b$
$h'(x) \ = \ 6$

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]
$f'(x) \ = \ 0 + [mm] \underbrace{(-1) * \ln(5) * 5^{(...)}}_{= \ g'(x)} [/mm] \ * \ [mm] \underbrace{6}_{= \ h'(x)} [/mm] \ = \ -6 * [mm] \ln(5) [/mm] * [mm] 5^{(...)} [/mm] \ = \ [mm] -6*\ln(5)*5^{6x-b}$ [/mm]

Nächstes Beispiel:
> $f(x) = [mm] e^{-x}$ [/mm]

Wir haben hier mal wieder ;-)

;-)

eine verkettete Funktion mit - also

Kettenregel :

$g(x) \ = \ [mm] e^{(...)}$ [/mm]
$g'(x) \ = \ [mm] e^{(...)}$ [/mm]

$h(x) \ = \ (...) \ = \ -x \ = \ (-1)*x$
$h'(x) \ = \ -1$

[mm] $\Rightarrow$ [/mm]
$f'(x) \ = \ [mm] \underbrace{e^{(...)}}_{= \ aeuss. \ Abl. \ = \ g'(x)} [/mm] \ * \ [mm] \underbrace{(-1)}_{= \ inn. \ Abl. \ = \ h'(x)} [/mm] \ = \ (-1) * [mm] e^{(...)} [/mm] \ = \ - [mm] e^{-x}$ [/mm]

Versuch' jetzt mal nach dieser Methode, Deine folgende Aufgabe zu lösen:
$f(x) = [mm] e^{2x}$ [/mm]

> Kriegen wir die Ableitungen noch alle hin ;-)

;-)

?

Klar doch ...

Loddar

PS: Dein Beispiel 1 lassen wir mal außen vor, das würde Dich jetzt zu sehr verwirren ...

e-funktion / ableitungen: Dein Beispiel 1

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	21:40 Di 15.02.2005
Autor:	Loddar

Hallo nochmal!

Nur der Vollständigkeit halber die Ableitung zu Deinem Beispiel 1.

Aber bitte nicht verzweifeln oder erschrecken

, das wird ganz bestimmt nicht in Deiner morgigen Klausur rankommen ...

In diesem Beispiel mußt Du

Kettenregel und

Produktregel anwenden.

$f(x) \ = \ 6 - [mm] x^{7-x} [/mm] \ = \ 6 - [mm] e^{(7-x) * \ln(x)}$ [/mm]

$f'(x) \ = \ [mm] \left( 6 \right)' [/mm] + [mm] \left(- e^{(7-x) * \ln(x)}\right)'$ [/mm]
$f'(x) \ = \ 0 + [mm] \left(- e^{(7-x) * \ln(x)}\right)'$ [/mm]

Der rechte Term ist wieder mal einen verkettete Funktion:

$g(x) \ = \ [mm] -e^{(...)} [/mm] \ = \ [mm] (-1)*e^{(...)} [/mm] $
$g'(x) \ = \ (-1) * [mm] e^{(...)}$ [/mm]

$h(x) \ = \ (...) \ = \ (7-x) * [mm] \ln(x)$ [/mm]

Mit der

Produktregel folgt:
$u \ = \ 7-x$
$u' \ = -1$

$v \ = \ [mm] \ln(x)$ [/mm]
$v' \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$ $\leftarrow$ feststehende Regel: $\left( \ \ln(x) \ \right)' \ = \ \bruch{1}{x}$ ! $h'(x) \ = \ \underbrace{(-1)}_{= \ u'} * \underbrace{\ln(x)}_{= \ v} \ + \ \underbrace{(7-x)}_{= \ u} * \underbrace{\bruch{1}{x}}_{= \ v'} \ = \ -\ln(x) + \bruch{7-x}{x} \ = \ -\ln(x) + \left( \bruch{7}{x} - 1 \right) \ = \ \bruch{7}{x} - \ln(x) - 1$ $\Rightarrow$ $f'(x) \ = \ 0 + \underbrace{(-1) * e^{(...)}}_{= \ g'(x)} \ * \ \underbrace{ \left(\bruch{7}{x} - \ln(x) - 1 \right)}_{= \ h'(x)} \ = \ - \left(\bruch{7}{x} - \ln(x) - 1 \right) * e^{(7-x) * \ln(x)} \ = \ - \left(\bruch{7}{x} - \ln(x) - 1 \right) * x^{7-x}$ [/mm]

e-funktion / ableitungen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	22:05 Di 15.02.2005
Autor:	le-cube

oooookay... dir auch wieder mal hallo, nachdem du mich jedes mal so freundlich begrüsst :-)

:-)

Bist du dir sicher dass meine Ableitung stimmt? ich kann es kaum fassen... bin von mir selbst ganz begeistert. Hach.

Nach langem Überlegen habe ich nun auch endlich Bsp 3 begriffen, mein Denkfehler lag daran, dass ich nicht mit der Ableitung der inneren Funktion nachmultipliziert hatte, ich habe einfach nicht daran gedacht dass da die Kettenregel auch noch angewandt werden muss und habe mich rein auf ln(a) * [mm] a^x [/mm] versteift. Bei Bsp. 2 fiel das jedoch nicht weiter auf, weil die Ableitung der inneren Funktion, also der Faktor mit dem ich nachmultiplizieren hätte sollen, eh 1 war :-)

:-)

Bei der Ableitung von e^2x ist mir jetzt allerdings gerade was aufgefallen: ich kann innere und äußere Funktion nicht unterscheiden. Denn mal haben wir den Faktor vor der Potenz als äußere bezeichnet (z.B. bei 5^(6x-b)) und mal die Potenz (z.B. bei [mm] (x+3)^2 [/mm]

Gibts da irgendwelche Patentlösungen?

Aber eine Frage noch... wenn wir s als Konstante sehen und 8 (aus bsp 3) auch, warum bleibt dann s und acht fällt raus? ich hatte mir das nämlich auch überlegt, dass die acht ja einfach wegfällt bei der Ableitung, aber dann fiel mir die Sache mit dem S ein un dich war... wie soll ich sagen... leicht verwirrt ;-)

;-)

! Und dann, in der Ableitung der inneren Funktion (6x-b) wäre ja dann b praktisch auch Konstante und fliegt auch raus... wa-rum? Wo ist da der Unterschied zwischen Konstante und Konstante? Konstante s, Konstante 8, Konstante b... Kon-stan-te

na wenigstens kann ich das Wort schon mal richtig trennen ;-)

;-)

e-funktion / ableitungen: Erläuterungen

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	22:30 Di 15.02.2005
Autor:	Loddar

> oooookay... dir auch wieder mal hallo, nachdem du mich
> jedes mal so freundlich begrüsst :-)

:-)

> Bist du dir sicher dass meine Ableitung stimmt? ich kann es
> kaum fassen... bin von mir selbst ganz begeistert. Hach.

Fein! ;-)

;-)

> Nach langem Überlegen habe ich nun auch endlich Bsp 3
> begriffen, mein Denkfehler lag daran, dass ich nicht mit
> der Ableitung der inneren Funktion nachmultipliziert hatte,
> ich habe einfach nicht daran gedacht dass da die
> Kettenregel auch noch angewandt werden muss und habe mich
> rein auf ln(a) * [mm]a^x[/mm] versteift. Bei Bsp. 2 fiel das jedoch
> nicht weiter auf, weil die Ableitung der inneren Funktion,
> also der Faktor mit dem ich nachmultiplizieren hätte
> sollen, eh 1 war

> Bei der Ableitung von [mm] $e^{2x}$ [/mm] ist mir jetzt allerdings gerade
> was aufgefallen: ich kann innere und äußere Funktion nicht
> unterscheiden. Denn mal haben wir den Faktor vor der Potenz
> als äußere bezeichnet (z.B. bei 5^(6x-b)) und mal die
> Potenz (z.B. bei [mm](x+3)^2[/mm]
>
> Gibts da irgendwelche Patentlösungen?

In unserem Beispiel ist:
$g(x) = [mm] e^{(...)}$ [/mm]
$g'(x) = [mm] e^{(...)}$ [/mm]

$h(x) = 2x$
$h'(x) = 2$

$f'(x) = ...$

Versuche doch auch einfach mal, leere Klammern zu setzen $(...)$ und so Funktionen zu erzeugen, deren Ableitung Du kennst.

Zudem ist die Bezeichnung innere Ableitung sowie äußere Ableitung nicht zufällig ;-)

;-)

.

In unserem Besipiel mußt Du zunächst x mit 2 multiplizieren.
Und auf diesen gesamten Term 2x wird dann anschließend die e-Funktion angewendet. Du arbeitest Dich also von innen nach außen vor. So sollte man die innere und äußere Funktion erkennen ...

> Aber eine Frage noch... wenn wir s als Konstante sehen und
> 8 (aus bsp 3) auch, warum bleibt dann s und acht fällt
> raus? ich hatte mir das nämlich auch überlegt, dass die
> acht ja einfach wegfällt bei der Ableitung, aber dann fiel
> mir die Sache mit dem S ein und ich war... wie soll ich
> sagen... leicht verwirrt ;-)

;-)

! Und dann, in der Ableitung
> der inneren Funktion (6x-b) wäre ja dann b praktisch auch
> Konstante und fliegt auch raus... wa-rum? Wo ist da der
> Unterschied zwischen Konstante und Konstante? Konstante s,
> Konstante 8, Konstante b... Kon-stan-te

Du mußt unterscheiden zwischen Konstanten, ...

... die addiert bzw. subtrahiert werden.
Diese Konstanten fallen weg (wie in unserem Beispiel mit der "8").

... die multipliziert bzw. dividiert werden.
Diese Konstanten bleiben unverändert erhalten (wie das "s").

Beispiel(e):

$y = [mm] 3*x^2$ [/mm]
$y' = [mm] 3*2*x^1 [/mm] = 3*2*x = 6x$

$y = x + 4$
$y' = 1 + 0 = 1$

Hast Du Dir in der MatheBank mal die verschiedenen

Ableitungsregeln angesehen?

Loddar

e-funktion / ableitungen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	22:39 Di 15.02.2005
Autor:	le-cube

Ja klar habe ich mir die Ableitungsregeln angesehen, aber nur weil da irgendwas steht was ganz offensichtlich grundrichtig zu sein scheint, heißt das nicht, dass ich es auch auf Anhieb immer kapiere.

Ich denke manchmal über 1000 Ecken und verwirre mich damit selbst, deswegen brauche ich wen der mir im Zweifelsfall das ganze nochmal vorkaut sodass ich dann zu meinem ganz persönlichen AHA-Erlebnis kommen kann.

Und hey, du machst die Sache mit dem Erklären wirklich fabelhaft, kann ich dich als privaten Matheguru einstellen ;-)

;-)

?

Im übrigen denke ich, dass ich die SAche nun wirklich kapiert habe... magst du mich vielleicht mal probehalber testen und mir ne Aufgabe stellen? Und bedenke, je schwerer, desto wahrscheinlicher dass ich sie nicht kann und desto wahrscheinlicher, dass es noch ne Zeit lang dauert bis du mich heute loskriegst :-P

Ich hab grad sowas wie Ehrgeiz. Das hab ich nicht besonders oft...

e-funktion / ableitungen: Aufgaben

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	22:49 Di 15.02.2005
Autor:	Loddar

> Ich denke manchmal über 1000 Ecken und verwirre mich damit
> selbst, deswegen brauche ich wen der mir im Zweifelsfall
> das ganze nochmal vorkaut sodass ich dann zu meinem ganz
> persönlichen AHA-Erlebnis kommen kann.

Hauptsache, dieser AHA-Effekt kommt ...

> Und hey, du machst die Sache mit dem Erklären wirklich
> fabelhaft, kann ich dich als privaten Matheguru einstellen ?

1. muß ich mir jetzt den Honig aus dem Gesicht waschen, den Du mir hier um's Maul schmierst.

2. hast Du wohl keine Ahnung, was so'ne Ingenieur-Stunde kostet! ;-)

;-)

> Im übrigen denke ich, dass ich die SAche nun wirklich
> kapiert habe... magst du mich vielleicht mal probehalber
> testen und mir ne Aufgabe stellen? Und bedenke, je
> schwerer, desto wahrscheinlicher dass ich sie nicht kann
> und desto wahrscheinlicher, dass es noch ne Zeit lang
> dauert bis du mich heute loskriegst :-P

In einer ½ Stunde gehe ich definitiv nach Hause, denn sonst ist die letzte Bahn weg ...

[a] $y = [mm] (1-3x)^3$ [/mm]

[b] $y = [mm] e^{4x+5}$ [/mm]

[c] $y = 4 * [mm] 3^{x^2}$ [/mm]

Ansonsten findest Du in unserer MatheBank auch einige Aufgaben ...

Loddar

e-funktion / ableitungen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	23:07 Di 15.02.2005
Autor:	le-cube

a)
3 * (1-3x) * (-3)
dann käme -9+27x raus (falls ich mich nicht verrechnet habe), allerdings bin ich mir momentan grad nicht sicher, ob ich dann die Potenz der f(x) noch weiter beachte und um eins herabsetzen und als ^2 weiterverwenden muss oder ob ich richtig gerechnet habe

und von den letzten beiden sag mir lieber einfach noch kurz die Lösungen bevor du gehst, dann rechne ich danach in Ruhe nach, nicht dass ich mich hier zu lange aufhalte und dann steh ich dumm da

merci beaucoup

e-funktion / ableitungen: Kontrollergebnisse

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	23:15 Di 15.02.2005
Autor:	Loddar

> a)
> 3 * (1-3x) * (-3)
> dann käme -9+27x raus (falls ich mich nicht verrechnet
> habe),

> allerdings bin ich mir momentan grad nicht sicher,
> ob ich dann die Potenz der f(x) noch weiter beachte und um
> eins herabsetzen und als ^2 weiterverwenden muss

AHAA!! Ganz genau!
Was ergibt denn: [mm] $\left[ \ (...)^{\red{3}} \ \right]'$ [/mm] ???
Bzw. was ist denn die Ableitung von [mm] $x^{\red{3}}$ [/mm] ??

.

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[a] $y' = -9 * [mm] (1-3x)^2$ [/mm]

[b] $y' = 4 * [mm] e^{4x+5}$ [/mm]

[c] $y' = [mm] \ln(3) [/mm] * 8x * [mm] 3^{x^2}$ [/mm]

Bitte nachrechnen !!!

Loddar

e-funktion / ableitungen: Und natürlich ...

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	23:24 Di 15.02.2005
Autor:	Loddar

.

... viel Erfolg morgen in der Klausur !!!

Grüße
Loddar

e-funktion / ableitungen: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	23:36 Di 15.02.2005
Autor:	le-cube

Also bei

a) komme ich jetzt auf -9 * [mm] (1-3x)^2 [/mm] und hoffe sehr dass das nun stimmt
b) bekomme ich dasselbe raus
c) ist mir völlig schleierhaft aber da beweise ich jetzt einfach mal MUT ZUR LÜCKE ;-)

;-)

Danke für deine Hilfe und für die Wünche für morgen!

Dir ebenfalls eine Gute Nacht!

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