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| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral:
[mm] \integral_{2}^{4}{\bruch{1}{1-x^2}dx} [/mm] |
Hallo,
kann mir da jemand weiterhelfen? Irgendwie steh ich auf dem Schlauch.
Wenn ich das integriere, müsste ich doch erst einmal auf
[mm] ln(1-x^2) [/mm] kommen, aber da fehlt ja jetzt noch was vom "nachintegrieren".
Ich muss irgendwie auf
[mm] \bruch{1}{2}(ln\bruch{5}{3}-ln3)
[/mm]
kommen.
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Hallo student!
Unterziehe diesen Bruch einer Partialbruchzerlegung:
[mm] $\bruch{1}{1-x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(1+x)*(1-x)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{1+x}+\bruch{B}{1-x}$
[/mm]
Anschließend kannst Du beide Brüche seperat integrieren.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:54 Mo 01.11.2010 | | Autor: | student87 |
Ich komme damit leider immer noch nicht zum Ergebnis.
> Unterziehe diesen Bruch einer Partialbruchzerlegung:
>
> [mm]\bruch{1}{1-x^2} \ = \ \bruch{1}{(1+x)*(1-x)} \ = \ \bruch{A}{1+x}+\bruch{B}{1-x}[/mm]
soweit versteh ich das. ich komme dann auf
[mm] A=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] B=\bruch{-1}{2}
[/mm]
Dann müsste das Integral doch so aussehen:
[mm] \integral_{2}^{4}\bruch{1}{2x-2}-\bruch{1}{2x+2}{ dx} [/mm] ist das soweit richtig?
Jetzt stehe ich aber immer noch vor dem alten Problem. Wie integriere ich das?
ln(2x-2) - ln(2x+2) passt nicht, wo ist der Fehler?
Gruß
student87
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Disap |
Hallo
> Ich komme damit leider immer noch nicht zum Ergebnis.
>
> > Unterziehe diesen Bruch einer Partialbruchzerlegung:
> >
> > [mm]\bruch{1}{1-x^2} \ = \ \bruch{1}{(1+x)*(1-x)} \ = \ \bruch{A}{1+x}+\bruch{B}{1-x}[/mm]
>
> soweit versteh ich das. ich komme dann auf
> [mm]A=\bruch{1}{2}[/mm] und
> [mm]B=\bruch{-1}{2}[/mm]
Ja, genau. Also
[mm] $\frac{1}{2*(1+x)} [/mm] - [mm] \frac{1}{2(x-1)}$
[/mm]
> Dann müsste das Integral doch so aussehen:
>
> [mm]\integral_{2}^{4}\bruch{1}{2x-2}-\bruch{1}{2x+2}{ dx}[/mm] ist
> das soweit richtig?
Na rechne lieber mit meinem Term weiter, das hat den Vorteil, dass die 2 ausgeklammert ist, also
[mm] $\int \frac{1}{2*(1+x)}dx [/mm] - [mm] \int \frac{1}{2(x-1)} [/mm] dx$
und jetzt mach weiter mit Substitution
z:= 1+x (beim ersten Integral)
[mm] $\int \frac{1}{2}*\frac{1}{z}dz$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}*ln(z) [/mm] = 0.5*ln(1+x)$
> Jetzt stehe ich aber immer noch vor dem alten Problem. Wie
> integriere ich das?
>
> ln(2x-2) - ln(2x+2) passt nicht, wo ist der Fehler?
Der Fehler ist, dass z'(x) = 1 bei mir extra so gewählt wurde, bei dir ist z' = +2. Der Faktor ist wohl beim Integrieren abhanden gekommen.
Du musst nicht ausklammern, kannst es gerne noch mal mit deinem Ansatz versuchen und sehen, dass bei beiden "Methoden" dasselbe herauskommt.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Mo 01.11.2010 | | Autor: | student87 |
Danke! Das war die Erklärung die ich brauchte!
Gruß
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