erzeugter Unterring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Sa 24.01.2009 | | Autor: | one |
| Aufgabe | Finden Sie
a) den von x erzeugten Unterring von [mm] \IQ[x]
[/mm]
b) den von x erzeugten [mm] \IQ-Untermodul [/mm] von [mm] \IQ[x]. [/mm] |
Bei a) bin ich wie folgt vorgegangen:
<x> := [mm] \bigcap_{S \in L_{x}} [/mm] S , wobei [mm] L_{x} [/mm] = {S [mm] \subset [/mm] R Unterring | x [mm] \subset [/mm] S}.
S ist also der von x erzeugte Untterring von R.
<x> = [mm] \IZ[x] [/mm] := S
Zuerst habe ich dann gezeigt, dass S überhaupt ein Unterring von [mm] \IQ[x] [/mm] ist. Das war nicht sehr schwierig.
Danach wollte ich <x> = S beweisen.
Zuerst die eine Richtung:
[mm] "\subseteq" [/mm] :
S enthält [mm] \IZ, [/mm] und S enthält x. Also ok.
Doch für die andere Richtung weiss ich nicht genau, wie weiter...?
Bei b) wusste ich dann nicht so genau, wie ich vorgehen soll.
Es gilt ja:
[mm] \IQ[x] \cong \IQ \oplus \IQ*x \oplus \IQ*x^{2} \oplus [/mm] ...
Meine Behauptung lautet nun, dass [mm] \IQ*x [/mm] der von x erzeugte [mm] \IQ-Untermodul [/mm] ist.
Danach habe ich mal gezeigt, dass [mm] \IQ*x [/mm] ein Untermodul ist. Das war nicht sehr schwierig.
Doch wie kann ich nun zeigen, dass [mm] \IQ*x [/mm] der von x erzeugte [mm] \IQ-Untermodul [/mm] ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 Sa 24.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> <x> := [mm]\bigcap_{S \in L_{x}}[/mm] S , wobei [mm]L_{x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {S [mm]\subset[/mm] R
> Unterring | x [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
S}.
>
> S ist also der von x erzeugte Untterring von R.
>
> <x> = [mm]\IZ[x][/mm] := S
Wie definierst du denn nun <x>? Du hast es zweimal defineirt ... ich nehme mal an, das erste ist die Definition, und du möchtest zeigen, es entspricht [mm]\IZ[x][/mm]?
> Zuerst die eine Richtung:
Es reicht offenbar zu zeigen, dass [m]\IZ[x]\subset [/m] ist, denn es ist ja ein Unterring und damit gleich dem Schnitt.
> S enthält [mm]\IZ,[/mm] und S enthält x. Also ok.
Bitte was? Kannst du das ausführen und sagen, was denn nun S genau sein soll? Wieso sollte [m]\IZ[/m] denn enthalten sein?
> Meine Behauptung lautet nun, dass [mm]\IQ*x[/mm] der von x erzeugte
> [mm]\IQ-Untermodul[/mm] ist.
> Danach habe ich mal gezeigt, dass [mm]\IQ*x[/mm] ein Untermodul
> ist. Das war nicht sehr schwierig.
>
> Doch wie kann ich nun zeigen, dass [mm]\IQ*x[/mm] der von x erzeugte
> [mm]\IQ-Untermodul[/mm] ist?
In dme du zeigst, dass dieser Modul in jedem Modul entahlten ist, der x enthält.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mo 26.01.2009 | | Autor: | one |
>
> Wie definierst du denn nun <x>? Du hast es zweimal
> defineirt ... ich nehme mal an, das erste ist die
> Definition, und du möchtest zeigen, es entspricht [mm]\IZ[x][/mm]?
Ja genau, ich möchte zeigen, dass <x> = [mm] \IZ[x]. [/mm] Als abkürzung habe ich danach für [mm] \IZ[x] [/mm] jeweils S geschrieben.
>
> > Zuerst die eine Richtung:
>
> Es reicht offenbar zu zeigen, dass [m]\IZ[x]\subset [/m] ist,
> denn es ist ja ein Unterring und damit gleich dem Schnitt.
Also dies habe ich nun nicht ganz begriffen. Wie meinst du dies genau?
>
> > S enthält [mm]\IZ,[/mm] und S enthält x. Also ok.
>
> Bitte was? Kannst du das ausführen und sagen, was denn nun
> S genau sein soll? Wieso sollte [m]\IZ[/m] denn enthalten sein?
Also S habe ich ja definiert als [mm] \IZ[x]. [/mm] Deshalb ist doch [mm] \IZ [/mm] und x in S enthalten, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Mo 26.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ja genau, ich möchte zeigen, dass <x> = [mm]\IZ[x].[/mm] Als
> abkürzung habe ich danach für [mm]\IZ[x][/mm] jeweils S
> geschrieben.
Jeweils nicht so toll ... das sind ja a priori unterschiedliche Sachen!
> > Es reicht offenbar zu zeigen, dass [m]\IZ[x]\subset [/m] ist,
> > denn es ist ja ein Unterring und damit gleich dem Schnitt.
>
> Also dies habe ich nun nicht ganz begriffen. Wie meinst du
> dies genau?
Also, da [m]x\in\IZ[x][/m] ist dies ein Unterring, der xenthält. Daher [m]\subset \IZ[x][/m]. Deswegen genügt die andere Richtung vollkommen - und die hast du nicht gezeigt, btw (sie ist auch falsch nach meiner Def. von Unterring - was ist denn deine?)
> Also S habe ich ja definiert als [mm]\IZ[x].[/mm] Deshalb ist doch
> [mm]\IZ[/mm] und x in S enthalten, oder?
Du bringst da wieder mehrere S! So geht's nicht! Und wieso sollte [m]\IZ[/m] enthalten sein?
SEcki
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