gemischte Ableitung bilden < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | habe diese Funktion:
[mm] f(x,y)=(x^2-y^2)*e^-^{^x^+^y^} [/mm]
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Ich muss nun aus dieser Funktion die gemichte Ableitung bilden,kann mir bitte jemand sagen,wie das geht,danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Scientyst,
habe ich dich richtig verstanden, du möchtest [mm] $\bruch{\partial^{2}}{\partial x\partial y}f(x,y)$ [/mm] für [mm] $f(x,y)=(x^{2}-y^{2})\exp{(-(x+y))}$ [/mm] bestimmen?!
Dazu könntest du zuerst (die Reihenfolge ist aber egal!) [mm] $\bruch{\partial}{\partial x}\left((x^{2}-y^{2})\exp{(-(x+y))}\right)$ [/mm] ausrechnen, d.h. du leitest ganz normal nach $x$ ab und behandelst $y$ dabei wie eine Konstante.
Anschließend bildest du [mm] $\bruch{\partial}{\partial y}\left(\bruch{\partial}{\partial x}\left((x^{2}-y^{2})\exp{(-(x+y))}\right)\right)$, [/mm] d.h. du leitest den eben erhaltenen Term nach $y$ ab und behandelst dabei $x$ wie eine Konstante.
Alles klar? Wenn du magst, kannst du uns ja anschließend mitteilen, was du raus hast...
MFG,
Yuma
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Wenn ich die partielle Ableitung nach x von
[mm] $\bruch{\partial}{\partial x}\left((x^{2}-y^{2})\exp{(-(x+y))}\right)$
[/mm]
gebildet habe: 2x*[-exp(-(x+y))] muss ich also diese Ableitung nochmal nach y ableiten und bekomme dann das raus:-exp-(x+y)
Diese partielle Ableitung kann ich dann in die Hesse Matrix einsetzen oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Halo Scientyst,
> Wenn ich die partielle Ableitung nach x von [mm]\bruch{\partial}{\partial x}\left((x^{2}-y^{2})\exp{(-(x+y))}\right)[/mm] gebildet habe: 2x*[-exp(-(x+y))]
Vorsicht, du musst hier die Kettenregel benutzen, sonst geht's schief!
> Diese partielle Ableitung kann ich dann in die Hesse Matrix
> einsetzen oder???
Das kommt natürlich darauf an, was du vorhast?! 
MFG,
Yuma
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also nochmal
partielle Ableitung nach x: [mm] exp-(x+y)[2x-x^2+y^2]
[/mm]
und dann nach y: [mm] exp-(x+y)[2x-x^2+y^2+2y]
[/mm]
richtig so????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Scientyst,
> partielle Ableitung nach x: [mm]exp-(x+y)[2x-x^2+y^2][/mm]
Das ist richtig!
> und dann nach y: [mm]exp-(x+y)[2x-x^2+y^2+2y][/mm]
Hier hab ich die Vorzeichen etwas anders: [mm] $\exp{(-(x+y))}\cdot(x^{2}-y^{2}-2x+2y)$.
[/mm]
Suchst du lokale Extrema von $f$, oder warum fragtest du nach der Hesse-Matrix?
MFG,
Yuma
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Ich wurschtel mich gerade durch diese Aufgabe hier:
Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] mit [mm] f(x,y)=(x^2-y^2)*exp-(x+y)
[/mm]
Ich muss alle relativen extrema und Sattelpunkte bestimmen.
Habe bis jetzt diese partielle Ableitungen:
[mm] fx(x,y)=exp-(x+y)[-x^2+y^2+2x]
[/mm]
[mm] fxx(x,y)=exp-(x+y)[x^2-y^2-4x+2]
[/mm]
[mm] fy(x,y)=exp-(x+y)[-x^2+y^2-2y]
[/mm]
[mm] fyy(x,y)=exp-(x+y)[x^2-y^2+4y-2]
[/mm]
und die gemischte Ableitung
[mm] \exp{(-(x+y))}\cdot(x^{2}-y^{2}-2x+2y)
[/mm]
Habe jetzt den Gradienten der 1 partiellen Ableitung gebildet.
Da kam dann x=-y ; y=-x heraus.
Jetzt habe ich die Nullstellen berechnet.
Nullstellen:
x1=1
x2=0
y1=0
y2=-2
Wie bekomme ich denn jetzt mit der Hesse Matrix heraus was das für extrema sind,danke.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Scientyst,
> Ich wurschtel mich gerade durch diese Aufgabe hier:
Du Armer! Das ist immer viel Fummelei...
> Habe bis jetzt diese partielle Ableitungen:
> [mm]f_{x}(x,y)=\exp{(-(x+y))}(-x^{2}+y^{2}+2x)[/mm]
> [mm]f_{xx}(x,y)=\exp{(-(x+y))}(x^{2}-y^{2}-4x+2)[/mm]
> [mm]f_{y}(x,y)=\exp{(-(x+y))}(-x^{2}+y^{2}-2y)[/mm]
> [mm]f_{yy}(x,y)=\exp{(-(x+y))}(x^{2}-y^{2}+4y-2)[/mm]
> und die gemischte Ableitung
> [mm]f_{xy}(x,y)=\exp{(-(x+y))}(x^{2}-y^{2}-2x+2y)[/mm]
Die Ableitungen sind alle korrekt! 
> Habe jetzt den Gradienten der 1 partiellen Ableitung
> gebildet.
> Da kam dann x=-y
Das ist eine notwendige Bedingung dafür, dass der Gradient verschwindet, keine hinreichende!
Meiner Meinung nach ist der Nullpunkt $(0,0)$ der einzige Punkt, in dem der Gradient verschwindet.
> Wie bekomme ich denn jetzt mit der Hesse Matrix heraus was
> das für extrema sind,danke.
Tja, du müsstest zeigen, ob die Hesse-Matrix an dieser Stelle positiv oder negativ definit ist (lok. Minimum oder lok. Maximum) oder indefinit ist (kein lok. Extremum).
Ich weiß aber nicht, ob dir diese Begriffe etwas sagen?!
Die Hesse-Matrix im Nullpunkt ist [mm] $\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 }$. [/mm] Diese Matrix ist indefinit, denn sie hat einen positiven und einen negativen Eigenwert.
D.h. die Funktion $f(x,y)$ hat keine lokalen Extrema. Ob man bei $(0,0)$ von einem "Sattelpunkt" sprechen kann, das weiß ich leider nicht, weil ich in meinen Analysis-Büchern darüber keine Informationen finden konnte.
Falls du beim letzten Absatz nur Bahnhof verstanden hast, musst du mir vielleicht mal kurz schildern, welche Kriterien für lokale Extrema du kennst. Es kann sein, dass ihr konkreter formulierte Kriterien benutzt, um die Begriffe aus der linearen Algebra zu vermeiden...
MFG,
Yuma
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Wie war das nochmal mit der Hesse Matrix?? Die setzt sich doch galube ich aus der 2 partiellen Ableitung (einmal nach x und nach y) zusammen und der 2 gemischten Ableitung zusammen oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Do 09.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Scientyst,
> Wie war das nochmal mit der Hesse Matrix?? Die setzt sich
> doch galube ich aus der 2 partiellen Ableitung (einmal nach
> x und nach y) zusammen und der 2 gemischten Ableitung
> zusammen oder???
Ja genau! Die Hesse-Matrix ist in deinem Fall einer Funktion [mm] $f:\IR^{2} \to\IR$:
[/mm]
[mm] $H_{f}(x,y)=\pmat{ \bruch{\partial^{2}}{\partial x^{2}}f(x,y) & \bruch{\partial^{2}}{\partial x \partial y}f(x,y) \\ \bruch{\partial^{2}}{\partial x \partial y}f(x,y) & \bruch{\partial^{2}}{\partial y^{2}}f(x,y) }$
[/mm]
D.h. [mm] $H_{f}(0,0)= \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 }$, [/mm] und diese Matrix ist -wie gesagt- indefinit,
d.h. es liegt dort kein lokales Extremum vor!
MFG,
Yuma
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Habe mal in meinen Unterlagen nachgeschaut und diese Kriterien gefunden:
1. Det. positiv und 2. Det. positiv --> Tiefpunkt
2. Det. negativ und 2 Det. postitiv --> Hochpunkt
3. Det. ungleich 0 und 2. Det. kleiner 0...........Sattelpunkt
4. Det. gleich 0 und 2. Det. gleich 0...........keine Aussage möglich
Weiss du wie das mit der Determinante gemeint ist???
Ich muss doch für die Hesse Matrix von der 2 partiellen Ableitung die gemischte Ableitung bilden oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Do 09.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Scientyst,
> Habe mal in meinen Unterlagen nachgeschaut und diese
> Kriterien gefunden:
>
> 1. Det. positiv und 2. Det. positiv --> Tiefpunkt
> 2. Det. negativ und 2 Det. postitiv --> Hochpunkt
> 3. Det. ungleich 0 und 2. Det. kleiner
> 0...........Sattelpunkt
> 4. Det. gleich 0 und 2. Det. gleich 0...........keine
> Aussage möglich
>
> Weiss du wie das mit der Determinante gemeint ist???
Die Determinante einer Hesse-Matrix einer Funktion [mm] $f:\IR^{2}\to\IR$ [/mm] ist
[mm] $\det{H_{f}(x,y)}=\left(\bruch{\partial^{2}}{\partial x^{2}}f(x,y)\right)\cdot\left(\bruch{\partial^{2}}{\partial y^{2}}f(x,y)\right)-\left(\bruch{\partial^{2}}{\partial x \partial y}f(x,y)\right)^{2}$,
[/mm]
also im Falle des Nullpunktes $(0,0)$ gilt: [mm] $\det{H_{f}(0,0)}=-4<0$.
[/mm]
Was allerdings mit der "zweiten Determinante" gemeint ist, weiß ich leider nicht - ist das irgendwo dokumentiert?
> Ich muss doch für die Hesse Matrix von der 2 partiellen
> Ableitung die gemischte Ableitung bilden oder???
Nochmal... die Hesse-Matrix ist [mm] $H_{f}(x,y)=\pmat{ \bruch{\partial^{2}}{\partial x^{2}}f(x,y) & \bruch{\partial^{2}}{\partial x \partial y}f(x,y) \\ \bruch{\partial^{2}}{\partial x \partial y}f(x,y) & \bruch{\partial^{2}}{\partial y^{2}}f(x,y) }$.
[/mm]
Und alle Ableitungen, die du dazu brauchst, haben wir bereits berechnet (schau vielleicht nochmal in den oberen Antworten nach!)
MFG,
Yuma
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Habe das jetzt nochmal durchgerechnet und habe auch nurdie Nullstelle (0,0) heraus bekommen.Jetzt muss ich dann einfach x=0 und y=0 in die ableitungen einsetzten und bekomme dann meine Matrix oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Do 09.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Scientyst,
> Habe das jetzt nochmal durchgerechnet und habe auch nurdie
> Nullstelle (0,0) heraus bekommen.Jetzt muss ich dann
> einfach x=0 und y=0 in die ableitungen einsetzten und
> bekomme dann meine Matrix oder???
Richtig, ich habe dir die Hesse-Matrix für den Nullpunkt ja auch mittlerweile schon mehrmals gepostet...
Konntest du denn herausfinden, was mit der "zweiten Determinante" (siehe voriges Posting) gemeint ist?
MFG,
Yuma
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Do 09.02.2006 | | Autor: | scientyst |
Hi,
habe das hier auf http://de.wikipedia.org gefunden:
Mit Hilfe der Hesse-Matrix H lässt sich der Charakter der kritischen Punkte einer Abbildung in bestimmen. Dazu bestimmt man für die zuvor ermittelten kritischen Punkte die Eigenwerte der Hesse-Matrix H. Sind für einen Punkt x alle Eigenwerte der Hesse-Matrix von f größer als 0, d. h. ist H positiv definit, so ist der Punkt ein lokales Minimum der Funktion. Sind alle Eigenwerte kleiner als 0, d.h. ist H negativ definit, so handelt es sich um ein lokales Maximum. Der Fall, dass sowohl Werte größer als 0, als auch kleiner als 0 vorkommen, tritt auf, wenn es sich um einen Sattelpunkt der Funktion handelt. In diesem Fall ist die Matrix H indefinit. Ist 0 ein Eigenwert, so muss der Charakter des kritischen Punktes auf anderem Wege ermittelt werden.
Danke nochmal.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Do 09.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Scientyst,
> Mit Hilfe der Hesse-Matrix H lässt sich der Charakter der
> kritischen Punkte einer Abbildung in bestimmen. Dazu
> bestimmt man für die zuvor ermittelten kritischen Punkte
> die Eigenwerte der Hesse-Matrix H. Sind für einen Punkt x
> alle Eigenwerte der Hesse-Matrix von f größer als 0, d. h.
> ist H positiv definit, so ist der Punkt ein lokales Minimum
> der Funktion. Sind alle Eigenwerte kleiner als 0, d.h. ist
> H negativ definit, so handelt es sich um ein lokales
> Maximum. Der Fall, dass sowohl Werte größer als 0, als auch
> kleiner als 0 vorkommen, tritt auf, wenn es sich um einen
> Sattelpunkt der Funktion handelt. In diesem Fall ist die
> Matrix H indefinit. Ist 0 ein Eigenwert, so muss der
> Charakter des kritischen Punktes auf anderem Wege ermittelt
> werden.
Das hatte ich ja weiter oben schon einmal geschrieben. Lediglich die Tatsache, dass man immer, wenn die Hesse-Matrix indefinit ist, von einem Sattelpunkt spricht, war mir neu!
Auf jeden Fall ist die Hesse-Matrix deiner Funktion im Nullpunkt indefinit, denn es gibt einen positiven und einen negativen Eigenwert, nämlich $2$ und $-2$!
MFG,
Yuma
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Habe hier diese Hesse Matrix [mm] \pmat{ 0 & e^-^1 \\ e^-^1&0 }
[/mm]
Kannst du mir sagen was das für ein Punkt ist,danke???
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Hallo scientyst,
Gleichungssystem lösen würd ich sagen. Die Hessematrix stand ja bereits da. read?i=127006
Wie weit kommst Du denn?
viele Grüße
mathemaduenn
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Ooopss habe die Matrix vergessen,sorry.
Habe diese Matrix [mm] \pmat{ 0 & e^-^1 \\ e^-^1 & 0 }
[/mm]
Was ist denn das jetzt für ein Punkt???
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Hallo scientyst,
Nee die Matrix stand schon da. Das Gleichungssystem fehlt noch und Deine ersten Umformungsschritte.
Tipps hätte ich allerdings:
Ein Produkt ist null wenn einer der Faktoren Null ist und die e-Funktion wird nie Null.
Und nun bist Du dran.
viele grüße
mathemaduenn
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Fr 10.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Scientyst,
sind wir immer noch bei der obigen Aufgabe?
Die Hesse-Matrix bildet man immer an den sogenannten kritischen Punkten, und das war in unserem Fall nur der Punkt $(0,0)$. Und für diesen Punkt habe ich dir die Hesse-Matrix schon mehrmals aufgeschrieben...
Sie ist indefinit - deine Funktion hat keine lokalen Extrema.
Ich dachte, das hätten wir mittlerweile geklärt?!
> Habe hier diese Hesse Matrix [mm]\pmat{ 0 & e^-^1 \\ e^-^1&0 }[/mm]
Wie kommst du auf diese Matrix?
Die Hesse-Matrix welches Punktes soll das sein?
> Kannst du mir sagen was das für ein Punkt ist,danke???
Du meinst, ob der entsprechende Punkt dann ein lok. Maximum, Minimum oder gar kein lok. Extremum ist?! Wie gesagt, du musst die Definitheit der Matrix überprüfen. Aber schreib bitte vorher, was das überhaupt für eine Matrix sein soll...
MFG,
Yuma
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Es handelt sich dabei um eine andere Aufgabe.
Ich habe da:
[mm] fxx(x,y)=e^y^-^x *(-4x+x^2+2y+2)
[/mm]
[mm] fyy(x,y)=e^y^-^x *(4y+y^2+x^2+2)
[/mm]
[mm] fxy(x,y)=e^y^-^x *(2x-x^2-2y-y^2)
[/mm]
Und die Punkte:
[mm] P_{1}=( [/mm] 0;0 )
[mm] P_{2}=( [/mm] 0;-1 )
[mm] P_{3}=( [/mm] 0;0 )
[mm] P_{4}=( [/mm] -1;0 )
Für [mm] P_{2}=( [/mm] 0;-1 ) bekomme ich die Hesse Matrix [mm]\pmat{ 0 & e^-^1 \\ e^-^1&0 }[/mm] heraus,aber ich weiss jetzt irgendwie nicht was das für ein Punkt sein soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Fr 10.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Scientyst,
> Es handelt sich dabei um eine andere Aufgabe.
Achso...
> Ich habe da:
>
> [mm]fxx(x,y)=e^y^-^x *(-4x+x^2+2y+2)[/mm]
>
> [mm]fyy(x,y)=e^y^-^x *(4y+y^2+x^2+2)[/mm]
>
> [mm]fxy(x,y)=e^y^-^x *(2x-x^2-2y-y^2)[/mm]
>
> Und die Punkte:
>
> [mm]P_{1}=([/mm] 0;0 )
>
> [mm]P_{2}=([/mm] 0;-1 )
>
> [mm]P_{3}=([/mm] 0;0 )
>
> [mm]P_{4}=([/mm] -1;0 )
Dazu kann ich natürlich nichts sagen, ich kenne ja $f$ nicht!
> Für [mm]P_{2}=([/mm] 0;-1 ) bekomme ich die Hesse Matrix [mm]\pmat{ 0 & e^-^1 \\ e^-^1&0 }[/mm]
> heraus,aber ich weiss jetzt irgendwie nicht was das für ein
> Punkt sein soll.
Aber [mm] $f_{yy}(0,-1)$ [/mm] ist doch nicht Null?!
Allgemein gilt: Du musst die Definitheit der Matrix überprüfen (siehe obige Antworten). Wenn du mit diesen Begriffen aus der linearen Algebra nichts anfangen kannst, dann weiß ich nicht, warum man dir solche Aufgaben stellt...?!
Oder macht ihr das für gewöhnlich nach einem festen Schema, das auch nur für Funktionen [mm] $f:\IR^{2}\to\IR$ [/mm] gilt? Wenn ja, dann solltest du uns dieses Schema vielleicht mal mitteilen...
MFG,
Yuma
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