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Hallo !
Wir haben in der 12 noch nie Folgen gemacht, aber ich bräuchte mal eine etwas merkwürdige:
z + [mm] 2*z^2 [/mm] + [mm] 3*z^3 [/mm] + [mm] 4*z^4 [/mm] + ... + [mm] n*z^n [/mm] = ???
Vielen Dank für Eure Hilfe, weil ich hab echt keine Ahnung davon !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 So 31.12.2006 | | Autor: | blascowitz |
Gibt es da auch eine Aufgabe zu? Weil ansonsten ist das eine Geometrische reihe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 So 31.12.2006 | | Autor: | Bit2_Gosu |
nein, das ist eigentlich die Aufgabe an sich.
Was heißt denn eine geometrische Reihe? Ist die Aufgabe dann nicht lösbar, oder wie ?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:53 So 31.12.2006 | | Autor: | gewetz |
z + [mm] 2z^{2} [/mm] + [mm] 3z^{3} [/mm] + [mm] 4z^{4} [/mm] + [mm] 5z^{5} [/mm] + [mm] 6z^{6} [/mm] + [mm] 7z^{7} [/mm] + ... = z / [mm] (z-1)^{2}
[/mm]
Das sieht man am einfachsten, wenn man die ursprüngliche Reihe mit [mm] (z-1)^{2} [/mm] = [mm] z^{2} [/mm] - 2z + 1 multipliziert:
(z + [mm] 2z^{2} [/mm] + [mm] 3z^{3} [/mm] + [mm] 4z^{4} [/mm] + [mm] 5z^{5} [/mm] + [mm] 6z^{6} [/mm] + [mm] 7z^{7} [/mm] + ... ) [mm] (z^{2} [/mm] - 2z + 1) = z
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Hm irgendwie kommt mir dein Ergebnis komisch vor.
Da kommt ja gar kein n drin vor.
dann hast du ja gar kein ende der reihe, oder wie ??
außerdem ist sind ergebnisse von [mm] z/(z-1)^2 [/mm] für zb z element |N ja immer kleiner als 1 und ergebnisse der beschriebenen reihe steigen doch recht schnell ?
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Hallo Bit2_Gosu!
> Hm irgendwie kommt mir dein Ergebnis komisch vor.
> Da kommt ja gar kein n drin vor.
Das ist ja gerade Sinn der Sache, dass da kein n mehr drin vorkommt. Was möchtest du denn mit der Aufgaben ansonsten machen? Wenn kein n mehr drin ist, kannst du das Ganze einfach so berechnen. Ansonsten müsstest du alle Potenzen berechnen. So geht es doch viel schneller, und dafür macht man das.
> dann hast du ja gar kein ende der reihe, oder wie ??
Vielleicht hilft dir auch ![[]](/images/popup.gif) dieser Link hier oder google doch mal etwas nach geometrischer Reihe. Oder guck mal, ob in deinem Schulbuch etwas drinsteht.
> außerdem ist sind ergebnisse von [mm]z/(z-1)^2[/mm] für zb z element
> |N ja immer kleiner als 1 und ergebnisse der beschriebenen
> reihe steigen doch recht schnell ?
Da hast du irgendwie Recht. Aber vielleicht gilt das ja nur, falls [mm] z\le [/mm] 1 ist oder so. Steht denn in der Aufgabenstellung etwas zu z? Denn wenn man das Ganze nachrechnet, stimmt es ja eigentlich... Oder es liegt daran, dass deine Reihe nur bis n geht, ich glaube, die Formel gilt nur, wenn es bis unendlich geht.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 So 31.12.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Bit2_Gosu,
Du hast völlig recht. 
Siehe meine Korrekturmitteilung.
Schöne Grüße
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 So 31.12.2006 | | Autor: | gewetz |
Natürlich ist meine Antwort nur für n gegen Unendlich richtig. Denn nur in diesem Fall und für |n| < 1 ist die vorgegebene Reihe überhaupt zu vereinfachen.
Grüße und Guten Rutsch!
gewetz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Mo 01.01.2007 | | Autor: | Bit2_Gosu |
Frohes neues Jahr !!! und Vielen Dank, dass Ihr euch so viel Mühe macht, nur wenn ich
zb: n=3 z=2 nehme, dann ist
2 + [mm] 2+2^2 [/mm] + [mm] 3*2^3 [/mm] was andres, als das was ich rauskrieg, wenn ich die werte in deine formel einsetze (inklusive durch [mm] (z-1)^2 [/mm] )
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:51 So 31.12.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Ihr,
> z + [mm]2z^{2}[/mm] + [mm]3z^{3}[/mm] + [mm]4z^{4}[/mm] + [mm]5z^{5}[/mm] + [mm]6z^{6}[/mm] + [mm]7z^{7}[/mm] + ... = z / [mm](z-1)^{2}[/mm]
>
> Das sieht man am einfachsten, wenn man die ursprüngliche
> Reihe mit [mm](z-1)^{2}[/mm] = [mm]z^{2}[/mm] - 2z + 1 multipliziert:
Dieser Ansatz ist sehr schön.
Aber Bit2_Gosus Einwände sind angebracht.
Bastianes Begründung, warum n wegfällt, gilt freilich nur, wenn man z.B. den Grenzwert $n [mm] \to \infty$ [/mm] betrachtet oder sonst einen konkreten Wert für n wählt.
Und gewetz hat sich zwar den Beginn der Reihe angesehen und beim Ausmultiplizieren festgestellt, dass sich fortlaufend die resultierenden Summanden aufheben, aber nicht auf das Ende geachtet... 
Wenn ich mich nicht im Detail verschusselt habe (die 3 in n-3 ist mir etwas suspekt), so erhalte ich, wenn ich gewetz' Multiplikation anwende:
$(z + [mm] 2z^{2} [/mm] + [mm] 3z^{3} [/mm] + ... + [mm] (n-1)z^{n-1} [/mm] + [mm] nz^n) (z^{2} [/mm] - 2z + 1) = z + (n-3) [mm] z^{n+1} [/mm] + [mm] nz^{n+2}$
[/mm]
Dies Ergebnis nun durch [mm] $(z-1)^{2}$ [/mm] dividieren und man erhält ein mehr oder weniger übersichtliches Ergebnis für die anfangs gestellte Aufgabe. Vielleich lässt sich das auch noch hübsch versäuber, aber dazu habe ich jetzt keine Zeit mehr, muss zur Arbeit...
Schöne Grüße
ardik
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