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rang in zshg mit bild / kern: matrix, rang, kern, bild
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Di 06.05.2008
Autor: nills2k

Aufgabe
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
Aufgabe 3
Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über C mit n > 1 und phi ein Endomorphismus von V mit
Bild phi ist teilmenge von Kern phi: bestimmen sie in Abhängigkeit des Ranges von 
(a) das Minimalpolynom von ,
(b) das charakteristische Polynom von ,
(c) die Jordansche Normalform von .

wie setze ich für aufgabe a an? also habe mir folgendes überlegt. da kern phi alle vektoren enthält die auf 0 abbilden und bild phi darin enthalten ist, enthält bild phi auch nur vektoren die auf 0 abbilden.

die eigenwerte sind 0. damit ist das char. pol. [mm] x^n [/mm] und das minimale [mm] x^s. [/mm] nur wie komm ich weiter.

mfg christoph

        
Bezug
rang in zshg mit bild / kern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:09 Mi 07.05.2008
Autor: MatthiasKr

hi,
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt
>  Aufgabe 3
>  Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über C mit n > 1 und

> phi ein Endomorphismus von V mit
>  Bild phi ist teilmenge von Kern phi: bestimmen sie in
> Abhängigkeit des Ranges von 
>  (a) das Minimalpolynom von ,
>  (b) das charakteristische Polynom von ,
>  (c) die Jordansche Normalform von .
>  wie setze ich für aufgabe a an? also habe mir folgendes
> überlegt. da kern phi alle vektoren enthält die auf 0
> abbilden und bild phi darin enthalten ist, enthält bild phi
> auch nur vektoren die auf 0 abbilden.
>  
> die eigenwerte sind 0. damit ist das char. pol. [mm]x^n[/mm] und das
> minimale [mm]x^s.[/mm] nur wie komm ich weiter.

die entscheidende beobachtung ist, dass [mm] $\phi(\phi(v))=0$ [/mm] ist für alle vektoren v, das bedeutet nichts anderes als dass [mm] $\phi^2=0$ [/mm] ist.

damit ist [mm] \phi [/mm] "höchst" nilpotent, besitzt also nur den eigenwert 0, richtig. darüberhinaus kannst du aber auch aussagen über die jordanblöcke machen... so kommst du dann auf das minimalpolynom sowie die JNF.

gruss
matthias

>  
> mfg christoph


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