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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Sajuri |
| Aufgabe | In welchen Punkten [mm] x\in \IC [/mm] sind die folgenden Funktionen f: [mm] \IR\to\IR [/mm] stetig?
[mm] f(x)=\bruch{2x^{3}-6x^{2}}{x^{2}-9} [/mm] für [mm] x\in\IR\{-3,3}, [/mm] f(-3)=4 und f(3)=3. |
Hallo,
Ich weiß nicht, was ich weiter machen soll?
ich habe nur umgeformt:
[mm] f(x)=\bruch{2x^{3}-6x^{2}}{x^{2}-9}=\bruch{2x^{2}}{x+3}
[/mm]
Nach Definition f: [mm] D\to\IR [/mm] ist stetig in [mm] x_{0}\inD, [/mm] wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}}f(x)=f(x_{0}). [/mm] Vielleicht muss ich die benutzen, aber wie?
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> In welchen Punkten [mm]x\in \IC[/mm] sind die folgenden Funktionen
> f: [mm]\IR\to\IR[/mm] stetig?
> [mm]f(x)=\bruch{2x^{3}-6x^{2}}{x^{2}-9}[/mm] für [mm]x\in\IR\{-3,3},[/mm]
> f(-3)=4 und f(3)=3.
> Hallo,
> Ich weiß nicht, was ich weiter machen soll?
>
> ich habe nur umgeformt:
> [mm]f(x)=\bruch{2x^{3}-6x^{2}}{x^{2}-9}=\bruch{2x^{2}}{x+3}[/mm]
> Nach Definition f: [mm]D\to\IR[/mm] ist stetig in [mm]x_{0}\inD,[/mm] wenn
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{0}}f(x)=f(x_{0}).[/mm] Vielleicht muss
> ich die benutzen, aber wie?
Für [mm] $x_0\neq [/mm] -3$ hast Du
[mm]\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{2x^2}{x+3}=\frac{\lim_{x\rightarrow x_0}2x^2}{\lim_{x\rightarrow x_0}x+3}=\frac{2x_0^2}{x_0+3}[/mm]
Also insbesondere
[mm]\lim_{x\rightarrow 3}f(x)=\frac{2\cdot 3^2}{3+3}=3[/mm]
Damit haben wir also gezeigt, dass [mm] $\lim_{x\rightarrow 3}f(x)=3=f(3)$: [/mm] $f$ ist somit stetig an der Stelle $x=3$.
Im Falle [mm] $x\rightarrow [/mm] -3$ geht aber der Zähler von [mm] $\frac{2x^2}{x+3}$ [/mm] gegen [mm] $2\cdot (-3)^3=18$, [/mm] aber der Nenner geht gegen $0$. Damit existiert der Limes [mm] $\lim_{x\rightarrow -3}f(x)$ [/mm] nicht und daher kann $f$ an der Stelle $x=-3$ auch nicht stetig sein. Mit Hilfe einseitiger Limites kannst Du dies noch etwas genauer formulieren:
[mm]\lim_{x\rightarrow -3-}f(x)=\lim_{x\rightarrow -3-}\frac{2x^2}{x+3}=-\infty\neq 4 = f(-3)[/mm]
und
[mm]\lim_{x\rightarrow -3+}f(x)=\lim_{x\rightarrow -3+}\frac{2x^2}{x+3}=+\infty \neq 4 = f(-3)[/mm]
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