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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Chris993 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Definitionsbereich, die 0-Stellen und die Umkehrfunktion von:
f(x) = ln(x+1) + ln(x) |
0 Stellen:
y = ln((x+1)*x) = [mm] ln(x^{2}+2)
[/mm]
[mm] e^{y} [/mm] = [mm] x^{2}+x
[/mm]
Meine Frage hier:
Die Lösung sieht folgendes vor:
0 = [mm] -e^{y} [/mm] = [mm] x^{2}+x
[/mm]
dann PQ formel anwenden.
Warum setzte ich nicht y= 0 ?
Normalerweise suche ich doch die 0 Stellen, da wo y= 0 ist.
Also warum mache ich nicht [mm] e^{0} [/mm] = [mm] x^{2}+x [/mm] => 1 = [mm] x^{2}+x [/mm]
=> 0= [mm] x^{2}+x [/mm] -1
....
Als Definitionsbereich habe ich:
D = (x [mm] \in \IR^{+})
[/mm]
Und zu guter letzt Woher weiß ich ob die Funktion Umkehrbar ist bzw. nur Abschnittsweise umkehrbar ist. Ich weiß dass es keine keine Wagerechten geben darf, die die Funktion 2 Mal schneiden, doch wie kann ich das überprüfen bei einer Funktion die ich mir vielleicht gerade nicht bildlich vorstellen kann?
Wie ist hier die Umkehrfunktion?
Wenn ich x= ln(y+1)+ln(y)= [mm] ln(y^{2}+y)
[/mm]
=> [mm] e^{x}= y^{2}+y
[/mm]
und jetzt habe ich doch ein Problem da ich nich nach y wieder auflösen kann weil ich [mm] y^{2} [/mm] und y habe oder??
Bitte um Hilfe.
Vielen Dank
Lg
Chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Sa 05.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie den Definitionsbereich, die 0-Stellen und die
> Umkehrfunktion von:
> f(x) = ln(x+1) + ln(x)
>
> 0 Stellen:
> y = ln((x+1)*x) = [mm]ln(x^{2}+2)[/mm]
> [mm]e^{y}[/mm] = [mm]x^{2}+x[/mm]
>
> Meine Frage hier:
>
> Die Lösung sieht folgendes vor:
> 0 = [mm]-e^{y}[/mm] = [mm]x^{2}+x[/mm]
> dann PQ formel anwenden.
>
>
> Warum setzte ich nicht y= 0 ?
>
> Normalerweise suche ich doch die 0 Stellen, da wo y= 0
> ist.
> Also warum mache ich nicht [mm]e^{0}[/mm] = [mm]x^{2}+x[/mm] => 1 = [mm]x^{2}+x[/mm]
> => 0= [mm]x^{2}+x[/mm] -1
> ....
Für die Nullstellen von f(x) gilt in der Tat:
[mm] $\ln(x+1)+\ln(x)=0$
[/mm]
Logarithmengesetze:
[mm] $\ln((x+1)\cdot [/mm] x)=0$
Auf beiden Seiten die e-Funktion nutzen:
[mm] $(x+1)\cdot [/mm] x=1$
Diese Gleichung löse nun wie üblich.
>
> Als Definitionsbereich habe ich:
> D = (x [mm]\in \IR^{+})[/mm]
>
> Und zu guter letzt Woher weiß ich ob die Funktion
> Umkehrbar ist bzw. nur Abschnittsweise umkehrbar ist. Ich
> weiß dass es keine keine Wagerechten geben darf, die die
> Funktion 2 Mal schneiden, doch wie kann ich das
> überprüfen bei einer Funktion die ich mir vielleicht
> gerade nicht bildlich vorstellen kann?
Wenn du zeigen kannst, dass die Ausgangsfunktion streng monoton ist (ob steigend oder fallend ist egal), ist die Funktion umkehrbar. Die Stellen, an denen das Monotonieverhalten sich ändert, sind die Extremstellen. evtl musst du beim Umkehren die Unkehrfunktion an diesen Stellen aufsplitten.
> Wie ist hier die Umkehrfunktion?
> Wenn ich x= ln(y+1)+ln(y)= [mm]ln(y^{2}+y)[/mm]
> => [mm]e^{x}= y^{2}+y[/mm]
> und jetzt habe ich doch ein Problem da
> ich nich nach y wieder auflösen kann weil ich [mm]y^{2}[/mm] und y
> habe oder??
Das klappt auch hier mit der p-q-Formel, du bekommst hier dann zwei Funktionen.
[mm] $e^{x}= y^{2}+y$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 0= [mm] y^{2}+y-e^{x}$
[/mm]
Also:
[mm] y_{1;2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\rac{1}{4}+e^{x}}
[/mm]
Damit bekommst du die beiden Umkehrfunktionen:
[mm] f_{1}^{-1}(x)=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+e^{x}} [/mm]
[mm] f_{2}^{-1}(x)=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+e^{x}} [/mm]
Die Schnittstelle ist x=-1/2
>
> Bitte um Hilfe.
>
> Vielen Dank
> Lg
> Chris
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Chris993 |
Hallo Vielen Dank erstmal.
Es hängt jedoch noch etwas an der Umkehrfunktion.
1. meninst du wahrscheinlich
[mm] f_{1}^{-1}(x)=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+e^{x}}
[/mm]
[mm] f_{2}^{-1}(x)=-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}+e^{x}}
[/mm]
Deine Beiden Funktionen sind ja identisch...?
Aber warum setzte ich die Funktion = 0?
Das ergibt irgendwie keinen Sinn?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Sa 05.01.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo Vielen Dank erstmal.
>
>
> Es hängt jedoch noch etwas an der Umkehrfunktion.
>
> 1. meninst du wahrscheinlich
> [mm]f_{1}^{-1}(x)=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+e^{x}}[/mm]
>
> [mm]f_{2}^{-1}(x)=-\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}+e^{x}}[/mm]
>
> Deine Beiden Funktionen sind ja identisch...?
ja, ich schätze M.Rex hat sich vertippt.
> Aber warum setzte ich die Funktion = 0?
> Das ergibt irgendwie keinen Sinn?
Weil die Nullstellen berechnet werden sollen. Wie tust Du das denn üblicherweise?
Gruß,
notinX
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:35 Sa 05.01.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo Marius,
> Hallo
>
>
> > Bestimmen Sie den Definitionsbereich, die 0-Stellen und die
> > Umkehrfunktion von:
> > f(x) = ln(x+1) + ln(x)
> >
> > 0 Stellen:
> > y = ln((x+1)*x) = [mm]ln(x^{2}+2)[/mm]
> > [mm]e^{y}[/mm] = [mm]x^{2}+x[/mm]
> >
> > Meine Frage hier:
> >
> > Die Lösung sieht folgendes vor:
> > 0 = [mm]-e^{y}[/mm] = [mm]x^{2}+x[/mm]
> > dann PQ formel anwenden.
> >
> >
> > Warum setzte ich nicht y= 0 ?
> >
> > Normalerweise suche ich doch die 0 Stellen, da wo y= 0
> > ist.
> > Also warum mache ich nicht [mm]e^{0}[/mm] = [mm]x^{2}+x[/mm] => 1 =
> [mm]x^{2}+x[/mm]
> > => 0= [mm]x^{2}+x[/mm] -1
> > ....
>
>
> Für die Nullstellen von f(x) gilt in der Tat:
> [mm]\ln(x+1)+\ln(x)=0[/mm]
> Logarithmengesetze:
> [mm]\ln((x+1)\cdot x)=0[/mm]
> Auf beiden Seiten die e-Funktion
> nutzen:
> [mm](x+1)\cdot x=0[/mm]
[mm] $e^0=1$, [/mm] deshalb gilt:
[mm] $\ln\left(\left(x+1\right)x\right)=0\Rightarrow\left(x+1\right)x={\color{red}1}$
[/mm]
>
> Diese Gleichung löse nun wie üblich.
>
> >
> > Als Definitionsbereich habe ich:
> > D = (x [mm]\in \IR^{+})[/mm]
> >
> > Und zu guter letzt Woher weiß ich ob die Funktion
> > Umkehrbar ist bzw. nur Abschnittsweise umkehrbar ist. Ich
> > weiß dass es keine keine Wagerechten geben darf, die die
> > Funktion 2 Mal schneiden, doch wie kann ich das
> > überprüfen bei einer Funktion die ich mir vielleicht
> > gerade nicht bildlich vorstellen kann?
>
>
> Wenn du zeigen kannst, dass die Ausgangsfunktion streng
> monoton ist (ob steigend oder fallend ist egal), ist die
> Funktion umkehrbar. Die Stellen, an denen das
> Monotonieverhalten sich ändert, sind die Extremstellen.
> evtl musst du beim Umkehren die Unkehrfunktion an diesen
> Stellen aufsplitten.
>
> > Wie ist hier die Umkehrfunktion?
> > Wenn ich x= ln(y+1)+ln(y)= [mm]ln(y^{2}+y)[/mm]
> > => [mm]e^{x}= y^{2}+y[/mm]
> > und jetzt habe ich doch ein
> Problem da
> > ich nich nach y wieder auflösen kann weil ich [mm]y^{2}[/mm] und y
> > habe oder??
>
> Das klappt auch hier mit der p-q-Formel, du bekommst hier
> dann zwei Funktionen.
>
> [mm]e^{x}= y^{2}+y[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow 0= y^{2}+y-e^{x}[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]y_{1;2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\rac{1}{4}+e^{x}}[/mm]
>
> Damit bekommst du die beiden Umkehrfunktionen:
> [mm]f_{1}^{-1}(x)=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+e^{x}}[/mm]
> [mm]f_{2}^{-1}(x)=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+e^{x}}[/mm]
>
> Die Schnittstelle ist x=-1/2
>
>
> >
> > Bitte um Hilfe.
> >
> > Vielen Dank
> > Lg
> > Chris
>
> Marius
>
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 00:06 So 06.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo notinX
Danke für den Hinweis, ich habe ihn korrigiert.
Marius
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