0.\overline{9} =1 < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Zeige mit Hilfe der Epsilontik das [mm] 0.\overline{9}=1 [/mm] |
Also ich habe:
Annahme. [mm] 0.\overline{9} [/mm] < 1 sei richtig!
[mm] \varepsilon [/mm] + [mm] 0.\overline{9}=1 [/mm] , mit [mm] \varepsilon>0
[/mm]
Da nun (I) [mm] 0.\overline{9}=0.999 [/mm] 999 999 ... 999 entspricht, muss (II) [mm] \varepsilon [/mm] =0.00001 sein, damit als Ergebnis 1 herauskommt.
Addiert man nun beide Aussagen I + II so hat man, [mm] \varepsilon [/mm] + [mm] 0.\overline{9}=1.000000999.
[/mm]
Damit hat man doch quasi gezeigt, dass [mm] 0.\overline{9}<1 [/mm] und [mm] 0.\overline{9} [/mm] >1 nicht sein kann. Widerspruch
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Mo 16.05.2011 | | Autor: | SEcki |
> Annahme. [mm]0.\overline{9}[/mm] < 1 sei richtig!
Ihr hattet sich einer genaue Definition für den Überstrich ...
> [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]0.\overline{9}=1[/mm] , mit [mm]\varepsilon>0[/mm]
> Da nun (I) [mm]0.\overline{9}=0.999[/mm] 999 999 ... 999
Aha - was soll das heissen?
> entspricht, muss (II) [mm]\varepsilon[/mm] =0.00001 sein,
Bitte? Wieso denn das? Das kommt aus dem Himmel gefallen ...
> damit als
> Ergebnis 1 herauskommt.
>
> Addiert man nun beide Aussagen I + II so hat man,
> [mm]\varepsilon[/mm] + [mm]0.\overline{9}=1.000000999.[/mm]
Ahja. Das ist sehr wirr.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
es handelt sich hier um eine Didaktik Veranstaltung.
[mm] 0.\overline{9} [/mm] ist ja 0.9 Periode. So wirklich haben wir uns dazu nichts aufgeschrieben...
Es gibt ja auch noch folgende Variante:
I [mm] a=0.\overline{9}
[/mm]
II 10a=9.99999...999
-> II - I = 9a = 9.0 -> a=1
Grüße
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Hallo Bodo,
diese Variante ist viel besser und genauer. Damit hättest du die zu zeigende Behauptung bewiesen.
Nur: dieser Beweis kommt ja völlig ohne Epsilontik aus.
Du wirst also Deinen ersten Weg verbessern müssen.
Das geht z.B. so: [mm] 0,\overline{9}=\limes_{n\to\infty}1-\bruch{1}{10^n}
[/mm]
[mm] \cdots
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:09 Di 17.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Bodo,
>
> diese Variante ist viel besser und genauer. Damit hättest
> du die zu zeigende Behauptung bewiesen.
>
> Nur: dieser Beweis kommt ja völlig ohne Epsilontik aus.
>
> Du wirst also Deinen ersten Weg verbessern müssen.
>
> Das geht z.B. so:
> [mm]0,\overline{9}=\limes_{n\to\infty}1-\bruch{1}{10^n}[/mm]
> [mm]\cdots[/mm]
Hallo rev,
Du meinst wohl
[mm]0,\overline{9}=\limes_{n\to\infty}(1-\bruch{1}{10^n})[/mm]
Ebenso gilt
[mm]0,\overline{9}=\limes_{n\to\infty}(1-\bruch{\pi^2}{n^2+4})[/mm]
Ich denke, so ist das nicht vom Aufgabensteller gemeint.
Gruß FRED
>
> Grüße
> reverend
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Di 17.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Merkwürdige Aufgabe.....
Es ist
$ [mm] 0.\overline{9}=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{9}{10^i}$
[/mm]
FRED
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