0,999... = 1 Problem < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Bink |
[mm] 0,\overline{9}=1 [/mm]
Doch genau das will mir nicht wirklich in den Kopf
Es gibt ja die verschiedensten Ansätze die erklären warum und dass es so ist, so zum Beispiel:
[mm] \bruch{1}{3}=0,\overline{3} \to\bruch{3}{3}=0,\overline{9}=1
[/mm]
oder die Frage wenn [mm] 0,\overline{9} \not=1 [/mm] was ist dann [mm] 1-0,\overline{9}? [/mm] Es muss wohl 0 sein ...
Aber trotzdem habe ich da das Problem dass ich nicht verstehe dass [mm] 0,\overline{9}=1 [/mm] ist. Ich denke immer dass da doch im unendlichen noch ein unterschied ist. Wenn ich mir z.B. 1-0,999999999999999999999 ansehe dann ist das ergebnis ja immernoch 0,000000000000000000001.
Aber warscheinlich ist genau da das Problem dass man "das Unendliche" nicht irgendwo abbrechen kann und dann mit dieser Zahl rechnen oder sich damit etwas vorstellen kann.
Kann mir jemand einen Gedankenanstoß geben der mich ganz klar davon überzeugt dass [mm] 0,\overline{9} [/mm] ganz einfach 1 ist?
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Andre |
hallo bink!
vielleicht kann ich dir helfen:
du musst nur wissen, wie man [mm] 0,\overline{1} [/mm] als bruch darstellen kann:
[mm] 0,\overline{1}=\bruch{1}{9} [/mm]
also auch:
9* [mm] \bruch{1}{9}=9* 0,\overline{1}= 0,\overline{9}=\bruch{9}{9} [/mm] =1
ich hoffe das hilft dir
gruß Andre
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Hallo Bink,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Stellen wir die ominöse Zahl [mm] $0.\overline{9}$ [/mm] mal als geometrische Reihe dar:
[mm] $0.\overline{9} [/mm] \ = \ 0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+... \ = \ [mm] \bruch{9}{10}+\bruch{9}{100}+\bruch{9}{1000}+...$
[/mm]
$= \ [mm] 9*\left(\bruch{1}{10^1}+\bruch{1}{10^2}+\bruch{1}{10^3}+...\right) [/mm] \ = \ [mm] 9*\left[\left(\bruch{1}{10}\right)^1+\left(\bruch{1}{10}\right)^2+\left(\bruch{1}{10}\right)^3+...\right] [/mm] \ = \ [mm] 9*\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{10}\right)^k$
[/mm]
Für die (unendliche) geometrische Reihe gilt:
[mm] $s_\infty [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_1}{1-q}$
[/mm]
Mit [mm] $a_1 [/mm] \ = \ [mm] 9*\bruch{1}{10}$ [/mm] sowie $q \ = \ [mm] \bruch{1}{10}$ [/mm] wird dann:
[mm] $s_\infty [/mm] \ = \ [mm] \bruch{9*\bruch{1}{10}}{1-\bruch{1}{10}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{9}{10}}{\bruch{9}{10}} [/mm] \ = \ 1$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Bink |
Danke, das ist ein weiterer sehr schöner mathematischer Beweis, ich konnte nur die Aussage [mm] $s_\infty [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_1}{1-q}$ [/mm] nicht ganz nachvollziehen.
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Hallo Bink!
> ich konnte nur die Aussage [mm]s_\infty \ = \ \bruch{a_1}{1-q}[/mm]
> nicht ganz nachvollziehen.
Dabei handelt es sich um eine feststehende Formel für die geometrische Reihe (also die Aufsummierung der einzelnen Folgenglieder [mm] $a_n$ [/mm] einer geometrischen Folge):
[mm] $s_\infty [/mm] \ = \ [mm] a_1+a_2+a_3+... [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_1}{1-q}$ [/mm] mit [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] a_1*q^{n-1}$ [/mm] sowie $|q| \ < \ 1$
Entstanden ist diese Formel aus einer Grenzwertbetrachtung [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] für die Summe [mm] $s_n$ [/mm] der ersten $n_$ Folgenglieder:
[mm] $s_n [/mm] \ = \ [mm] a_1+a_2+a_3+...+a_n [/mm] \ = \ [mm] a_1*\bruch{1-q^n}{1-q}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $s_\infty [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}s_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_1*\bruch{1-q^n}{1-q} [/mm] \ = \ [mm] a_1*\bruch{1-0}{1-q} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_1}{1-q}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Mo 24.04.2006 | | Autor: | azrael |
hallo,
wenn ich mir bink´s Frage ansehe muss ich ihm zustimmen,
es ergibt fuer mich auch keinen Sinn, dass 1-0,999....=0.00....01=0 gilt. Denn egal wie klein 0,00...01 wird, es ist noch immer grösser Null!
Also gibt es fuer mich eigentlich nur die Möglichkeit,
dass $ [mm] 0,\overline{9}=1 [/mm] $ falsch ist. Denn wenn ich mir die Definition der Rationalen Zahlen ansehe;
[mm] \IQ:=\{ \bruch{p}{q}|\mbox{ p,q ganze Zahlen} \}
[/mm]
ist dort nirgendwo die rede von $ [mm] 0,\overline{9} [/mm] $ , $ [mm] 0,\overline{3} [/mm] $ u.s.w , weshalb man mit diesen "Zahlen" auch nicht rechnen kann und so etwas wie 1 - 0,999.... gar keinen Sinn macht, im Gegensatz zu 1 [mm] -\bruch{3}{3} [/mm] =0 , [mm] 1-\bruch{1}{3}=\bruch{2}{3} [/mm] u.s.w(fuer die die Koerperaxiome gelten).
Ich wuerde also denken das periodische Zahlen wie $ [mm] 0,\overline{9} [/mm] $ , $ [mm] 0,\overline{3} [/mm] $ ... eher eine art Beschreibung oder besser Grenzwert von [mm] \bruch{3}{3} [/mm] , [mm] \bruch{1}{3},... [/mm] sind, denn
1 - [mm] \limes($ 0,\overline{9} [/mm] $) = [mm] \limes(0,00...01) [/mm] = 0 sieht fuer mich einfach besser aus.
Auch wenn das wahrscheinlich in einer Grundsatzdiskussion endet, wuerde es mich interessieren was ihr davon haltet und ob ich damit richtig liege oder nicht.
Fuer alle Antworten schonmal vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mo 24.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Azrael
Welche Objekte man Zahlen nennt, ist natürlich vom Hintergrund abhängig. Natürliche Zahlen sind das wohl für alle. Durch "unendliche! Verfaren hergestllte Objekte, wie die Summe einer unendlichen Reihe wie z.Bsp 0,9999... eine Zahl zu nennen hätten die Griechen sicher Schwierigkeiten gehabt. für sie war auch [mm] \wurzel{2} [/mm] keine Zahl. Der "moderne" in mathe verwendete Zahlbegriff sind Punkte auf dem Zahenstrahl. 2 Zahlen sind verschieden, wenn man keinen Mindestabstand zwischen ihnen angeben kann.
so ist [mm] \wurzel{2}, [/mm] das ich auf dem Zahlenstrahl als Punkt angeben kann (durch geometrische Konstruktion) sicher nicht gleich 1,41421 sondern hat davon mindestens den Abstand 0,000001. zwischen 0,999... und 1 kann man aber keinen Abstand angeben, dann ist diese Zahl per Definition gleich 1.
wenn du 1/7 und 3/21 vergleichst, kannst du auch nur sagen sie sind gleich, weil ich keinen Unterschied angeben kann! (Kürzungsregeln muss man ja erst beweisen!)
Im Sinne der Zahlen auf dem Zahlenstrahl, ist also 0,99...=1, Aber jede endliche Darstellung von 1/9 als 0,111111111111......1 (10000000 Einsen) ist nicht gleich! 1/9, weil ich den Mindestabstand ja angeben kann.
Und wenn du [mm] \wurzel{2} [/mm] als Zahl akzeptierst, dann erst recht 0.99..., da kennst du ja mindestens die 712345Millionst Stelle schon!
Dass dieselbe Behauptung mit anderer Schreibweise geschrieben "besser aussieht ist eigenartig. was das ominöse Zeichen lim bedeutet ist doch das gleiche wie der Querstrich über der 9, du hast also nur nen andere Schreibweise für 0, [mm] \overline{9} [/mm] benutzt. Woher weisst du dass [mm] 1/10^{-n} [/mm] gegen 0 geht also wie du schreibst lim 0,00000...1=0 ist? doch nur weil du keinen Abstand zu 0 angeben kannst!
Gruss leduart
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Hallo und guten Morgen,
also ich möcht mal hier ganz klar festhalten, daß es sich bei
[mm] 0.999\ldots [/mm] =1
nicht um Zauberei, Magie oder etwas handelt, was man eher vage mit dem Zahlenstrahl
erklären müßte, es ist ganz handfeste bodenständige Mathematik.
Die Antwort hat im Prinzip Roadrunner hundertpro richtig gegeben, und mir bleibt hier nur, dazu noch
ein wenig Erläuterndes beizufügen.
Was ist eigentlich [mm] 0.999\ldots [/mm] für ein Objekt ?
Nun, es ist, sofern existent (das ist a priori nicht klar), nichts anderes (PER DEFINITIONEM)
als der Grenzwert der Reihe
[mm] \sum_{i=1}^{\infty}10^{-i}.
[/mm]
Punkt und aus.
Nun rechnet man dann leicht nach, daß dieser Grenzwert
[mm] \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n10^{-i}
[/mm]
existiert und gleich 1 ist.
Also [mm] 0.999\ldots =0.\overline{9}
[/mm]
ist nichts anderes als eine andere Schreibweise für
[mm] \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n10^{-i}.
[/mm]
Man sollte sich also von jeglicher schwammiger Vorstellung verabschieden und dies einfach
so hinnehmen.
Wir hätten den Grenzwert [mm] \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n10^{-i} [/mm] auch mit ''Willi'' bezeichnen können, dann würden wir
halt ''Willi=1'' schreiben, und so schreiben wir nun halt mal [mm] 0.\overline{9}=1, [/mm] weil in der Tat der Grenzwert gleich 1 ist
(das hat Roadrunner ja schon bewiesen).
Einen herzlichen Gruss und
Wünsche für einen kühlen klaren Kopf ,
Mathias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mo 24.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Bink
Dass [mm] 0.\overline{9}=1 [/mm] ist liegt an unserer Betrachtung der Zahlen als Punkt auf dem Zahlenstrahl: zwei Punkte heissen glleich, wenn ich keinen Abstand (oder Mindestabstand) zwisschen ihnen angeben kann, zw. 0,99999 und 1 ist der Abstand 0,000001, also sind die 2 nicht gleich. aber zw. 1 und [mm] 0.\overline{9} [/mm] kannst du mir keinen Abstand angeben (nicht nur du nicht ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") ) Also sind sie gleich. Woher weisst du, dass 7/14 =1/2 ist? indem du irgendwie zeigst, das sie auf dem Zahlenstrahl keinen Abstand haben!
Und dass [mm] \pi [/mm] nicht 3,14 ist kann man so auch beweisen.
0,9999.. mit einer Million 9en nennt man eine gute Näherung von 1, aber es ist garantiert nit gleich 1 denn du kannst ja den Abstand angeben.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Di 25.04.2006 | | Autor: | Bink |
Also erstmal vielen Dank für eure Beteiligung und für eure Lösungsversuche und Gedankenanstöße.
Ich denke das Grundproblem im Verständnis dass [mm] 0,\overline{9}=1 [/mm] ist liegt darin dass wir uns immer einen Endpunkt in den Kopf setzen weil wir das Unendliche nicht wirklich verstehen.
Wie leduart schon gesagt hat: wenn ich bei 0,9999 100.000 Dezimalstellen angebe dann ist es eine genügend genaue Annäherung an 1 aber es ist auf dem Zahlenstrahl immernoch eine Differenz zu messen. Es ist aber doch so dass [mm] 0,\overline{9} [/mm] eine unendliche Folge ist und somit die Zahl wenn man sie darstellen würde unendlich viele Dezimalstellen hätte. Diese Zahl läuft dann nicht nur gegen 1 sondern sie ist tatsächlich 1.
Die Zahl [mm] 0,\overline{9} [/mm] ist somit garkeine Zahl sondern nur eine andere Schreibweise der Zahl 1. Genauso wie man 1/3 als [mm] 0,\overline{3} [/mm] angeben kann.
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