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(1+a)^n>=1+na+0,5n(n-1)a^2: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 So 18.10.2009
Autor: Stefan-auchLotti

Aufgabe
[mm] (1+a)^n\ge1+na+0,5n(n-1)a^2 [/mm] für [mm] a\ge [/mm] 0 und n aus natürlichen Zahlen mit 0.

Hallo, zusammen,

Brauche einen kleinen Tipp, weil ich Übung brauche im Beweis von Ungleichungen.

Für n=0 und a beliebig gilt es, für a=0 und n beliebig ebenfalls.

Jetzt gilt es, für [mm] n\ge [/mm] 1 und a>0 zu beweisen.

[mm] (1+a)^{n+1}\ge 1+(n+1)a+0,5(n+1)na^2=1+na+a+0,5n^2a^2+0,5na^2 [/mm]

Jetzt spalte ich links auf in [mm] (1+a)^n*(1+a)\ge (1+na)*(1+a)=1+na+a+na^2 [/mm]

Jetzt hab ich gedacht, dass ich zeigen könnte, dass [mm] na^2\ge 0,5n^2a^2+0,5na^2 [/mm] ist, aber das führt zu [mm] n\le [/mm] 1, was mir ja nicht weiterhilft!

Vielen Dank im Voraus,

Stefan.

        
Bezug
(1+a)^n>=1+na+0,5n(n-1)a^2: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:44 So 18.10.2009
Autor: Loddar

Hallo Stefan!


[mm] $$(1+a)^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \red{(1+a)^n}*(1+a) [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] \left[ \ \red{1+n*a+0{,}5*n*(n-1)*a^2} \ \right]*(1+a) [/mm] \ = \ ...$$
Fasse nun zusammen / multipliziere die Klammern aus.

Für den roten Term ganz vorne habe ich die Induktionsvoraussetzung eingesetzt.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
(1+a)^n>=1+na+0,5n(n-1)a^2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:30 So 18.10.2009
Autor: Stefan-auchLotti

Klar, das ist ja das Prinzip, dass mans einsetzt :/ vielen dank!

Bezug
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