1. Ableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:14 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Meli90 |
| Aufgabe | Bilde die 1. Ableitung
a.) [mm] f(x)=x^{x} [/mm] |
Hi zusammen!
Nun ich bin beisse mir gerade an folgender Aufgabe die Zähne aus..
Also so weit bin ich schon (hoffe das ist richtig! =))
[mm] f(x)=x^{x}=e^{x*lnx} [/mm] -> Kettenregel
f'(x)= [mm] (x*lnx)*e^{x*lnx} [/mm] ->Produktregel
= [mm] (1*lnx+x*\bruch{1}{x})*e^{x*lnx}
[/mm]
= [mm] (lnx+1)*e^{x*lnx}
[/mm]
Nur weiss ich jetzt nicht ob ich da noch mehr ausrechnen kann. Ich sollte nachher prüfen, ob die Funktion diffbar ist..
Wäre sehr dankbar um Tipps..
Meli
p.s.Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Bilde die 1. Ableitung
> a.) [mm]f(x)=x^{x}[/mm]
> Hi zusammen!
> Nun ich bin beisse mir gerade an folgender Aufgabe die
> Zähne aus..
> Also so weit bin ich schon (hoffe das ist richtig! =))
> [mm]f(x)=x^{x}=e^{x*lnx}[/mm] -> Kettenregel
> f'(x)= [mm](x*lnx)*e^{x*lnx}[/mm] ->Produktregel
> = [mm](1*lnx+x*\bruch{1}{x})*e^{x*lnx}[/mm]
> = [mm](lnx+1)*e^{x*lnx}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Nur weiss ich jetzt nicht ob ich da noch mehr ausrechnen
> kann. Ich sollte nachher prüfen, ob die Funktion diffbar
> ist..
> Wäre sehr dankbar um Tipps..
> Meli
>
> p.s.Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Hallo Meli,
alles richtig,
du könntest evtl. noch [mm] (lnx+1)*e^{x*lnx} [/mm] wieder umschreiben zu
[mm] (lnx+1)x^x
[/mm]
LG
schachuzipus
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Nur eine Kleinigkeit:
nicht
> > f'(x)= [mm](x*lnx)*e^{x*lnx}[/mm] ->Produktregel
sondern f'(x)= (x*lnx)' [mm] *e^{x*lnx}
[/mm]
Rest ist wieder richtig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Meli90 |
Hi zusammen!
Vielen Dank für die Antworten!! Bin fast ein klein wenig stolz, dass es geklappt hat =) Nun kommt aber das nächste Problem: ich soll untersuchen, ob die Funktion stetig differenzierbar ist.. Nun das Vorgehen ist mir da nicht mehr so geläufig..
Also ich nehme die Ableitung und schaue ob sie stetig ist, nur wie krieg ich das hin? Habe ein wenig im internet gesurft: muss ich da scheuen ob der Grenzwert für x [mm] \to \infty [/mm] existiert? Oder gibt es da einen anderen Weg? Für x [mm] \to [/mm] 0 geht die Ableitung gegen [mm] -\infty, [/mm] oder? Heisst das die Funktion ist nicht stetig diffbar?
Bin etwas überfragt :s
Vielen Dank für eure Hilfe
Meli
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Hallo!
Also, du untersuchst die Ableitung auf Stetigkeit.
Das heißt, du schaust, ob du die Funktion zeichnen kannst, ohne den Stift ein zweites mal ansetzen zu müssen.
Mathematisch sieht das so aus: Du suchst dir ein [mm] x_0 [/mm] aus und schaust, ob $f(x) [mm] \to f(x_0)$ [/mm] verläuft, wenn x sich [mm] x_0 [/mm] nähert, und zwar egal, von welcher Seite. Wenn [mm] f(x_0) [/mm] nicht existiert, ist das auch eine nicht stetige Stelle. Das müßte man für jedes einzelne x untersuchen.
Praktisch schaust du dir eine Funktion an, und schaust, welche Teile davon problematisch sein könnten. Hier hast du natürlich den ln drin, der ist nur für Werte >0 definiert.
Du siehst, daß die Ableitung damit auch nur für x>0 existiert.
Im allgemeinen sind Funktionen nicht komplett unstetig, sondern meist nur in wenigen Punkten oder Intervallen. Demnach läßt sich meist angeben, wo die Funktion stetig ist, hier also ]0;+oo]
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Stetig diffbar heißt ja, dass die Funktion diffbar ist und die erste Ableitung dazu noch stetig. Ganz oft ist die erste Ableitung nochmals ableitbar; dann muss die erste Ableitung stetig sein, denn unstetige Fkt. sind an den Unstetigkeitsstellen nicht diffbar.
Also: Da, wo eine Fkt. 2 mal diffbar ist, ist sie (1-mal) stetig diffbar.
Diesen Satz kann man nicht umkehren: Ist eine Fkt. stetig diffbar, muss sie nicht unbedingt 2 mal diffbar sein. Beispiel:
[mm] f(x)=x^{2} [/mm] für [mm] x\ge [/mm] 0 und [mm] -x^{2} [/mm] für x<0. Dann ist f'(x)=2*|x|=stetig, aber f'(x) ist für x=0 nicht mehr diffbar.
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