1. Ableitung bestimmen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Sa 03.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die (erste) Ableitung der folgenden Funktionen:
[mm]a) f(x)=\wurzel{ln(tan(x))}[/mm]
[mm]b) f(x)=sin^2(x)*\wurzel{x^3+1}[/mm]
(Der Definitionsbereich braucht nicht diskutiert zu werden.) |
Hallo allerseits!
Ich bräuchte bitte Hilfe bei diesen Beispielen.
Bei b) habe ich schon die Ableitung.
[mm] f'(x)=sin(2x)*\wurzel{x^3+1} + \bruch{sin^2(x)*3x^2}{2*\wurzel{x^3+1}} [/mm]
Stimmt diese?
Bei a) kenn ich mich nicht wirklich aus...
Welche Ableitungsregeln kann ich da verwenden? Konstanregel? Produktregel? Kettenregel? Mir leuchtet es nicht ein...
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: (http://www.onlinemathe.de/forum/Erste-Ableitung-bilden-73),
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Sa 03.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie die (erste) Ableitung der folgenden
> Funktionen:
>
> [mm]a) f(x)=\wurzel{ln(tan(x))}[/mm]
> [mm]b) f(x)=sin^2(x)*\wurzel{x^3+1}[/mm]
>
> (Der Definitionsbereich braucht nicht diskutiert zu
> werden.)
> Hallo allerseits!
>
> Ich bräuchte bitte Hilfe bei diesen Beispielen.
>
> Bei b) habe ich schon die Ableitung.
>
> [mm]f'(x)=sin(2x)*\wurzel{x^3+1} + \bruch{sin^2(x)*3x^2}{2*\wurzel{x^3+1}}[/mm]
Das ist korrekt.
>
> Stimmt diese?
>
> Bei a) kenn ich mich nicht wirklich aus...
> Welche Ableitungsregeln kann ich da verwenden?
> Konstanregel? Produktregel? Kettenregel? Mir leuchtet es
> nicht ein...
Die doppelte Kettenregel:
Hier also:
[mm]f'(x)=\overbrace{\frac{1}{2\sqrt{\ln(\tan(x))}}}^{(\sqrt{\Box})^{'}}\cdot\overbrace{\frac{1}{\tan(x)}}^{(\ln(\Box))'}\cdot\overbrace{\frac{1}{\cos^{2}(x)}}^{(\tan(\Box))'}[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Sa 03.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
Danke für die schnelle Antwort!
> Hier also:
>
> [mm]f'(x)=\overbrace{\frac{1}{2\sqrt{\ln(\tan(x))}}}^{(\sqrt{\Box})^{'}}\cdot\overbrace{\frac{1}{\tan(x)}}^{(\ln(\Box))'}\cdot\overbrace{\frac{1}{\cos^{2}(x)}}^{(\tan(\Box))'}[/mm]
Bei a) verstehe ich das leider nicht so genau mit der doppelten Kettenregel, wieso wird alles [mm] \bruch{1}{...} [/mm]?
Wie funktioniert diese doppelte Kettenregel genau?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Sa 03.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> > Hier also:
> >
> >
> [mm]f'(x)=\overbrace{\frac{1}{2\sqrt{\ln(\tan(x))}}}^{(\sqrt{\Box})^{'}}\cdot\overbrace{\frac{1}{\tan(x)}}^{(\ln(\Box))'}\cdot\overbrace{\frac{1}{\cos^{2}(x)}}^{(\tan(\Box))'}[/mm]
>
>
> Bei a) verstehe ich das leider nicht so genau mit der
> doppelten Kettenregel, wieso wird alles [mm]\bruch{1}{...} [/mm]?
Dass hier alles in den Nenner verschwindet, ist zufall:
[mm] g(z)=\sqrt{z} [/mm] hat die Ableitung
[mm] g'(x)=\frac{1}{sqrt{z}}
[/mm]
Nun, da [mm] z(y)=\ln(y) [/mm] hier gegeben ist, brauchst du noch die innere Ableitung, also [mm] z'(y)=\frac{1}{y}
[/mm]
Nun, mit [mm] y(x)=\tan(x) [/mm] brauchst du in der inneren Ableitung von z noch die innere Ableitung des Tangens, und [mm] (tan(x))'=\frac{1}{\cos^{2}(x)}
[/mm]
>
> Wie funktioniert diese doppelte Kettenregel genau?
>
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Sa 03.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
Danke! Jetzt verstehe ich es schon fast 
Woher weiß ich aber, dass ich bei diesem Bsp. die doppelte Kettenregel einstetzen kann und wie funktioniert diese allgemein?
Und kann man diese noch umänderen? Ein Freund von mir hat dann so gerechnet, was ich aber nicht verstehe.
[mm] $f'(x)=\bruch{1}{2}*(ln(tan(x)))^{-\bruch{1}{2}}*(\bruch{cos(x)}{sin(x)}*\bruch{1}{cos^2(x)})$
[/mm]
[mm] $=ln(tan(x))^{-\bruch{1}{2}}*(\bruch{1}{sin(2x)})=ln(tan(x))^{-\bruch{1}{2}}*(sin(2x))^{-1}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Sa 03.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Danke! Jetzt verstehe ich es schon fast
> Woher weiß ich aber, dass ich bei diesem Bsp. die
> doppelte Kettenregel einstetzen kann und wie funktioniert
> diese allgemein?
>
> Und kann man diese noch umänderen? Ein Freund von mir hat
> dann so gerechnet, was ich aber nicht verstehe.
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{2}*(ln(tan(x)))^{-\bruch{1}{2}}*(\bruch{cos(x)}{sin(x)}*\bruch{1}{cos^2(x)})[/mm]
Hallo,
in der hinteren Klammer kürzt sich der Kosinus einmal raus.
Wenn der Gesamtterm mit 2 erweitert wird, dann
- wird aus dem Faktor 1/2 eine 1
- entsteht hinten im Nenner 2*sin(x)*cos(x), was nach Doppelwinkelformel gleich sin(2x) ist.
Gruß Abakus
>
> [mm]=ln(tan(x))^{-\bruch{1}{2}}*(\bruch{1}{sin(2x)})=ln(tan(x))^{-\bruch{1}{2}}*(sin(2x))^{-1}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:48 Sa 03.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
Danke! Aber wie weiß ich, dass ich eine doppelte Kettenregel verwenden kann?
Ich wär nämlich nie draufgekommen.
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Hallo,
zweifache Verkettung -> doppelte Kettenregel, so einfach ist das.
Deine erste Funktion ust vom Typ
f(x)=u(v(w(x)) bzw.
[mm] f=u\circ{v}\circ{w}
[/mm]
mit:
w(x)=tan(x)
v(w)=ln(w)
[mm] u(v)=\wurzel{v}
[/mm]
Der Differentialquotient sieht dann so aus:
[mm] f'(x)=\bruch{du}{dv}*\bruch{dv}{dw}*\bruch{dw}{dx}
[/mm]
Vielleicht hilft dir das ja weiter.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Sa 03.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
Ah! Ok, Danke! So verstehe ich es glaube ich auch endlich! :.)
Ein großes Danke an alle die mir geholfen haben!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Sa 03.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo bobiiii,
> Ah! Ok, Danke! So verstehe ich es glaube ich auch endlich!
Na, schaun wir mal:
Differenziere [mm] f(x)=\sin{((\cos{(e^{x^2-x})})^2)}
[/mm]
Wie oft brauchst Du da die Kettenregel?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Sa 03.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
Also ich würde sagen, dass ich $ sin(...) $, [mm] $(...)^2$, [/mm] $cos(...)$ und [mm] $e^{x^2-x}$ [/mm] ableiten muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Sa 03.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Also ich würde sagen, dass ich [mm]sin(...) [/mm], [mm](...)^2[/mm],
> [mm]cos(...)[/mm] und [mm]e^{x^2-x}[/mm] ableiten muss.
Bis dahin gut. Es fehlt noch [mm] x^2-x. [/mm] Das musst Du auch noch ableiten. Also insgesamt eine viermalige Anwendung der Kettenregel.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 Sa 03.11.2012 | | Autor: | bobiiii |
Hallo!
Mit [mm] $e^{x^2-x}$ [/mm] habe ich ja auch gemeint, dass [mm] $x^2-x$ [/mm] abgeleitet wird, weil die Ableitung von [mm] $e^{x^2-x}$ [/mm] ist [mm] $(2x-1)*e^{x^2-x}.
[/mm]
Aber Danke für den Tipp
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