1. DDR-Mathe-Olympiade, 1961, Klasse 9, Stufe 3 ("Bruch") < Deutsche MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 14:31 So 21.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hier eine Aufgabe aus der allerersten Mathe-Olympiade der DDR:
Es ist der Bruch zu finden, der gleich [mm]0,4[/mm] ist und dessen Zähler und Nenner als Summe eine zweistellige Quadratzahl ergeben.
Viel Spaß!
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Mo 22.03.2004 | | Autor: | Larissa |
Also, der Bruch muss in jedem Fall ein Vielfaches von [mm]\bruch{2}{5}[/mm] sein. Meiner Meinung nach, muss man das siebenfache des Bruches nehmen, da 2+5=7 ist und man daher die Quadratzahl von 7 nehmen muss. Somit würde der Bruch [mm]\bruch{14}{35}[/mm] lauten. Das Ergebniss dieses Bruches wäre dann 0,4 und wenn man Zähler und Nenner addiert erhält man 49, die Quadratzahl von 7.
Kann sein, dass ich gerade völligen Schwachsinn erzähle, aber das war der einzige Weg, den ich gefunden habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 Di 23.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Larissa!
Schneller und eleganter kann man die Aufgabe defintiv nicht lösen. Respekt! 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:27 Di 23.03.2004 | | Autor: | informix |
Hallo Larissa,
du hast sicherlich die richtige Lösung angegeben; aber ich verstehe Deine Argumentation nicht so ganz.
[mm]14/35[/mm] ist sicherlich nicht ein Vielfaches von [mm]2/5[/mm], sondern ein erweiterter Bruch, der immer noch denselben Wert, nämlich 0,4, hat.
Ich habe die Aufgabe so gelöst: Z=Zähler, N=Nenner
[mm]Z/N= 2/5 und Z+N=n^2[/mm] ; dabei ist n eine natürliche Zahl.
setze [mm]Z=2/5*N[/mm] in die zweite Gleichung ein und Du erhältst
[mm]7/5*N = n^2[/mm]
Daraus folgt mit ein paar Umformungen:
[mm]n=7[/mm] weil n eine natürliche Zahl sein muss.
und damit folgt: Z=14 und N = 35
wie gesagt, im Ergebnis stimme ich Dir zu.
Wenn Du Fragen hast, erkläre ich die Zwischenschritte gerne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:58 Di 23.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo informix,
das mit dem "Siebenfachen" war ein Schreibfehler von Larissa, aber ansonsten hat sie die Aufgaben genau so gelöst, nur viel schneller.
Sie hat so argumentiert:
Es gilt:
[mm]Z+N=7[/mm].
Damit auf der rechten Seite eine zweistellige Quadratzahl steht, muss man mit [mm]7[/mm] auf beiden Seiten durchmultiplizieren (denn die "nächstgrößere" Möglichkeit wäre mit [mm]7\cdot 2^2[/mm] durchzumultiplizieren und dann wäre die Quadratzahl bereits dreistellig) und man erhält:
[mm]7Z + 7N = 49[/mm],
d.h. man muss den Bruch mit [mm]7[/mm] erweitern.
Ich hatte die Aufgabe wie du gelöst  , aber Larissas Lösung ist deutlich kürzer und intelligenter, daher war ich schon beeindruckt.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Di 23.03.2004 | | Autor: | Larissa |
Huch, ich habe mal eine einfachere Lösung gefunden? Das ist echt ganz was neues . Normalerweise schaffe ich es nämlich immer, die umständlichste und komplizierteste Lösung zu finden. Aber irgendwie hat mir die Aufgabe gefallen, ich weiss auch nicht wieso.
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