1. DDR-Mathe-Olympiade, 1961, Klasse 9, Stufe 3 ("Konstruktion") < Deutsche MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 00:56 Di 23.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Um selber auch was hierbei zu lernen, stelle ich auch noch eine Geometrie-Aufgabe aus diesem Jahr, die ich als Geometrie-Analphabet (was ich gestern wieder "eindrucksvoll" hier im Forum unter Beweis gestellt habe  ) natürlich nicht auf Anhieb lösen kann:
Gegeben seien ein Winkel mit dem Scheitelpunkt [mm]S[/mm] sowie ein zwischen den Schenkeln dieses Winkels, aber nicht auf der Winkelhalbierenden liegender Punkt [mm]P[/mm]. Konstruieren Sie eine durch [mm]P[/mm] verlaufende Gerade, die die Schenkel des Winkels in den Punkten [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] so schneidet, dass [mm]|PA|=|PB|[/mm] wird! (Die Konstruktion ist zu begründen!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Mi 24.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Die Aufgabe funktioniert auf jeden Fall. Ich weiß jetzt auch, wie sie funktioniert. Wer möchte es denn mal versuchen? (Es genügt die Konstruktion mit Worten zu beschreiben.)
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Do 25.03.2004 | | Autor: | Arthur |
darf ich auch antworten oder warte ich besser auf dir ddr olympiade für die oberstufe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:58 Do 25.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Arthur,
natürlich darfst du auch auf diese Frage antworten.  Ich stelle demnächst auch wieder Aufgaben für die Oberstufe. Da aber dort die Resonanz bisher eher gering war, habe ich in letzter Zeit vermehrt Mittelstufen-Aufgaben gestellt, die du aber auch gerne lösen kannst.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Do 25.03.2004 | | Autor: | Arthur |
Diese Antwort ist zwar falsch, die richtige Antwort gibt Arthur aber hier:
https://matheraum.de/read?f=26&t=265&i=292
ok
auch auf die gefahr hin mich bei einer mittelstufenfrage zu blamieren*G*
jetzt mal formal richtig mies geschrieben(jaja ich weiß im studium muss ich das sauber hinschreiben)
also P darf ja nicht auf der mittelsenkrechten liegen
P liegt dann auf der mittelsenkrechten wenn AS= BS ist
also muss für unseren punkt P gelten
AS =/=BS und dann ist der mittelpunkt der strecke AB ein möglicher punkt P
konstruktion ist denke ich klar :)
hoffe ich habe die aufgabe jetzt auf die schnelle nicht falsch verstanden
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:27 So 28.03.2004 | | Autor: | Arthur |
sind a und b nicht beliebig?
wenn ich von S aus mit 2 verschiedenen radien die schenkel schneide und die schnittpunkte a und b nenne ist doch der mittelpunkt der strecke ab nicht auf der winkelhalbierenden und zwischen den schenkeln also auch ein möglicher punkt p
oder nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 So 28.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Arthur!
> sind a und b nicht beliebig?
[mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] müssen konstruiert werden, der Punkt [mm]P[/mm] ist fest vorgegeben.
> wenn ich von S aus mit 2 verschiedenen radien die schenkel
> schneide und die schnittpunkte a und b nenne ist doch der
> mittelpunkt der strecke ab nicht auf der winkelhalbierenden
> und zwischen den schenkeln also auch ein möglicher punkt
> p
Ja, da liegt ein möglicher Punkt. Aber es geht ja nicht um einen möglichen Punkt, sondern um den fest vorgegebenen Punkt [mm]P[/mm].
Noch einmal:
Fest vorgegeben sind zwei Schenkel und ein Punkt [mm]P[/mm], der nicht auf der Winkelhalbierenden liegt.
Zu konstruieren sind Punkte [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] auf den Schenkeln so, dass [mm]|AP|=|PB|[/mm] gilt. Es sind also Punkt [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] so zu konstuieren, dass die Verbindungsstrecke zwischen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] durch den vorher fest vorgegebenen Punkt [mm]P[/mm] verläuft und dass die beiden Teilstrecken gleich groß sind.
Jetzt klarer?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 So 28.03.2004 | | Autor: | Arthur |
ja jetzt ist es klar :)
werde mal drüber nachdenken da es wohl nicht ausreicht einfach mit einem radius r einen kreis um p zu ziehen und die schnittpunkte mit den schenkeln a und b zu nennen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 So 28.03.2004 | | Autor: | Larissa |
Hallo Stefan!
Man kann diese Aufgabe nur mit Hilfe der Strahlensätze lösen, oder? Wir haben sie nämlich auch noch nicht im Unetrricht besprochen (vermutlich sind wir damit schon wieder dem Lehrplan hinterher ) und als ich sie mir gerade angeguckt habe, bin ich da nicht so richtig draus schlau geworden. Dann versuche ich nämlich erst gar nicht, diese Aufgabe zu lösen...
Ach ja, hattest du eigentlich die Mail wegen Girlsday bekommen? Ich will nämlich morgen mal mit meiner Lehrerin darüber reden und da wären ein paar Informationen nicht schlecht.
Liebe Grüsse
Larissa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:38 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Larissa!
> Man kann diese Aufgabe nur mit Hilfe der Strahlensätze
> lösen, oder?
Zumindestens komme ich auf keine andere Lösung und denke, dass es anders auch nicht geht.
> Wir haben sie nämlich auch noch nicht im
> Unetrricht besprochen (vermutlich sind wir damit schon
> wieder dem Lehrplan hinterher ) und als ich sie mir
> gerade angeguckt habe, bin ich da nicht so richtig draus
> schlau geworden. Dann versuche ich nämlich erst gar nicht,
> diese Aufgabe zu lösen...
Ja, das hat dann wohl keinen Sinn. Schade...
> Ach ja, hattest du eigentlich die Mail wegen Girlsday
> bekommen? Ich will nämlich morgen mal mit meiner Lehrerin
> darüber reden und da wären ein paar Informationen nicht
> schlecht.
Mist, das wird dann jetzt nichts mehr. Ich fahre gleich erst zur Arbeit. Ich konnte es aber bisher nicht rausbekommen, da letzte Woche meine Projektarbeit im Vordergrund stand und die SimuLab-Dinge im Moment etwas warten müssen. Ich versuche es aber bis morgen rauszukriegen, dann kannst du ja noch einmal mit deiner Lehrerin reden.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Larissa!
Wie ich von Arthur gelernt habe, geht es auch ohne Strahlensatz. Tut mir leid, du hättest die Aufgabe also doch lösen können, wenn ich dich nicht entmutigt hätte.
Dieses Forum bietet mir eine Riesenchance. Ich lerne eine Menge interessanter Dinge dazu. Und das alles nach meinem Mathestudium. (Da macht man solche elementargeometrischen Sachen nicht. "Gott sei Dank", sonst wären meine Noten schlechter gewesen, mir liegt eher die abstrakte Mathematik und die Analysis. "Leider", sonst könnte ich es jetzt (vielleicht). )
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:54 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Arthur |
Soo....
also
Ich konstruiere eine Orthogonale zur Winkelhalbierenden durch P.
Jetzt habe ich zwei Schnittpunkte mit den Schenkeln und nenne jetzt mal den rechten davon P'
Jetzt weiß ich, dass P P' und B ein Dreieck bilden. Dessen Hypotenuse ist die Strecke PB. D.h. wenn ich dieses Dreieck noch einmal an das Dreieck anlege komme ich zum Punkt A (hoffe das ist ohne Skizze nachvollziehbar).
Das Dreieck A A' P (mit A A' = P P' und A'P = P'B und AP = PB) erhalte ich durch die Konstruktion einer Parallelen zum rechten Schenkel durch P und der Konstruktion einer Parallenen zum linken Schenkel mit dem Abstand P P'.
Die Parallelen schneiden sich jetzt im Punkt A'
Dieser hat den Abstand PP' zu A und die Parallele zum rechten Schenkel bildet die zweite Seite(gleich der Seite P'B).
Jetzt haben wir also zwei Dreiecke deren Hypotenusen zusammen die Strecke AB bilden und den Punkt P gemeinsam haben.
Es gilt also |AP| = |PB|.
Hoffe ich zumindest :)
Naja und für die Konstruktion reichen eigentlich die beiden Parallelen und zwei Orthogonalen(durch P und durch den Schnittpunkt der Parallelen).
Die Gerade erhält man dann durch P und den Schnittpunkt der Orthogonalen durch den Schnittpunkt mit dem Schenkel.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Arthur |
ok
dachte mir dass es verwirrend ist
also
mir ist bewusst, dass B nicht gegeben ist, B ist auch völlig egal.
Ich überlege mir nur, B bildet, wenn ich B gefunden habe mit
P und P' ein Dreieck ( P' ist der eine Schnittpunkt einer Orthogonalen zur Winkelhalbierenden durch P die beide Schenkel schneidet.)
Jetzt ist also die Seite PP' gegeben.
P'B ist eine Strecke der Länge x auf dem Schenkel
PB ist die Strecke die gleich AP sein soll.
so...jetzt ist meine Überlegung folgende:
Wenn dieses Dreieck verschiebe, so dass B auf P liegt, P auf A und P' auf A', so habe ich zwei identische Dreiecke die den Punkt P gemeinsam haben.
also AP und PB sind gleichlang...
hmm ich sehe das ist dumm zu beschreiben
also: ich habe die seite PP' gegeben und suche ein zweites Dreieck , das auch die Seite PP' hat, und dessen zweite Seite Parallel zum Schenkel verläuft und dessen Hypotenuse(sagt man hypotenuse auch wenn es nicht rechtwinklig ist?) der des 1. Dreiecks entspricht.
Dies finde ich jetzt so:
ich habe den Punkt P und finde P'
Jetzt konstruiere ich eine Parallele zum Schenkel durch P auf der einen Seite und eine zweite Parallele zum anderen Schenkel mit dem Abstand PP'
Die treffen sich jetzt in einem Schnittpunkt A'.
jetzt habe ich also A gefunden(orthogonale zur Winkelhalbierenden durch A')
Jetzt verbinde ich A und P und habe eine Strecke AP und führe diese weiter bis sie den zweiten Schenkel in B schneidet.
Dadurch sind zwei Dreiecke entstanden
A A'P
und
P P'B
dabei gilt
AA' = PP'
AP = PB
A'P = P'B
und es gilt eben AP = PB, und deshalb schien es mir eine lösung zu sein :)
edit:
http://home.arcor.de/arthur.gerigk/skizze.jpg
ist zwar ungenau aber hilft vielleicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Arthur,
okay, ich habe es mir noch einmal überlegt. Deine Lösung scheint doch richtig zu sein. Entschuldige bítte!! Das kommt davon, wenn man zu sehr auf eine (andere) Lösung fixiert ist.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Arthur |
juhu :)
aber für eine 9. klasse aufgabe ist die recht schwer finde ich
da sind unsere abiaufgaben zum großteil einfacher
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Brigitte |
Hallo Arthur!
Zunächst mal:
nette Idee mit der Dreiecksverschiebung. Gefällt mir gut.
Aber ich verstehe noch nicht ganz, wieso die Strecke A'A tatsächlich so lang sein sollte wie P'P. Nach Deiner Konstruktion von A' ist doch nur der senkrechte (also kürzeste) Abstand von A' zum Schenkel, wo A drauf liegt,
von der Länge P'P. Du wählst aber die Gerade, die senkrecht auf die Winkelhalbierende steht, um die Länge P'P zu erhalten. In meiner Zeichnung ist der Punkt P recht nah an der Winkelhalbierenden gewählt und der Winkel der beiden Schenkel fast 90 Grad groß. Wenn ich mich nicht "verzeichnet" habe, kommt nach Deiner Konstruktion da eine ziemliche Abweichung der beiden Strecken raus.
Vielleicht könntest Du auf meine Bedenken noch mal kurz eingehen. Am Ende habe ich was in Deiner Konstruktion nicht verstanden.
Trotzdem glaube ich, Deine Idee retten zu können. Wenn man nämlich die Parallele zum zweiten Schenkel so wählt, dass sie durch denjenigen Punkt geht, der bei Spiegelung von P an der Winkelhalbierenden wählt, liegt der neue Punkt A' auf der Winkelhalbierenden, und A'A ist tatsächlich genau so lang wie P'P.
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Danke für deine Antwort. Ich hatte Arthur so verstanden, dass [mm]A'[/mm] auf der Winkelhalbierenden liegen sollte, aber vielleicht habe ich da auch zu viel reininterpretiert.
Ich lese es mir noch mal durch.
Vielleicht kann Arthur dazu ja tatsächlich noch mal was sagen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Arthur |
ja der schnittpunkt von den beiden parallelen liegt auf der winkelhalbierenden
das war auch zuerst meine idee...aber dann dachte ich dass ich ja einen grund bräuchte weshalb er da liegt
und dann dachte ich dass eine parallele mit dem abstand PP' eine gute lösung ist da jeder schnittpunkt mit einer orthogonalen dann den abstand PP' zum schenkel haben muss
und analog eben zum anderen schenkel eine parallele mit dem gleichen abstand...dann gilt beim schnittpunkt dass der abstand zu beiden seiten PP' ist (da die parallele ja so konstruiert wurde dass das immer der fall ist...und daher liegt der schnittpunkt auch immer auf der winkelhalbierenden)
die parallele durch P hat aber eben auch noch den sinn dass sie die rechte seite des dreiecks bildet...nur die länge der strecke wird eben durch den schnittpunkte mit der linken parallelen bestimmt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Arthur!
Okay, dann meintest du es doch so, wie ich es interpretiert hatte. Aber ich kann Brigitte sehr gut verstehen, das war nicht eindeutig so formuliert. (Das kommt schon noch im Mathestudium. ) Aber okay, jetzt ist es jedenfalls richtig.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Arthur |
ja hoffe ich doch
hatte das problem schon häufiger in klausuren dass ich zu ungenau erklärt habe wie ich zu meinen lösungen gekommen bin
muss es vor allem in 3 wochen hinkriegen...dann ist nämlich meine abiprüfung :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Also, ich habe es mir noch einmal durchgelesen.
Ich fasse es noch einmal zusammen (korrigiert mich bitte, wenn ich falsch liege): Arthur konstruiert [mm]A'[/mm] als Schnittpunkt zweier Geraden, die beide parallel zu jeweils einem der Schenkel liegen und jeweils zu dem nächstgelegenen Schenkel den gleichen Abstand haben (und hier ist die Frage, ob er das tatsächlich so gemacht hat, das konnte ich nicht eindeutig aus seiner Konstruktion erkennen, zumindestens klingt es ansatzweise so). Dann läge [mm]A'[/mm] automatisch auf der Winkelhalbierenden und der Rest ginge so durch. Aber da Arthur so was in der Art von "Abstand von [mm]|PP'|[/mm]" erwähnt (und das wäre definitiv falsch), hast du vermutlich Recht, liebe Brigitte, und ich habe da zu viel reininterpretiert. Aber meine Interpretation passte halt zu dem Rest ("Winkelhalbierende durch [mm]A'[/mm]"). Ach, ich weiß es nicht, warten wir es ab.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Arthur |
ja das stimmt
nur weiß ich jetzt was du meinst
abstand PP' stimmt nicht da abstand immer der kürzeste weg ist...und der ist ja nicht die orthogonale zur winkelhalbierenden...das ist aber nur ein ausdruckfehler kein konstruktionsfehler*G*
ich konstruiere also beide parallelen so, dass der schnittpunkt einer orthogonalen zur mittelsenkrechten zum schenkel den abstand PP' hat
so :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Arthur!
Also entweder ich bin zu müde oder aber es ist immer noch falsch. (?)
Der Abstand ist doch nicht gleich [mm]|PP'|[/mm], oder was wolltest du schreiben?
Naja, ist ja auch egal, du meinst ja das Richtige. Brigitte hat es ja ausführlich erklärt, wie man auf [mm]A'[/mm] kommt, insofern haben wir ja eine korrekte Lösung.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Mo 29.03.2004 | | Autor: | Arthur |
also ich bin zwar auch müde und gehe jetzt auch ins Bett
aber
AA' muss doch gleich PP' sein wenn wir zwei identische Dreiecke konstruiert haben....
wir haben doch zwei Parallelen konstruiert für die gilt, dass deren Schnittpunkte mit Orthogonalen zur Mittelsenkrechte den Abstand PP' zum Schenkel haben...also die Schnittpunkte nicht die Paralallele selbst.
Das muss doch so sein, da sonst AA' nicht PP' wäre und dann die Dreiecke nicht identisch wären.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Di 30.03.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo!
Ich bin mal kurz über eure Diskussion geflogen und wollte nur noch einen kleinen Tipp geben:
Betrachtet doch einmal in der Lösungsskizze folgenden Ansatz: A und B müssen bezüglich P punktgespiegelt sein. Da A auf dem einen Schenkel liegt, muss A' = B somit auf der Punktspiegelung dieses Schenkels sein.
Der Rest der Ueberlegung und der Konstruktion ergibt sich dann wie von selbst!
Mit freundlichen Grüssen
Paulus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Di 30.03.2004 | | Autor: | Arthur |
auch auf die gefahr hin, dass es hier langsam unübersichtlich werden könnte:
ja klar habe ich da interesse
wir schreiben über folgen und grenzwerte, vollständige induktion, beweise mit teilverhältnissen, beweise mit skalarprodukt, abstandsaufgaben mit ebenen geraden punkten, e-funktionen mit beschränktem und exponentiellem wachstum, integrale,....hmm glaube das ist es so im grobem...aja allgemeine funktionsuntersuchungen natürlich noch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 Di 30.03.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Arthur, lieber Stefan!
> ja das stimmt
> nur weiß ich jetzt was du meinst
> abstand PP' stimmt nicht da abstand immer der kürzeste weg
> ist...und der ist ja nicht die orthogonale zur
> winkelhalbierenden...das ist aber nur ein ausdruckfehler
> kein konstruktionsfehler*G*
Sorry, dass ich durch meine Erklärungen noch mal so viel Verwirrung gestiftet habe. Das, was Du schreibst, Arthur, ist genau, was ich meinte.
Tut mir leid, dass ich an dem Ausdrucksfehler noch rumnörgeln musste. Bei meinen ersten Versuchen, Deiner Konstruktion zu folgen, hatte ich aber P so gewählt, dass es mit (etwas ungenauem) Zeichnen trotzdem hinkam. Deshalb war ich nicht sicher, was Du meintest.
> ich konstruiere also beide parallelen so, dass der
> schnittpunkt einer orthogonalen zur mittelsenkrechten zum
> schenkel den abstand PP' hat
> so :)
Genau. Das hast Du schön umschrieben. Das Problem ist wohl nur, dass man das nur versteht, wenn man es selbst formulieren wollte Ich hatte gestern auch erst so etwas im Kopf, habe mich dann aber doch noch für die Spiegelung von P entschieden, was denselben Effekt hat. Auf jeden Fall ist die Konstruktion aber sehr gut so.
Hoffe, dass damit das Thema erledigt ist
Liebe Grüße
Brigitte
P.S.: Magst Du nach dem Abi Mathe studieren? Darf ich Werbung für meine Uni machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Di 30.03.2004 | | Autor: | Arthur |
ja ich habe vor mathe zu studieren und du darfst gerne werbung für deine uni machen!
allerdings denke ich dass ich aus bequemlichkeit erst einmal in heidelberg anfangen werde(wohne 10 minuten zu fuß und knapp 5 minuten mit dem fahrrad von der uni weg)
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