1. DDR-Mathe-Olympiade, 1961, Stufe 4, Klasse 12 ("konvexes Viereck") < Deutsche MO < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:20 Sa 03.04.2004 | | Autor: | Stefan |
Hier ein Lösungsversuch von mir:
Es gibt mindestens eine Diagonale (sagen wir, durch zwei Eckpunkte [mm]A[/mm] und [mm]C[/mm]) und einen weiteren Eckpunkt (sagen wir [mm]B[/mm]) des konvexen Vierecks, so dass das entstehende Dreieck [mm]ABC[/mm] im Punkt [mm]B[/mm] einen Winkel [mm]180°> \beta \ge 90°[/mm] besitzt. Wir wählen jetzt diese Punkte fest.
Dann gilt nach dem Satz von Pythagoras:
[mm]|AC|^2 \ge |AB|^2 + |BC|^2 \ge 2 \cdot \min\{|AB|^2,|BC|^2\}[/mm].
Es folgt:
[mm]\frac{\max\{|AB|,|AC|, |AD|,|BC|,|BD|,|CD|\}}{\min\{|AB|,|AC|, |AD|,|BC|,|BD|,|CD|\}} \ge \frac{|AC|}{\min\{|AB|,|BC|\}}\ge \sqrt{2}[/mm].
Einverstanden? 
Ich bitte um Kommentare.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Sa 03.04.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Stefan
Nachdem du von meinem Lösungsversuch einer andern Aufgabe begeistet warst und du einen Kommentar zu deinem Lösungsversuch wünschst, folgendes:
> Hier ein Lösungsversuch von mir:
>
Ist das wirklich nur ein 'Versuch'?
> Es gibt mindestens eine Diagonale (sagen wir, durch zwei
> Eckpunkte [mm]A[/mm] und [mm]C[/mm]) und einen weiteren Eckpunkt (sagen wir
> [mm]B[/mm]) des konvexen Vierecks, so dass das entstehende Dreieck
> [mm]ABC[/mm] im Punkt [mm]B[/mm] einen Winkel [mm]180°> \beta \ge 90°[/mm] besitzt.
> Wir wählen jetzt diese Punkte fest.
>
> Dann gilt nach dem Satz von Pythagoras:
>
> [mm]|AC|^2 \ge |AB|^2 + |BC|^2 \ge 2 \cdot \min\{|AB|^2,|BC|^2\}[/mm].
>
Für Langsamdenker, wie ich einer bin, könnte man diese Ungleichung noch etwas umformen (?), damit einem der rechte Teil deiner abschliessenden Ungleichung sofort ins Auge springt. (Soll aber durchaus keine Kritik sein!!)
>
> Es folgt:
>
> [mm]\frac{\max\{|AB|,|AC|, |AD|,|BC|,|BD|,|CD|\}}{\min\{|AB|,|AC|, |AD|,|BC|,|BD|,|CD|\}} \ge \frac{|AC|}{\min\{|AB|,|BC|\}}\ge \sqrt{2}[/mm].
>
>
> Einverstanden?
>
> Ich bitte um Kommentare.
>
Das ist schlichtweg genial!! Ich hab nämlich auch ein Wenig über diese Aufgabe nachgedacht und wollte vom Ansatzt ausgehen zu beweisen, dass das gesuchte q in einem Quadrat den Minimalwert annimmt.
[mm] \wurzel {2} [/mm] in der Aufgabe hat mich darauf 'gestossen'.
Die Bemühung hat aber noch nicht viel gefruchtet 
Deine Lösung ist aber so umwerfend, dass ich all meine weiteren Bemühungen aufgebe. Super!!
> Liebe Grüße
> Stefan
>
>
Ebenfalls viele Grüsse (aus der Schweiz)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mo 05.04.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
Diese Lösung überzeugt mich. Kann keinen Fehler entdecken und schließe mich den Worten von Paulus an!!!
So wirst Du doch noch zum Geometrie-Gott
Viele Grüße
Brigitte
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