1. Ordnung durch Substitution < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:27 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende DGL durch lineare Substitution:
[mm] $xy'=y+\wurzel{x^2+y^2} [/mm] |
Ich habe leider keinerlei Ansatz wie ich diese lösen soll.
Zuvor hatte ich die Aufgabe [mm] $y'=(x+y)^2$ [/mm] mit dem Anfangswertproblem y(0)=1
Da war die Substitution natürlich einfach, aber hier scheitere ich schon.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Mo 03.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie folgende DGL durch lineare Substitution:
>
> [mm]$xy'=y+\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
> Ich habe leider keinerlei Ansatz wie ich diese lösen
> soll.
>
> Zuvor hatte ich die Aufgabe [mm]y'=(x+y)^2[/mm] mit dem
> Anfangswertproblem y(0)=1
>
> Da war die Substitution natürlich einfach, aber hier
> scheitere ich schon.
Für x>0 haben wir
[mm] $y'=\bruch{y}{x}+\wurzel{1+(\bruch{y}{x})^2}$
[/mm]
Setze [mm] z:=\bruch{y}{x}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Okay, soweit verstehe ich die Substitution
Dadurch bekomme ich:
[mm] $u=\bruch{y}{x}$
[/mm]
[mm] $u'=y'=u+\wurzel{1+u^2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] u+\wurzel{1+u^2}$
[/mm]
Wie kann ich denn hier jetzt weiter vorgehen?
Meine Idee wäre nun
[mm] $\bruch{du}{u}= 1+\wurzel{1+u^2}dx$
[/mm]
habe aber das Gefühl, dass das falsch ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 Mo 03.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Okay, soweit verstehe ich die Substitution
>
> Dadurch bekomme ich:
>
> [mm]u=\bruch{y}{x}[/mm]
>
> [mm]u'=y'=u+\wurzel{1+u^2}[/mm]
Wie kommst Du auf u'=y' ????
Es ist y'=u'x+u, also
[mm] u'x=\wurzel{1+u^2}
[/mm]
FRED
>
> [mm]\bruch{du}{dx} = u+\wurzel{1+u^2}[/mm]
>
> Wie kann ich denn hier jetzt weiter vorgehen?
> Meine Idee wäre nun
> [mm]\bruch{du}{u}= 1+\wurzel{1+u^2}dx[/mm]
> habe aber das Gefühl,
> dass das falsch ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
> Es ist y'=u'x+u
Wie kommst Du da drauf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Mo 03.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist y'=u'x+u
>
> Wie kommst Du da drauf?
Aus
$ [mm] u=\bruch{y}{x} [/mm] $
folgt
y=xu.
Jetzt Produktregel !!!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Vielen Dank!
Die Produktregel und ich werden glaube ich auch keine Freunde mehr...
Jedes Mal übersehe ich die.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Nachdem ich nun die Produktregel angewendet habe, erhalte ich:
[mm] $u'x+u=u+\wurzel{1+u^2}$
[/mm]
[mm] $u'x=\wurzel{1+u^2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{du}{dx}=\bruch{\wurzel{1+u^2}}{x}$
[/mm]
[mm] $\bruch{du}{\wurzel{1+u^2}}=\bruch{dx}{x}$
[/mm]
[mm] $\integral{}^{}{\bruch{du}{\wurzel{1+u^2}}}=\integral{}^{}{\bruch{dx}{x}}$
[/mm]
[mm] $u+\wurzel{1+u^2}=C*x$
[/mm]
Nun wieder rücksubstituiert
[mm] $\bruch{y}{x}+\wurzel{1+(\bruch{y}{x})^2}=C*x$
[/mm]
[mm] $y+\wurzel{x^2+y^2}=C*x^2$
[/mm]
[mm] $Cx^2-y=\wurzel{x^2+y^2}$
[/mm]
[mm] $(Cx^2-y)^2=x^2+y^2$
[/mm]
[mm] $Cx^4-2Cx^2*y+y^2=x^2+y^2$
[/mm]
Irgendwie bekomme ich keine ordentliche Lösung heraus. Wo genau mache ich jetzt noch einen Fehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Mo 03.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Nachdem ich nun die Produktregel angewendet habe, erhalte
> ich:
>
> [mm]u'x+u=u+\wurzel{1+u^2}[/mm]
>
> [mm]u'x=\wurzel{1+u^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}=\bruch{\wurzel{1+u^2}}{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{\wurzel{1+u^2}}=\bruch{dx}{x}[/mm]
>
> [mm]\integral{}^{}{\bruch{du}{\wurzel{1+u^2}}}=\integral{}^{}{\bruch{dx}{x}}[/mm]
>
> [mm]u+\wurzel{1+u^2}=C*x[/mm]
Wie kommst Du denn darauf ???
FRED
>
> Nun wieder rücksubstituiert
>
> [mm]\bruch{y}{x}+\wurzel{1+(\bruch{y}{x})^2}=C*x[/mm]
>
> [mm]y+\wurzel{x^2+y^2}=C*x^2[/mm]
>
> [mm]Cx^2-y=\wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> [mm](Cx^2-y)^2=x^2+y^2[/mm]
>
> [mm]Cx^4-2Cx^2*y+y^2=x^2+y^2[/mm]
>
> Irgendwie bekomme ich keine ordentliche Lösung heraus. Wo
> genau mache ich jetzt noch einen Fehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$ \integral{}^{}{\bruch{du}{\wurzel{1+u^2}}}=\integral{}^{}{\bruch{dx}{x}} $
\gdw
$ln(\wurzel{1+u^2})=ln(\bruch{C}{x}}$
$\wurzel{1+u^2}=\bruch{C}{x}$
Ich habe einfach kein Ahnung was ich da tue und wie ich weiterkommen soll...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Mo 03.02.2014 | | Autor: | fred97 |
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> [mm]\integral{}^{}{\bruch{du}{\wurzel{1+u^2}}}=\integral{}^{}{\bruch{dx}{x}}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]ln(\wurzel{1+u^2})=ln(\bruch{C}{x}}[/mm]
nein. Leite mal [mm] ln(\wurzel{1+u^2}) [/mm] ab !!!
>
> [mm]\wurzel{1+u^2}=\bruch{C}{x}[/mm]
>
> Ich habe einfach kein Ahnung was ich da tue und wie ich
> weiterkommen soll...
Eine Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+u^2}} [/mm] ist arsinh(u)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Danke, jetzt komme ich auf die gegebene Lösung!
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