10.Kl. S. 55, Nr. 9 < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Di 01.11.2011 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Aufg.
In 10 Tagen verdoppelt sich das Gewicht von neugeborenen Katzenbabies.
a) Berechne mit einem exponentiellem Modell das Gewicht nach 3 (5, 20, 150) Tagen.
Dann ist eine Tabelle gegeben mit folgenden Wertepaaren
(0/150) und (10/300)
b) Beurteile deine Ergebnisse. Was hälst du von der Annahme, dass die Gewichtszunahme exponentiell (linear) wächst? |
Hallo,
ich habe raus (stark gerundet)
a)
aufgestellte Fkt.-Gleichg. f/x)= 150 * [mm] 1,07^x
[/mm]
( 3Tg. / 185g)
( 5Tg. / 212g)
(20Tg. / 600g)
(150Tg./ 5000g)
Die Werte sind durchaus relistisch. Wir hatten mal einen Brocken von Kater, der wog unglaubliche 9 kg. Und 150 Tage sind ca. 5 Monate.
Was mir mehr Sorgen macht ist
b)
Würde man aber nun das Gewicht nach einem noch längerem Zeitraum (z.B. 10 Monate) bestimmen wollen, dann kämen gigantische kg raus, die es nicht gibt. Exponentiell ist der Prozess der Wachstumszunahme trotzdem, denn vergleicht man die Gewichtszunahme von Kindern (0-10 J.) u. deren Wachstum mit Kindern am Ende des Wachstums (10- 17 J.). , dann legen auch sie am Anfang ordentl. zu u. dann langsam aber zunehmend immer weniger.
Linear ist es auf keinen Fall, da nicht zu jedem Zeitpkt. immer gleich viel zugenommen wird.
Exponentiell ja, aber nicht so, dass y gegen unendlich strebt. So habe ich an der Fkt. "rumgebastelt" u. komme auf
vor die Basis muss ein Minus u. vor dem x oben kommt ebenfalls ein Minus,
dann 150* - 1,07^(-x)
Jetzt muss das Ding noch soweit hochgefahren werden, dass der Schnittpkt. mit y-Achse exakt bei 150 g ist.
Ich habe raus
f(x)=150* - 1,07^(-x) +300
Ist das richtig?
Gruß
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Di 01.11.2011 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Sabine!
> Aufg.
> In 10 Tagen verdoppelt sich das Gewicht von neugeborenen
> Katzenbabies.
> a) Berechne mit einem exponentiellem Modell das Gewicht
> nach 3 (5, 20, 150) Tagen.
> Dann ist eine Tabelle gegeben mit folgenden Wertepaaren
> (0/150) und (10/300)
> b) Beurteile deine Ergebnisse. Was hälst du von der
> Annahme, dass die Gewichtszunahme exponentiell (linear)
> wächst?
> Hallo,
> ich habe raus (stark gerundet)
> a)
> aufgestellte Fkt.-Gleichg. f/x)= 150 * [mm]1,07^x[/mm]
> ( 3Tg. / 185g)
> ( 5Tg. / 212g)
> (20Tg. / 600g)
> (150Tg./ 5000g)
> Die Werte sind durchaus relistisch. Wir hatten mal einen
> Brocken von Kater, der wog unglaubliche 9 kg. Und 150 Tage
> sind ca. 5 Monate.
> Was mir mehr Sorgen macht ist
>
> b)
> Würde man aber nun das Gewicht nach einem noch längerem
> Zeitraum (z.B. 10 Monate) bestimmen wollen, dann kämen
> gigantische kg raus, die es nicht gibt. Exponentiell ist
> der Prozess der Wachstumszunahme trotzdem, denn vergleicht
> man die Gewichtszunahme von Kindern (0-10 J.) u. deren
> Wachstum mit Kindern am Ende des Wachstums (10- 17 J.). ,
> dann legen auch sie am Anfang ordentl. zu u. dann langsam
> aber zunehmend immer weniger.
> Linear ist es auf keinen Fall, da nicht zu jedem Zeitpkt.
> immer gleich viel zugenommen wird.
> Exponentiell ja, aber nicht so, dass y gegen unendlich
> strebt. So habe ich an der Fkt. "rumgebastelt" u. komme
> auf
> vor die Basis muss ein Minus u. vor dem x oben kommt
> ebenfalls ein Minus,
> dann 150* - 1,07^(-x)
> Jetzt muss das Ding noch soweit hochgefahren werden, dass
> der Schnittpkt. mit y-Achse exakt bei 150 g ist.
> Ich habe raus
>
> f(x)=150* - 1,07^(-x) +300
>
> Ist das richtig?
Nee, ist es nicht. Weder exponentielles noch lineares Wachstum kannst du beliebig weit fortschreiben, genauer, du kannst es schon, aber dann beschreibt dein Rechenmodell nicht mehr die Wirklichkeit. Ein Großteil der Probleme, von denen im Moment die Zeitungen voll sind, hängt damit zusammen.
Und deine Formel stimmt u. a. auch deswegen nicht, weil die Basis positiv sein muß. Nimm mal deinen TR und berechne das für x = 1,5 oder x = 2,345 oder so. Was sagt er?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hallo,
du mal wieder,
schön!
mein PC zu Haus ist defekt u. ich habe jetzt hier im Internet-Cafe keine Mathesachen, wie TR, dabei, um es jetzt gleich auszuprobieren. Werde es aber nachher tun.
Ja, natürl. hast du recht, wenn du sagst, dass es weder linear, noch exponentiell ist. Niemand nimmt unbegrenzt an Gewicht zu.
Aber bei der exponentiellen gibt es doch einen Grenzwert.
Und dann dürfte man doch bei dem Abkühlen einer Flüssigkeit auch keine exponentielle Fkt. nehmen. Ist die Umgebungstemperatur erreicht, fertig, d.h. weiter passiert da nix (mal spezifische Eigenschaften bestimmter Flüssigkeiten außer acht gelassen).
Ich vermute allerdings, dass das nicht dein Argument ist, sondern du trotz meines Einwandes recht hast. Aber warum?
Es sollte beschränktes Wachstum sein.
Wie hätte es denn richtig geheißen?
Vielleicht kann ich heut abend nochmal gucken. Wenn nicht da wieder morgen um diesselbe Zeit, wenn nix dazwischen kommt.
Und dir umme Ecke erstmal vielen DANK, mal schauen,w as mein TR sagt.
Lg ut Uhlenhorst
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Mi 02.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Solche Dinge werden mit dem sogenannten logistischen Wachstum gut beschrieben, eine Erklärung dazu findest du bei ![[]](/images/popup.gif) poenitz-net.de im Kapitel "4.7.6. Logistisches Wachstum".
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Do 03.11.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Marius,
ich lasse mir gleich die kleine Erklärg. mit Bildchen von dir ausdrucken u. zu Hause studieren.
Gestern habe ich allerdings mich nochmal mit dieser Aufg. beschäftigt u. gebe zu, dass
f(x)= - [mm] 150*1,07^{-x} [/mm] +300
so eine Fkt. totaler Müll ist.
Ich habe es nun geändert in
f(x)= - [mm] 150*1,07^x [/mm] +300
Nun gut, einziger Haken, kein Welpe wird mit einem neg. Gewicht geboren.
So, aber wegen des, wie du sagst, logistisches Wachstum, soll auch meine neue Überlegung Müll sein?
Ich werde das logistische Wachstum mal z.Hs. mir genauer angucken.
DANKE erstmal.
mfg
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Do 03.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Marius,
> ich lasse mir gleich die kleine Erklärg. mit Bildchen von
> dir ausdrucken u. zu Hause studieren.
> Gestern habe ich allerdings mich nochmal mit dieser Aufg.
> beschäftigt u. gebe zu, dass
> f(x)= - [mm]150*1,07^{-x}[/mm] +300
> so eine Fkt. totaler Müll ist.
> Ich habe es nun geändert in
> f(x)= - [mm]150*1,07^x[/mm] +300
> Nun gut, einziger Haken, kein Welpe wird mit einem neg.
> Gewicht geboren.
Das passt auch nicht. Du hast zwei Punkte gegeben, nämlich:
(0/150) und (10/300)
Und du sollst eine Fuktion [mm] f(x)=a\cdot b^{x} [/mm] erstellen.
Mit den beiden Punken bekommst du:
[mm] \vmat{ab^{0}=150\\ab^{10}=300}
[/mm]
Hier hast du insofern Glück, dass du aus der ersten Gleichung direkt a=150 ablesen kannst, denn [mm] b^{0}=1
[/mm]
Das in die zweite Gleichung eingesetzt:
[mm] 150b^{10}=300
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \frac{1}{2}=b^{10}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow b=\sqrt[10]{\frac{1}{2}}\approx0,933
[/mm]
Also:
[mm] f(x)=150\cdot0,933^{x}
[/mm]
> So, aber wegen des, wie du sagst, logistisches Wachstum,
> soll auch meine neue Überlegung Müll sein?
> Ich werde das logistische Wachstum mal z.Hs. mir genauer
> angucken.
Das logistische Wachstum war nur für Aufgabe b gedacht, denn "rein exponentielles Wachstum" macht bei Größen von Tieren keinen Sinn.
> DANKE erstmal.
> mfg
> Sabine
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hi Marius,
Du schreibst
> [mm]f(x)=150\cdot0,933^{x}[/mm]
soll es sein.
Aber dein b ist zwischen 0 und 1 oder anders gesagt
kleiner als 1,
Wachstum 1+p/100
Abname 1-p/100
d.h. bei deiner Fkt.-Gleichg. handelt es sich doch um Abnahme, aber die Lütten nehmen doch an Gewicht zu.
Ist deine Fkt. trotzdem richtig?
Gruß
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Marius hatte oben:
$ [mm] 150b^{10}=300 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow \frac{1}{2}=b^{10} [/mm] $
Bei dieser Folgerung hat er sich vertippt.
Richtig: $ [mm] \Leftrightarrow 2=b^{10} [/mm] $
Dies liefert [mm] b=\wurzel[10]{2} \cong [/mm] 1,0717
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hi Fred,
unglaublich, wie zackig man hier Antw. bekommen kann.
DANKE!
Ja, dass hatte ich z.Hs. auch raus:
Wurzel aus 2
Dann ist ja alles klar.
Voila u. danke
Gruß
Sabine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred,
> unglaublich, wie zackig man hier Antw. bekommen kann.
Ja, wir sind halt eine schnelle Truppe
Der vorne rechts mit dem Schnuller, das bin ich.
FRED
> DANKE!
> Ja, dass hatte ich z.Hs. auch raus:
> Wurzel aus 2
> Dann ist ja alles klar.
> Voila u. danke
> Gruß
> Sabine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Giraffe |
Lachen tut so gut. Mir ist richtig warm geworden vom kräftigen Lachen.
Schön.
Aber ich bin immer noch nicht einverstanden mit
[mm] f(x)=150*1,07177^x
[/mm]
Die Katzenbabies würden doch irgendwann wegen der exponentiellen Gewichtszunahme PLATZEN. Selbst, wenn man den Def.bereich einschränken u. bei einem best. x stoppen würde. Das stoppt zu abrupt.
Der Mann mit dem logistischen Wachstum, also ich habe sein Bild nicht 100%ig verstanden u. zu Hause alle Bücher nach dem Begriff "logistisches Wachstum" durchsucht. Und dabei bin ich endlich auf "beschränktes Wachstum" gestoßen.
Da steht (Zit.):
Der Zuwachs Z ist proportional zur Differenz des Bestandes [mm] x_n [/mm] und seiner Obergrenze G
Z = b [mm] (G-x_n)
[/mm]
Einfaches beschränktes Wachstum [mm] x_{n+1} =x_n [/mm] + b (G- [mm] x_n)
[/mm]
Der Zuwachs wird kleiner, z.B.:
[mm] x_0=2, [/mm] b=0,09, G=20
[mm] x_{n+1} =x_n [/mm] + 0,09(20- [mm] x_n)
[/mm]
absolutes Wachstum
dann ist eine Tab. abbgebildet, die folgende Wertepaare zeigt
(0/2)
(1/3,62)
(2/5,09)
(3/6,43)
usw.
dann ist eine Kurve abbgebildet, die ich genau brauche f. meine Katzenbabies, die nach der Geburt ordentl. an Gewicht zulegen. Und irgendwann hört dieses Zulegen langsam auf.
Kapiert habe ich das G die Asymptote ist, d.h. hier ist das maximale Gewicht, was überhaupt erreicht werden kann. Darüber hinaus geht nicht.
Die Asymptote ist der Grenzwert.
Womit ich nicht zurecht komme sind die Indexe oder Indicees. Die verwirren mich. Mir ist schon klar, dass die Indexe dafür da sind verschiedene x´s zu unterscheiden.
Was ist denn überhaupt n?
Ist da jmd., der mir die Aufg. mit den Katzenbabies auf
[mm] x_{n+1} =x_n [/mm] + b (G- [mm] x_n)
[/mm]
übertragen würde? Bitte!
G legen wir einfach auf 6 kg fest G=6000 g
x soll die Anzahl von Tagen u. y soll Gramm sein.
Wie immer vielen DANK für alle Hilfe.
Gruß
Sabine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 06.11.2011 | | Autor: | Giraffe |
Lachen tut so gut. Mir ist richtig warm geworden vom kräftigen Lachen.
Schön.
Aber ich bin immer noch nicht einverstanden mit
[mm] f(x)=150*1,07177^x
[/mm]
Die Katzenbabies würden doch irgendwann wegen der exponentiellen Gewichtszunahme PLATZEN. Selbst, wenn man den Def.bereich einschränken u. bei einem best. x stoppen würde. Das stoppt zu abrupt.
Der Mann mit dem logistischen Wachstum, also ich habe sein Bild nicht 100%ig verstanden u. zu Hause alle Bücher nach dem Begriff "logistisches Wachstum" durchsucht. Und dabei bin ich endlich auf "beschränktes Wachstum" gestoßen.
Da steht (Zit.):
Der Zuwachs Z ist proportional zur Differenz des Bestandes [mm] x_n [/mm] und seiner Obergrenze G
Z = b [mm] (G-x_n)
[/mm]
Einfaches beschränktes Wachstum [mm] x_{n+1} =x_n [/mm] + b (G- [mm] x_n)
[/mm]
Der Zuwachs wird kleiner, z.B.:
[mm] x_0=2, [/mm] b=0,09, G=20
[mm] x_{n+1} =x_n [/mm] + 0,09(20- [mm] x_n)
[/mm]
absolutes Wachstum
dann ist eine Tab. abbgebildet, die folgende Wertepaare zeigt
(0/2)
(1/3,62)
(2/5,09)
(3/6,43)
usw.
dann ist eine Kurve abbgebildet, die ich genau brauche f. meine Katzenbabies, die nach der Geburt ordentl. an Gewicht zulegen. Und irgendwann hört dieses Zulegen langsam auf.
Kapiert habe ich das G die Asymptote ist, d.h. hier ist das maximale Gewicht, was überhaupt erreicht werden kann. Darüber hinaus geht nicht.
Die Asymptote ist der Grenzwert.
Womit ich nicht zurecht komme sind die Indexe oder Indicees. Die verwirren mich. Mir ist schon klar, dass die Indexe dafür da sind verschiedene x´s zu unterscheiden.
Was ist denn überhaupt n?
Ist da jmd., der mir die Aufg. mit den Katzenbabies auf
[mm] x_{n+1} =x_n [/mm] + b (G- [mm] x_n)
[/mm]
übertragen würde? Bitte!
G legen wir einfach auf 6 kg fest G=6000 g
x soll die Anzahl von Tagen u. y soll Gramm sein.
Wie immer vielen DANK für alle Hilfe.
Gruß
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 So 06.11.2011 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Deine Idee mit dem negativen Exponenten ist gar nicht so schlecht!
du musst erst mal festlegen, wie schwer deine katze in hohem alter werden soll! Beispiel, dein Kater mit 9000g
dann willst du anfangs viel davon abziehen, später immer weniger, das tut -9000*a^{-t} für große t wird a^{-t} (a>1) schnell klein. problem bei t=0 swäre 9000-9000*a^{-t)=0 soll aber 150 sein also muss ich noch 150 addieren, dann wird sie allerdings irgendwann fast 9150 wiegen. also nehm ich statt 9000 8850
dann hast du M(t)=9000g- 8850g*a^{-t} t in Tagen. m(0)=150g wie gewünscht
nun muss das mit den 10 Tagen und 300g noch stimmen daraus kannst du a bestimmen und deine Katze wächst ungefähr wie du es willst .
Allerdings war das icht deine aufgabe, da war wohl eher gemeint, dass das exponentielle oder lineare wachstum höchstens eine kleine Zeitspanne stimmt.und dann muss man ne neue Funktion ansetzen !
da aber eher das lineare als das exponentielle, wie ich Katzen und Kinder kenne! Wachsen vielleicht Giraffen ne ganze weile exponentiell?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hi leduart,
Gewichtszunahme von Säugern nach der Geburt ist weder exp. noch lin.
Das ist doch wohl die entscheidende Aussage für die Aufg.
Und es erleichtert mich ungemein, zu wissen, dass es nicht die Aufg. war, Gewichtzunahme mit einer geeigneten Fkt. darzustellen.
Vielen DANK f. das Lob (deine Idee mit dem negativen Exponenten ist gar nicht so schlecht), aber war nicht auch die Basis neg.,
aä nee [mm] y=-a+b^{-x}
[/mm]
Und ich habe mich erst gestern WIEDER gefragt, warum b>0 (d.h. nicht neg. sein darf), das ist ja immer die Bedingung f. [mm] f(x)=b^x [/mm]
(WIEDER, weil ich mir leider leider nicht alles merken kann u. es glaube ich normal ist, alles ständig wiederholen zu müssen u. zwar solange u. so oft, bis man es nicht mehr vergisst)
b>0, weil sonst die Fkt.werte zwischen + und - hin u. herspringen.
Ich habe deine letzte Antw. jedenfalls ausgedruckt. Sie bildet den Abschluss der Bearbeitung dieser Aufg. u. ist nun auch aufgeklebt. Wenn ich in 1 oder 2 Jahren da nochmal gucken muss, ist das immer eine schöne Erinnerung, dass ihr Menschen aus dem Matheraum mir geholfen habt. Es ist das Gefühl, nicht allein zu sein. Fühlt sich gut an.
Also, DANKE dir leduart u. alle anderen f. kontinuierliche kompetente Hilfen.
Sabine
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