1,3^0,5 und 11^0,5 unabhäning? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 So 13.11.2005 | | Autor: | tempo |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo, habe ein problem mit folgender aufgabe:
Betrachten Sie [mm] \IR [/mm] als [mm] \IQ-Vektorraum. [/mm] Zeigen Sie, daß die reellen Zahlen 1, [mm] \wurzel{3} [/mm] und [mm] \wurzel{11} [/mm] linear unabhängig über [mm] \IQ [/mm] sind.
(Hinweis: Sie dürfen verwenden, daß [mm] \wurzel{3} [/mm] und [mm] \wurzel{11} [/mm] irrational sind)
also ich habe mal mit [mm] 1=k*\wurzel{3}+l*\wurzel{11} [/mm] angesetzt (das sie abhängig sind), habe aber 2 unbekannte und nur eine gleichung! d.h. bräuchte noch einen zusammenhang mit k und l, finde aber keinen!? und der hinweis hilft mir irgendwie auch nicht weiter (aber ich weiß schon das die wurzeln aus 3 und 11 irrational sind so isst es nicht ;) ) kann mir jemand "starthilfe" geben?
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Quadriere diese Gleichung und löse nach [mm]\sqrt{33}[/mm] auf. Jetzt beachte, daß [mm]k,l \in \mathbb{Q}[/mm] sind und [mm]\mathbb{Q}[/mm] ein Körper ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 So 13.11.2005 | | Autor: | tempo |
> Quadriere diese Gleichung und löse nach [mm]\sqrt{33}[/mm] auf.
> Jetzt beachte, daß [mm]k,l \in \mathbb{Q}[/mm] sind und [mm]\mathbb{Q}[/mm]
> ein Körper ist.
also ich glaube ich sehe den wald vor lauter bäumen nicht! das auflösen nach [mm] \wurzel{33} [/mm] ist ja kein problem aber ich sehe meinen wiederspruch nicht (den ich ja bekommen müsste weil ich angenommen habe das sie abhängig sind)???
[mm] \wurzel{33}=\bruch{1-3*k^2-11*l^2}{2*k*l}
[/mm]
???
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Der Widerspruch steht ja da! Links steht eine Zahl [mm]\not \in \mathbb{Q}[/mm] und rechts steht eine Zahl [mm]\in \mathbb{Q}[/mm].
Und wenn du das ganz richtig machen willst, solltest du auch noch den Fall [mm]k=0[/mm] oder [mm]l=0[/mm] behandeln (du hast nämlich beim Auflösen dividiert). Der führt aber gleich am Anfang zu einem Widerspruch.
Und noch eine Ergänzung: Dein Ansatz für die lineare Abhängigkeit erfaßt nicht alle Möglichkeiten. Betrachte zum Beispiel die folgenden linear abhängigen Vektoren des [mm]\mathbb{R}^2[/mm]:
[mm]a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \ \ b = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}, \ \ c = \begin{pmatrix} -1001 \\ 253 \end{pmatrix}[/mm]
Trotz linearer Abhängigkeit kannst du [mm]c[/mm] nicht als Linearkombination von [mm]a,b[/mm] schreiben.
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