1, wurzel(2), ... lin. unabh. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:50 Sa 05.12.2009 | | Autor: | steppenhahn |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Vektoren 1, [mm] \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6} [/mm] linear unabhängig im [mm] \IQ-Vektorraum: \IR [/mm] sind! |
Hallo!
Ich habe einen Beweisvorschlag, der allerdings an einer Stelle eine Lücke hat...:
Vielleicht könnt ihr mir helfen, sie zu schließen?
1. Weise ich nach, dass [mm] $(1,\sqrt{q})$ [/mm] linear unabhängig sind für alle [mm] q\in\IQ, [/mm] die sich nicht als $q = [mm] r^{2}$ [/mm] mit [mm] $r\in\IQ$ [/mm] schreiben lassen:
[mm] $\lambda_{1}*1 [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\sqrt{q} [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow \lambda_{1}*1 [/mm] = [mm] -\lambda_{2}*\sqrt{q}$
[/mm]
Angenommen, es wäre nicht [mm] $\lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = 0$.
Fall 1: [mm] $\lambda_{2}\not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow -\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} [/mm] = [mm] \sqrt{q}$, [/mm] Widerspruch zu [mm] \sqrt{q} [/mm] irrational.
Fall 2: [mm] $\lambda_{1}\not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow -\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} [/mm] = [mm] \sqrt{\frac{1}{q}}$, [/mm] Widerspruch zu [mm] \sqrt{\frac{1}{q}} [/mm] irrational.
Also gilt doch [mm] $\lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = 0$.
2. Führe ich nun die lineare Unabhängigkeit von [mm] $(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$ [/mm] auf den Fall [mm] $(1,\sqrt{q})$ [/mm] linear unabhängig zurück:
[mm] $\lambda_{1}*1 [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\sqrt{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3}*\sqrt{3} [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow \lambda_{1}*1 [/mm] + [mm] \left(\lambda_{2}*1 + \lambda_{3}*\sqrt{\frac{3}{2}}\right)*\sqrt{2} [/mm] = 0$
Mein Problem: Darf ich das ueberhaupt? Denn [mm] $\left(\lambda_{2}*1 + \lambda_{3}*\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$ [/mm] ist ja nicht notwendigerweise in [mm] \IQ [/mm] ?
Wenn es aber gelten sollte, so kann ich jetzt folgern dass [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \left(\lambda_{2}*1 + \lambda_{3}*\sqrt{\frac{3}{2}}\right) [/mm] = 0 sein muss (1.) und daraus dann wieder [mm] $\lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0$.
3. Analoges Vorgehen für 4 Vektoren.
Also: Ist das ein Problem da oben, denn ich habe ja in 1. nur nachgewiesen, dass [mm] (1,\sqrt{q}) [/mm] in einem [mm] \IQ-Vektorraum [/mm] linear unabhängig sind...
Grüße,
Stefan
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Merle23 |
> 1. Weise ich nach, dass [mm](1,\sqrt{q})[/mm] linear unabhängig
> sind für alle [mm]q\in\IQ,[/mm] die sich nicht als [mm]q = r^{2}[/mm] mit
> [mm]r\in\IQ[/mm] schreiben lassen:
>
> [mm]\lambda_{1}*1 + \lambda_{2}*\sqrt{q} = 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}*1 = -\lambda_{2}*\sqrt{q}[/mm]
>
> Angenommen, es wäre nicht [mm]\lambda_{1} = \lambda_{2} = 0[/mm].
>
> Fall 1: [mm]\lambda_{2}\not= 0 \Rightarrow -\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \sqrt{q}[/mm],
> Widerspruch zu [mm]\sqrt{q}[/mm] irrational.
> Fall 2: [mm]\lambda_{1}\not= 0 \Rightarrow -\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} = \sqrt{\frac{1}{q}}[/mm],
> Widerspruch zu [mm]\sqrt{\frac{1}{q}}[/mm] irrational.
>
> Also gilt doch [mm]\lambda_{1} = \lambda_{2} = 0[/mm].
>
> 2. Führe ich nun die lineare Unabhängigkeit von
> [mm](1,\sqrt{2},\sqrt{3})[/mm] auf den Fall [mm](1,\sqrt{q})[/mm] linear
> unabhängig zurück:
>
> [mm]\lambda_{1}*1 + \lambda_{2}*\sqrt{2} + \lambda_{3}*\sqrt{3} = 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}*1 + \left(\lambda_{2}*1 + \lambda_{3}*\sqrt{\frac{3}{2}}\right)*\sqrt{2} = 0[/mm]
>
> Mein Problem: Darf ich das ueberhaupt? Denn
> [mm]\left(\lambda_{2}*1 + \lambda_{3}*\sqrt{\frac{3}{2}}\right)[/mm]
> ist ja nicht notwendigerweise in [mm]\IQ[/mm] ?
Und deswegen kannst du den Schluss von oben nicht mehr führen. Dort hast du nämlich gebraucht, dass [mm] \frac{\lambda_1}{\lambda_2} [/mm] rational ist.
LG, Alex
|
|
|
| |
|
Erstmal danke Merle23,
für deine Antwort. Allerdings bräuchte ich dann jetzt einen Hinweis, wie ich stattdessen vorgehen könnte.
Ich habe mal so ein bisschen in andere Threads geschaut, die sich damit beschäftigen, und dort läuft es immer darauf hinaus, dass man dann sagt:
[mm] $\lambda_{1}*1 [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\sqrt{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3}*\sqrt{3} [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow \lambda_{2}*\sqrt{2} [/mm] + [mm] \lambda_{3}*\sqrt{3} [/mm] = [mm] -\lambda_{1}$
[/mm]
und dann sagt man, rechts steht eine rationale Zahl, und links steht eine irrationale Zahl. Außer Umstellen und langen Begründungen fällt mir aber nichts ein, wie ich das "elegant" zeigen könnte.
Gibt es eine Möglichkeit, auch eventuell eine die benutzt, dass [mm] (1,\sqrt{q}) [/mm] eben schon linear unabhängig sind?
Vielen Dank für Eure Mühe,
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:02 Di 08.12.2009 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
> für deine Antwort. Allerdings bräuchte ich dann jetzt
> einen Hinweis, wie ich stattdessen vorgehen könnte.
Angenommen, es gibt [mm] $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 \sqrt{2} [/mm] + [mm] \lamda_3 \sqrt{3} [/mm] = 0$. Ist mindestens eins der [mm] $\lambda_i [/mm] = 0$, so kannst du dies auf Fall 1 zurueckfuehren.
Sind alle [mm] $\lambda_i \neq [/mm] 0$, so ist [mm] $\sqrt{3} [/mm] = a + b [mm] \sqrt{2}$ [/mm] mit $a := [mm] \frac{-\lambda_1}{\lambda_3}, [/mm] b := [mm] \frac{-\lambda_2}{\lambda_3} \in \IQ$. [/mm] Quadriere diese Gleichung und verwende 1., um einen Widerspruch zu bekommen.
Bei 3. kannst du dann so aehnlich vorgehen, nur dass du etwas trickreicher arbeiten musst.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo felix,
danke für deine Antwort, habe eine in meinen Aufgaben akzeptable Lösung produzieren können 
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
