2. Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist folgende Funktion:
f: [mm] \IR^2\to\IR, f(x,y)=x^3+y^3-3xy
[/mm]
ich will die erste und zweite Ableitung bestimmen |
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=3x^2-3y
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=3y^2-3x
[/mm]
Totales Differential:
[mm] Df(x)=\bruch{\partial f}{\partial x}dx+\bruch{\partial f}{\partial y}dy=(3x^2-3y)dx+(3y^2-3x)dy
[/mm]
zwischenfrage: Als totale Differential bezeichnet man die erste Ableitung oder?
2 partielle Ableitungen:
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial x}=6x
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-3
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=-3
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f}{\partial y \partial y}=6y
[/mm]
Wie fasse ich das nun zusammen (gibt es so eine Art totales Differential für die 2 partiellen Ableitungen?) ?
Muss ich hier die Hesse-Matrix anwenden?
Ist das totale Differential (totale Ableitung) die erste Ableitung und die Hexxe Matrix die zweite Ableitung?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Di 29.09.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Rebellismus,
ich hoffe, ich gehe recht in der Annahme, dass du das totale Differential 2. Ordnung einer Funktion zweier Veränderlicher, namentlich $f(x,y)$, bestimmen willst.
Folgende Schritte sind nötig:
1.) Bestimme das totale Differential 1. Ordnung.
Wir bestimmen also $Df(x,y) = [mm] \frac{\partial f}{\partial x}dx [/mm] + [mm] \frac{\partial f}{\partial y}dy$.
[/mm]
2.) Bestimme das totale Differential 2. Ordnung mittels $Df(x,y)$.
Man findet
$$D^2f = D(Df) = [mm] \frac{\partial^2f}{\partial x^2}dx^2+2\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}dy^2.$$
[/mm]
Voraussetzung: $f$ ist zweimal stetig partiell differenzierbar (dann Satz von Schwarz).
Zum nachrechnen: $ D(Df) = [mm] \frac{\partial Df}{\partial x}dx [/mm] + [mm] \frac{\partial Df}{\partial y}dy [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy\right)dx [/mm] + [mm] \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy\right)dy$
[/mm]
MfG
Ladon
|
|
|
| |
|
> Hallo Rebellismus,
>
> ich hoffe, ich gehe recht in der Annahme, dass du das
> totale Differential 2. Ordnung einer Funktion zweier
> Veränderlicher, namentlich [mm]f(x,y)[/mm], bestimmen willst.
Ja genau das wollte ich wissen.
Das totale Differential 2. Ordnung ist die 2 Abeitung einer mehrdimensionalen Funktion richtig?
Ich habe aber auf Wikipedia (Gleich im ersten Satz) gelesen, dass die Hesse Matrix die 2. Ableitung einer mehrdimensionalen Funktion ist. Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Hesse-matrix
Wenn nun in einer Aufgabe nach der 2 Ableitung einer mehrdimensionalen Funktion gesucht wird, soll ich dann das totale Differential 2. Ordnung bestimmen oder die Hesse-matrix?
|
|
|
| |
|
> Das totale Differential 2. Ordnung ist die 2 Abeitung einer
> mehrdimensionalen Funktion richtig?
>
> Ich habe aber auf Wikipedia (Gleich im ersten Satz)
> gelesen, dass die Hesse Matrix die 2. Ableitung einer
> mehrdimensionalen Funktion ist. Siehe hier:
> Hesse-matrix
Wenn du diesen Wikipedia-Artikel genau liest, dann siehst du,
dass das nicht zutrifft. Sondern da steht:
"Die nach Otto Hesse benannte Hesse-Matrix ist eine Matrix,
die in der mehrdimensionalen reellen Analysis ein Analogon
zur zweiten Ableitung einer Funktion ist."
> Wenn nun in einer Aufgabe nach der 2 Ableitung einer
> mehrdimensionalen Funktion gesucht wird, soll ich dann das
> totale Differential 2. Ordnung bestimmen oder die
> Hesse-matrix?
Normalerweise spricht man eben einfach nicht so von
"der zweiten Ableitung einer mehrdimensionalen Funktion",
sondern gibt exakt an, was gemeint sein soll, zum Beispiel
einfach die partiellen Ableitungen zweiter Ordnungen oder
die Hesse-Matrix oder das totale Differential zweiter
Ordnung.
LG , Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:13 Mi 30.09.2015 | | Autor: | Ladon |
Ich bin davon ausgegangen, dass du das totale Differential 2. Ordnung meinst, da man es auch häufig totale Ableitung nennt.
Ich habe z.B. einmal eine Vorlesung besucht, in der "total" bei der Aussprache weggelassen wurde, um Schreibarbeit einzusparen.
Außerdem schreiben manche Leute $ f'(x) $ für das totale Differential statt $ Df(x) $, was an die erste Ableitung erinnert. Ich persönlich halte diese Schreibweise für fragwürdig, da sie sehr kontextabhängig operiert.
Allerdings muss ich Al-Charismi recht geben. Wirklich klar ist es nicht, was du mit 2. Ableitung meist. In der Tat ist die Hesse-Matrix nur ein Analogon zur 2. Ableitung von Funktionen [mm] \IR\to\IR, [/mm] da mit Hilfe der Hesse-Matrix z.B. das Hinreichende Kriterium für Extrema formuliert werden kann.
MfG
Ladon
|
|
|
|
