2. Ableitung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:58 So 27.02.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo Ihr,
ich schreibe in zwei Wochen eine Mathematik-Klausur und unser Lehrer kam auf die Idee, doch zur Hälfte über die Analysis (Stoff der 11. und 12.1) zu schreiben. Also gut, nun bin ich dabei den Stoff zu wiederholen, schaffe aber eine 2. Ableitung nicht (ich habe WinFunktion zum überprüfen meiner Ergebnisse).
Meine Funktion ist: f(x) = 2x / [mm] (x^2 [/mm] + 1)
Daher ist meine erste Ableitung: f'(x) = [mm] -2x^2 [/mm] + 2 / [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^2
[/mm]
Nun habe ich doch
u = [mm] -2x^2 [/mm] + 2
v = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^2
[/mm]
u' = -4x
v' = [mm] 4x^3 [/mm] + 2
Bei v' bin ich nicht sicher, denn wenn ich [mm] x^4 [/mm] + 1 ableite erhalte ich ja [mm] 4x^3, [/mm] aber wenn ich [mm] 1^2 [/mm] ableite erhalte ich doch 2, was ist richtig?
Ich habe mit beiden mehrmals versucht zu rechnen, aber entweder erhielt ich x1 = 2 und x2 = - 1
oder ein Ergebnis mit sehr vielen Polynomen: 4 [mm] (-3x^3 [/mm] + [mm] 2x^5 [/mm] - x + [mm] x^2 [/mm] -1) / [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^4
[/mm]
Uff, stimmen tut es ja beides nicht.
Kann mir jemand helfen? Vielleicht reicht ja auch ein Tipp was ich als erstes ausklammern muss ect.
Ich würd mich freuen :)
Liebe Grüße
Bärchen
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Hallo Bärchen,
> Meine Funktion ist: f(x) = 2x / [mm](x^2[/mm] + 1)
> Daher ist meine erste Ableitung: f'(x) = [mm]-2x^2[/mm] + 2 / [mm](x^2[/mm]
> + [mm]1)^2
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun habe ich doch
> u = [mm]-2x^2[/mm] + 2
> v = [mm](x^2[/mm] + [mm]1)^2
[/mm]
> u' = -4x
> v' = [mm]4x^3[/mm] + 2
hier hast du dich vertan. Als Ableitung von [mm] (x^2+1)^2 [/mm] erhälst [mm] 2*(x^2+1)*2x=4x^3+4x
[/mm]
> Bei v' bin ich nicht sicher, denn wenn ich [mm]x^4[/mm] + 1 ableite
wieso willst du das ableiten? [mm] (x^2+1)^2=x^4+2x^2+1
[/mm]
> erhalte ich ja [mm]4x^3,[/mm] aber wenn ich [mm]1^2[/mm] ableite
> erhalte ich doch 2, was ist richtig?
Wenn du [mm] 1^2 [/mm] ableitest nach x, dann ist das gleich 0, da Konstanten immer wegfallen.
Als zweite Ableitung erhälst du also [mm] \bruch{-4x*(x^2+1)^2-(2-2x^2)*2*(x^2+1)*2x}{(x^2+1)^4}
[/mm]
Mit kürzen erhälst du
[mm] \bruch{-4x*(x^2+1)-(2-2x^2)*2*2x}{(x^2+1)^3}
[/mm]
Und von hier kommst du nun sicher selber weiter!
Wenn nicht einfach nochmal fragen!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 So 27.02.2005 | | Autor: | baerchen |
Hallo Ulrike,
herzlichen Dank für deine schnelle Antwort.
Nun habe ich die Wendepunkte gefunden, habe jedoch noch zwei Fragen.
1. Aus meiner Gleichung [mm] 4x^3 [/mm] - 12x = 0
ergeben sich ja die Wendepunkte (1,73/0,866) und (-1,73/-0,866). Doch es gibt noch einen dritten Wendepunkt bei (0/0). Wie kann ich den berechnen?
2. Wieso ist das so: [mm] "(x^2+1)^2 [/mm] erhälst
[mm] 2*(x^2+1)*2x=4x^3+4x" [/mm]
Die Regel ist mir völlig unbekannt, oder ich weiß nicht wie sie angewendet wird. Man zieht den Exponenten nach vorne und erhält oben n-1, okay, aber wie komme ich auf die *2x. Ist das das in der Klammer vorhandene [mm] x^2 [/mm] abgeleitet? Oder kommt sie auch vom Exponenten?
Liebe Grüße
Bärchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 So 27.02.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo Bärchen,
> 1. Aus meiner Gleichung [mm]4x^3[/mm] - 12x = 0
> ergeben sich ja die Wendepunkte (1,73/0,866) und
> (-1,73/-0,866). Doch es gibt noch einen dritten Wendepunkt
> bei (0/0). Wie kann ich den berechnen?
Schau dir doch einfach deine Gleichung noch einmal genauer an: $x=0$ ist auch eine Lösung deiner Gleichung, denn
[mm]4x^3-12x=0 \gdw x(4x^2-12)=0[/mm] und damit gibt es zwei Möglichkeiten, dei Gleichung zu lösen:
1. Möglichkeit: $x=0$
2.Möglichkeit: [mm] $4x^2-12=0$
[/mm]
Damit hast du alle drei Wendepunkte!
>
> 2. Wieso ist das so: [mm]"(x^2+1)^2[/mm] erhälst
>
> [mm]2*(x^2+1)*2x=4x^3+4x"[/mm]
> Die Regel ist mir völlig unbekannt, oder ich weiß nicht wie
> sie angewendet wird. Man zieht den Exponenten nach vorne
> und erhält oben n-1, okay, aber wie komme ich auf die *2x.
> Ist das das in der Klammer vorhandene [mm]x^2[/mm] abgeleitet? Oder
> kommt sie auch vom Exponenten?
Das ist die Kettenregel:
Für [mm] $f(x)=(g(x))^n$ [/mm] statt [mm] $x^n$ [/mm] gilt:
[mm]f'(x)=n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x) [/mm]
Du mußt den Ausdruck also noch mit der sogenannten "inneren Ableitung" multiplizieren, also mit $g'(x)$.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen!
Viele Grüße
Astrid
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